2024屆河南省輝縣市一高數學高二上期末監測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點是雙曲線的左焦點，定點，是雙曲線右支上動點，則的最小值為（）.A.7 B.8C.9 D.102．在等差數列{an}中，a1＝2，a5＝3a3，則a3等于（）A.－2 B.0C.3 D.63．已知拋物線C：，焦點為F，點到在拋物線上，則（）A.3 B.2C. D.4．若，都為正實數，，則的最大值是（）A. B.C. D.5．等差數列中，，則前項的和（）A. B.C. D.6．在流行病學中，基本傳染數是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數.一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定．假設某種傳染病的基本傳染數，平均感染周期為4天，那么感染人數超過1000人大約需要（）（初始感染者傳染個人為第一輪傳染，這個人每人再傳染個人為第二輪傳染）A.20天 B.24天C.28天 D.32天7．等差數列中，,，則當取最大值時，的值為A.6 B.7C.6或7 D.不存在8．已知等比數列的前n項和為，且滿足公比0＜q＜1，＜0，則下列說法不正確的是（）A.一定單調遞減 B.一定單調遞增C.式子-≥0恒成立 D.可能滿足=，且k≠19．已知雙曲線：，直線經過點，若直線與雙曲線的右支只有一個交點，則直線的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.10．某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類以及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種，現從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測.若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數之和是（）A.4 B.5C.6 D.711．設AB是橢圓（）的長軸，若把AB一百等分，過每個分點作AB的垂線，交橢圓的上半部分于P1、P2、…、P99，F1為橢圓的左焦點，則的值是（）A. B.C. D.12．函數在其定義域內可導，的圖象如圖所示，則導函數的圖象為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是橢圓的一個焦點，為橢圓上一點，為坐標原點，若為等邊三角形，則橢圓的離心率為__________14．已知函數的圖象與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，則的外接圓E的方程是________15．已知數列滿足，定義使（）為整數的k叫做“幸福數”，則區間內所有“幸福數”的和為_____16．若x，y滿足約束條件，則的最小值為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）若函數的圖象在處的切線方程為，求的值；（2）若函數在上是增函數，求實數的最大值.18．（12分）已知以點為圓心的圓與直線相切，過點的動直線l與圓A相交于M，N兩點（1）求圓A的方程（2）當時，求直線l方程19．（12分）在平面直角坐標系中，已知直線：（t為參數）．以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為（1）求曲線C的直角坐標方程；（2）設點M的直角坐標為，直線l與曲線C的交點為A，B，求的值20．（12分）已知O為坐標原點，、為橢圓C的左、右焦點，，P為橢圓C的上頂點，以P為圓心且過、的圓與直線相切（1）求橢圓C的標準方程；（2）若過點作直線l，交橢圓C于M，N兩點（l與x軸不重合），在x軸上是否存在一點T，使得直線TM與TN的斜率之積為定值？若存在，請求出所有滿足條件的點T的坐標；若不存在，請說明理由21．（12分）已知函數.（1）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍；（2）解關于的不等式：.22．（10分）某校在全體同學中隨機抽取了100名同學，進行體育鍛煉時間的專項調查．將調查數據按平均每天鍛煉時間的多少（單位：分鐘）分成五組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．將平均每天體育鍛煉時間不少于60分鐘的同學定義為鍛煉達標，平均每天體育鍛煉時間少于60分鐘的同學定義為鍛煉不達標（1）求a的值，并估計該校同學平均每天體育鍛煉時間的中位數；（2）在樣本中，對平均每天體育鍛煉時間不達標的同學，按分層抽樣的方法抽取6名同學了解不達標的原因，再從這6名同學中隨機抽取2名進行調研，求這2名同學中至少有一名每天體育鍛煉時間（單位：分鐘）在內的概率

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】設雙曲線的右焦點為M，作出圖形，根據雙曲線的定義可得，可得出，利用A、P、M三點共線時取得最小值即可得解.【詳解】∵是雙曲線的左焦點，∴，，，，設雙曲線的右焦點為M，則，由雙曲線的定義可得，則，所以，當且僅當A、P、M三點共線時，等號成立，因此，的最小值為9.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：利用雙曲線的定義求解線段和的最小值，有如下方法：（1）求解橢圓、雙曲線有關的線段長度和、差的最值，都可以通過相應的圓錐曲線的定義分析問題；（2）圓外一點到圓上的點的距離的最值，可通過連接圓外的點與圓心來分析求解.2、A【解析】利用已知條件求得，由此求得.【詳解】a1＝2，a5＝3a3，得a1＋4d＝3(a1＋2d)，即d＝－a1＝－2，所以a3＝a1＋2d＝－2.故選：A.3、D【解析】利用拋物線的定義求解.【詳解】因為點在拋物線上，，解得，利用拋物線的定義知故選：D4、B【解析】由基本不等式，結合題中條件，直接求解，即可得出結果.【詳解】因為，都為正實數，，所以，當且僅當，即時，取最大值.