第2章單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)上一章爭論的自由振動(dòng)只是系統(tǒng)對(duì)初始擾動(dòng)(初始條件)的響應(yīng)。由于阻尼的存在,振動(dòng)現(xiàn)象很快就會(huì)消逝。要使物體作持續(xù)的振動(dòng)，必需有外界鼓舞輸入給系統(tǒng)以補(bǔ)充阻尼消耗的能量。系統(tǒng)在外部鼓舞作用下的振動(dòng)稱為受迫振動(dòng)或強(qiáng)迫振動(dòng)。所謂簡諧鼓舞就是正弦或余弦鼓舞。2.1.1振動(dòng)微分方程及其解2.1簡諧鼓舞下的受迫振動(dòng)2.1簡諧鼓舞下的受迫振動(dòng)設(shè)單自由度黏滯阻尼系統(tǒng)受到的鼓舞為F(t)=F0sinwt，這里w為激振頻率，利用牛頓定律并引入阻尼比z可得到齊次方程的通解上章已經(jīng)給出。設(shè)其特解為：2.1簡諧鼓舞下的受迫振動(dòng)代入方程確定系數(shù)X和a為：其中：為頻率比。2.1簡諧鼓舞下的受迫振動(dòng)因此方程的全解為：系數(shù)A和B由初始條件確定。設(shè)t＝0時(shí),則：所以黏滯阻尼在正弦鼓舞作用下的響應(yīng)〔解〕最終表示為：2.1簡諧鼓舞下的受迫振動(dòng)上述解的第一局部代表由初位移和初速度引起的自由振動(dòng)，其次局部代表由干擾力引起的自由振動(dòng)，它們都是衰減振動(dòng)，隨時(shí)間的推移而消逝，稱為瞬態(tài)響應(yīng)或暫態(tài)響應(yīng)；最終只剩下第三局部，代表與激振力同形式的等幅的強(qiáng)迫振動(dòng)，稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，而強(qiáng)迫振動(dòng)局部才是我們最關(guān)心的。2.1簡諧鼓舞下的受迫振動(dòng)假設(shè)為余弦鼓舞,則響應(yīng)〔解〕為：2.1簡諧鼓舞下的受迫振動(dòng)無阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)〔解〕正弦鼓舞余弦鼓舞2.1簡諧鼓舞下的受迫振動(dòng)2.1.2復(fù)數(shù)解法(穩(wěn)態(tài)響應(yīng))2.1簡諧鼓舞下的受迫振動(dòng)將振動(dòng)方程寫為復(fù)數(shù)形式其實(shí)部和虛局部別分別代表余弦和正弦鼓舞。令其特解為2.1簡諧鼓舞下的受迫振動(dòng)代入方程得到其中

H(w)稱為復(fù)頻率響應(yīng)函數(shù)，是系統(tǒng)對(duì)頻率為w的單位諧干擾力的復(fù)響應(yīng)的振幅。2.1簡諧鼓舞下的受迫振動(dòng)令求得C和a為則比較系數(shù)得2.1簡諧鼓舞下的受迫振動(dòng)確定C和a后得到2.1簡諧鼓舞下的受迫振動(dòng)這里的X與a和前面給出的結(jié)果一樣，即分別取z*式的實(shí)部和虛部就是對(duì)應(yīng)于余弦和正弦鼓舞的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。2.1.3穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析2.1簡諧鼓舞下的受迫振動(dòng)1.幅頻特性曲線對(duì)于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)x*(t)=Xsin(wt－a)，定義動(dòng)力放大系數(shù)b

為響應(yīng)的振幅X與最大干擾力F0所引起的靜位移的比值：以z為參數(shù)，畫出b－g曲線即幅頻特性曲線，說明白阻尼和激振頻率對(duì)響應(yīng)幅值的影響。2.1簡諧鼓舞下的受迫振動(dòng)爭論：g<<1時(shí)，b≈1。即響應(yīng)幅值近似等于激振力幅值F0所引起的靜位移F0/k;g>>1時(shí)2.1簡諧鼓舞下的受迫振動(dòng)振幅的大小主要預(yù)備于系統(tǒng)的慣性。這就是高速旋轉(zhuǎn)的機(jī)器正常工作時(shí)運(yùn)轉(zhuǎn)特殊平穩(wěn)的緣由;g≈1〔激振頻率接近固有頻率〕時(shí)，b快速增大，振幅很大，這種現(xiàn)象稱為共振;阻尼比z的影響:阻尼越小，共振越厲害。因此加大阻尼可以有效降低共振振幅。2.1簡諧鼓舞下的受迫振動(dòng)對(duì)b求導(dǎo)數(shù)取極值令其等于0得2.1簡諧鼓舞下的受迫振動(dòng)而g＝1時(shí)則當(dāng)z很小時(shí)b和bmax相差很小，所以在工程中仍認(rèn)為當(dāng)w＝wn時(shí)發(fā)生共振。2.1簡諧鼓舞下的受迫振動(dòng)2.相頻特性曲線以z為參數(shù)，畫出a－g曲線即相頻特性曲線，說明白阻尼和激振頻率對(duì)相位差的影響。爭論：從圖中可以看出，無阻尼狀況下的曲線是由a＝0和a＝p的半直線段組成，在g＝1處發(fā)生連續(xù)；有阻尼時(shí)a為在0～p之間變化的光滑曲線,并且不管a取值多少,當(dāng)g＝1時(shí)都有a＝p/2,即曲線都交于〔1,p/2〕這一點(diǎn)。這一現(xiàn)象可以用來測定系統(tǒng)的固有頻率；g→∞時(shí),a→p,系統(tǒng)平穩(wěn)運(yùn)行(見例2.2)。3.品質(zhì)因子〔自學(xué)〕2.1簡諧鼓舞下的受迫振動(dòng)2.1簡諧鼓舞下的受迫振動(dòng)例2.2總質(zhì)量為M的振動(dòng)機(jī)支承在彈簧k和阻尼器c上,兩個(gè)偏心質(zhì)量m/2繞相反方向以等角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)。試爭論振動(dòng)機(jī)在其平衡位置四周的運(yùn)動(dòng)。2.1簡諧鼓舞下的受迫振動(dòng)

解：求振動(dòng)方程。x方向的動(dòng)量為代入公式求得響應(yīng)為利用動(dòng)量定理得2.1簡諧鼓舞下的受迫振動(dòng)g→∞時(shí),則：MX→ml，sin(wt－a)→－sinwt而振動(dòng)機(jī)質(zhì)心的位移為2.1簡諧鼓舞下的受迫振動(dòng)由于sin(wt－a)→－sinwt,MX→ml，則：xC→0。這說明：當(dāng)g→∞〔即高速旋轉(zhuǎn)〕時(shí),振動(dòng)機(jī)的質(zhì)心幾乎保持靜止。即機(jī)器運(yùn)行特殊平穩(wěn)。2.1簡諧鼓舞下的受迫振動(dòng)例題2.1求圖示系統(tǒng)在位移鼓舞下系統(tǒng)的響應(yīng)。解：振動(dòng)方程為即：代公式即可求出穩(wěn)態(tài)響應(yīng)……2.1簡諧鼓舞下的受迫振動(dòng)

例題2.2圖示系統(tǒng)，假定缸體與活塞桿之間的阻尼系數(shù)為c，求缸體振幅與y的關(guān)系。解：振動(dòng)方程為即：代公式即可求出振幅……2.1簡諧鼓舞下的受迫振動(dòng)例題2.4求圖示系統(tǒng)質(zhì)量塊的振幅。解：取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立振動(dòng)方程則：代公式即可求出振幅……而：作業(yè)：T2.3，7，11，27假設(shè)F(t)是周期為T的函數(shù)，表示為F(t±nT)=F(t)，n＝0,1,2,…設(shè)函數(shù)F(t)在一個(gè)周期內(nèi)分段光滑，則可以表示為傅里葉〔Fourier〕級(jí)數(shù):2.2.1傅里葉級(jí)數(shù)2.2周期鼓舞下的受迫振動(dòng)