故選：D5、D【解析】利用等差數列下標和性質可求得，根據等差數列求和公式可求得結果.【詳解】數列為等差數列，，解得：；.故選：D.6、B【解析】根據題意列出方程，利用等比數列的求和公式計算n輪傳染后感染的總人數，得到指數方程，求得近似解，然后可得需要的天數.【詳解】感染人數由1個初始感染者增加到1000人大約需要n輪傳染,則每輪新增感染人數為，經過n輪傳染，總共感染人數為：即，解得，所以感染人數由1個初始感染者增加到1000人大約需要24天，故選：B【點睛】等比數列基本量的求解是等比數列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等比數列的有關公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，在使用等比數列的前n項和公式時，應該要分類討論，有時還應善于運用整體代換思想簡化運算過程7、C【解析】設等差數列的公差為∵∴∴∴∵∴當取最大值時，的值為或故選C8、D【解析】根據等比數列的通項公式，前n項和的意義，可逐項分析求解.【詳解】因為等比數列的前n項和為，且滿足公比0＜q＜1，＜0，所以當時，由可得，故數列為增函數，故B正確；由0＜q＜1，＜0知，所以，故一定單調遞減，故A正確；因為當時，，，所以，即-，當時，，綜上，故C正確；若=，且k≠1，則，即，因為，故，故矛盾，所以D不正確.故選：D9、D【解析】以雙曲線的兩條漸近線作為邊界條件，即可保證直線與雙曲線的右支只有一個交點.【詳解】雙曲線：的兩條漸近線為和兩漸近線的傾斜角分別為和由經過點的直線與雙曲線的右支只有一個交點，可知直線的傾斜角取值范圍為，故直線的斜率的取值范圍是故選：D10、C【解析】按照分層抽樣的定義進行抽取.【詳解】按照分層抽樣的定義有，糧食類：植物油類：動物性食品類：果蔬類=4:1:3:2，抽20個出來，則糧食類8個，植物油類2個，動物性食品類6個，果蔬類4個，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數之和是6個.故選：C.11、D【解析】根據橢圓的定義，寫出，可求出的和，又根據關于縱軸成對稱分布，得到結果詳解】設橢圓右焦點為F2，由橢圓的定義知，2，，，由題意知，，，關于軸成對稱分布，又，故所求的值為故選：D12、D【解析】分析：根據函數單調性、極值與導數的關系即可得到結論.詳解：觀察函數圖象，從左到右單調性先單調遞增，然后單調遞減，最后單調遞增.對應的導數符號為正，負，正.,選項D的圖象正確.故選D.點睛：本題主要考查函數圖象的識別和判斷，函數單調性與導數符號的對應關系是解題關鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】根據題中幾何關系，求得點坐標，代入橢圓方程求得齊次式，整理化簡即可求得離心率.【詳解】根據題意，取點為第一象限的點，過點作的垂線，垂足為，如下所示：因為△為等邊三角形，又，故可得則點的坐標為，代入橢圓方程可得：，又，整理得：，即，解得（舍）或.故答案為：.14、【解析】由題可求三角形三頂點的坐標，三角形的外接圓的方程即求.【詳解】令，得或，則，∴外接圓的圓心的橫坐標為2，設，半徑為r，由，得，則，即，得，.∴的外接圓的方程為.故答案為：.15、2036【解析】先用換底公式化簡之后，將表示出來，找出滿足條件的“幸福數”，然后求和即可.【詳解】當時，，所以，若滿足正整數，則，即，所以在內的所有“幸福數”的和為：,故答案為：2036.16、##【解析】作出可行域，進而根據z的幾何意義求得答案.【詳解】如圖，作出可行域，由z的幾何意義可知當過點B時取得最小值.聯立，則最小值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）先對函數求導，再根據在處的切線斜率可得到參數的值，然后代入，求出的值，則即可得出；（2）根據函數在上是增函數，可得，即恒成立，再進行參變分離，構造函數，對進行求導分析，找出最小值，即實數的最大值【詳解】解：（1）由題意，函數.故，則，由題意，知，即.又，則.，即..（2）由題意，可知，即恒成立，恒成立.設，則.令，解得.令，解得.令，解得x.在上單調遞減，在上單調遞增，在處取得極小值..，故的最大值為.【點睛】本題主要考查利用某點處的一階導數分析得出參數的值，參變量分離方法的應用，不等式的計算能力．本題屬中檔題18、（1）；（2）或.【解析】（1）利用圓心到直線的距離公式求圓的半徑，從而求解圓的方程；（2）根據相交弦長公式，求出圓心到直線的距離，設出直線方程，再根據點到直線的距離公式確定直線方程【詳解】（1）由題意知到直線的距離為圓A半徑r，所以，所以圓A的方程為（2）設的中點為Q，則由垂徑定理可知，且，在中由勾股定理易知，設動直線l方程為：或，顯然符合題意由到直線l距離為1知得所以或為所求直線方程【點睛】本題考查圓的標準方程及直線與圓的相交弦長問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題19、（1）（2）【解析】【小問1詳解】由,得.兩邊同乘,即.由,得曲線的直角坐標方程為【小問2詳解】將代入,得,設A,B對應的參數分別為則所以.由參數的幾何意義得20、（1）；（2）存在；.【解析】(1)根據給定條件求出a，c，b即可作答.(2)聯立直線l與橢圓C的方程，利用斜率坐標公式并結合韋達定理計算即可推理作答.【小問1詳解】依題意，，，，由橢圓定義知：橢圓長軸長，即，而半焦距，即有短半軸長，所以橢圓C的標準方程為：【小問2詳解】依題意，設直線l方程為，由消去x并整理得，設，，則，，假定存在點，直線TM與TN的斜率分別為，，，要使為定值，必有，即，當時，，，當時，，，所以存在點，使得直線TM與TN的斜率之積為定值【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值21、（1）；（2）答案見解析.【解析】（1）由題設可得，進而可知在恒成立，即可求參數范圍.（2）題設不等式等價于，討論的大小并根據一元二次不等式的解法求解集即可.【小問1詳解】當時，得，即.由，則，∴，即，∴，即，∴實數的取值范圍是.【小問2詳解】由，即，即.①當時，不等式解集為；②當時，不等式的解集為；③當時，不等式的解集為.綜上，當時﹐不等式的解集為；當時，不等式的解集