傅里葉級(jí)數(shù)方法2.2周期鼓舞下的受迫振動(dòng)其中各個(gè)系數(shù)計(jì)算分為兩種狀況：當(dāng)F(t)定義在[－T/2,T/2]上時(shí)2.2周期鼓舞下的受迫振動(dòng)2.2周期鼓舞下的受迫振動(dòng)假設(shè)F(t)為奇函數(shù)則an＝0，假設(shè)F(t)為偶函數(shù)則bn＝0，且可分別寫為：當(dāng)F(t)定義在[0,T]上時(shí)2.2周期鼓舞下的受迫振動(dòng)2.2周期鼓舞下的受迫振動(dòng)周期鼓舞下的振動(dòng)方程2.2.2振動(dòng)方程及其解變?yōu)槔蒙瞎?jié)簡諧鼓舞的響應(yīng)可得到2.2周期鼓舞下的受迫振動(dòng)其中無阻尼系統(tǒng)在周期鼓舞作用下的響應(yīng)2.2周期鼓舞下的受迫振動(dòng)其中復(fù)數(shù)形式2.2周期鼓舞下的受迫振動(dòng)系數(shù)為(n=0,±1,±2,…)F(t)定義在[－T/2,T/2]F(t)定義在[0,T]復(fù)數(shù)形式方程2.2周期鼓舞下的受迫振動(dòng)解為其中H(nw)為對(duì)應(yīng)于頻率為nw的復(fù)頻率響應(yīng)函數(shù)2.1簡諧鼓舞下的受迫振動(dòng)例題2.15求無阻尼系統(tǒng)在圖示周期鼓舞下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：激振力函數(shù)為2.1簡諧鼓舞下的受迫振動(dòng)

F為奇函數(shù)，可以只在半周期內(nèi)積分，也可以在0～T積分，而an＝0。在0～T積分時(shí)：2.1簡諧鼓舞下的受迫振動(dòng)在半周期內(nèi)積分時(shí)：最終結(jié)果均為：作業(yè)：T2.14代入公式即可得出響應(yīng)。本節(jié)利用數(shù)學(xué)的卷積分方法求解任意激振力作用下的響應(yīng)。其根本思想是將任意激振力表示為無限多個(gè)常力之和，通過積分計(jì)算響應(yīng)。2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)

卷積分方法2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)定義階躍函數(shù)或稱單位臺(tái)階函數(shù)為2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)2.3.1階躍函數(shù)H0(t)tO1此函數(shù)無量剛，在t＝0處有跳動(dòng)。類似地，假設(shè)在t＝a處有跳動(dòng)，函數(shù)可寫為H0(t－a)。2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)H0(t-a)tO1ad-函數(shù)〔Dirac函數(shù)〕或稱單位脈沖函數(shù)的數(shù)學(xué)定義為2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)2.3.2d-函數(shù)OtOt1同樣可定義t＝a時(shí)的單位脈沖函數(shù)2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)Ota單位脈沖函數(shù)的重要性質(zhì)：2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)單位脈沖鼓舞下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)2.3.3單位脈沖響應(yīng)函數(shù)設(shè)初始條件為0，在Dt＝e內(nèi)對(duì)方程兩端積分得而2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)〔動(dòng)量的突變〕〔時(shí)間極短，位移無變化〕因此2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)說明系統(tǒng)受到脈沖鼓舞后速度發(fā)生突變，而位置不變。即獲得了初始速度，然后作自由衰減振動(dòng)。利用上章的公式計(jì)算振幅和相位2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)于是得到系統(tǒng)對(duì)單位脈沖鼓舞的響應(yīng)為明顯對(duì)t＝a處的單位脈沖鼓舞的響應(yīng)為

h(t)和h(t－a)稱為單位脈沖響應(yīng)函數(shù)，或簡稱脈沖響應(yīng)函數(shù)。2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)無阻尼系統(tǒng)對(duì)單位脈沖鼓舞的響應(yīng)為對(duì)t＝a處的單位脈沖鼓舞的響應(yīng)為設(shè)有圖示任意鼓舞F(t)，在時(shí)間區(qū)間[0,t]內(nèi)的作用可視為一系列脈沖F(t)dt連續(xù)作用疊加而成。2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)2.3.4任意鼓舞的響應(yīng)在任意瞬時(shí)t=t處，大小為F(t)dt的脈沖可用d-函數(shù)表示為F(t)dtd(t-t)，相應(yīng)的響應(yīng)為dx=F(t)dth(t-t)。因而系統(tǒng)對(duì)F(t)的總響應(yīng)為2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)這就是系統(tǒng)對(duì)任意鼓舞F(t)的零初值響應(yīng)。稱為杜哈美〔Duhamel〕積分。1.階躍鼓舞2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)2.3.5幾種常見鼓舞的響應(yīng)利用杜哈美積分可求得2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)特殊地，假設(shè)F0＝1，則上式就成為單位臺(tái)階函數(shù)H0(t)的零初值響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)和單位臺(tái)階函數(shù)的響應(yīng)g(t)之間有下面的關(guān)系2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)2.斜坡載荷鼓舞F(t)＝at2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)3.指數(shù)衰減函數(shù)鼓舞F(t)＝F0e-at2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)無阻尼系統(tǒng)的任意鼓舞零初值響應(yīng)杜哈美積分階躍鼓舞斜坡鼓舞指數(shù)鼓舞2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)

例T1.8

圖示系統(tǒng)，質(zhì)量為m1的物體從高h(yuǎn)處自由落下，與懸掛在彈簧k下的質(zhì)量m2碰撞后一起作微幅振動(dòng)，求振動(dòng)的固有頻率和響應(yīng)。2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)

分析：碰撞前系統(tǒng)靜止，碰撞后兩個(gè)質(zhì)量一起振動(dòng)。

解：以靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立方程而則固有頻率2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)利用動(dòng)量定理計(jì)算碰撞后的初始速度即開頭振動(dòng)時(shí)的初始條件為由此初始條件引起的響應(yīng)為2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)利用杜哈美積分計(jì)算m1g引起的響應(yīng)〔即階躍函數(shù)的響應(yīng)〕則總響應(yīng)為2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)例2.5求無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)在圖示矩形脈沖鼓舞作用的零初值響應(yīng)。解：激振力函數(shù)為F(t)tOF0T解法1：

直接利用杜哈美積分。

t在[0,T]內(nèi)就是階躍函數(shù)的響應(yīng)2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)t在[T,∞)內(nèi)：2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)因而響應(yīng)為：或?qū)憺椋?.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)

解法2：利用兩個(gè)階躍激振力疊加，將其寫為下面的形式：直接利用階躍函數(shù)鼓舞的響應(yīng)得到：2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)例2.4

求無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)在圖示三角形波干擾力作用下的零初值響應(yīng)。2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)

解：激振力函數(shù)為2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)解法1：

直接利用杜哈美積分。在[0,t1]內(nèi)：2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)在[t1,t2]內(nèi)：2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)在t2以后：解法2：

見書。作業(yè)：T2.9，26根底運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)在工程中常常遇到。設(shè)根底的位移為y，質(zhì)量的位移為x2.6單自由度振動(dòng)理論的工程應(yīng)用2.6工程應(yīng)用根底運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)則系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為2.6工程應(yīng)用假設(shè)令相對(duì)位移x1=x－y，則用x表示的方程適用于根底運(yùn)動(dòng)以位移形式給出;而用x1表示的方程適用于根底運(yùn)動(dòng)以速度或加速度形式給出，這時(shí)求出的是相對(duì)運(yùn)動(dòng)x1。例2.8求振動(dòng)系統(tǒng)受y=Ysinwt的根底運(yùn)動(dòng)引起的響應(yīng)。解：方程為2.6工程應(yīng)用直接代公式即可求出由kYsinwt和cwYcoswt引起的總響應(yīng):2.6工程應(yīng)用總振幅為根底的運(yùn)動(dòng)不但對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)有影響,而且系統(tǒng)也同樣將力通過彈簧和阻尼傳遞給根底。為了削減根底和系統(tǒng)之間的相互作用和影響而實(shí)行的有效措施稱為隔振。隔振有主動(dòng)隔振和被動(dòng)隔振。1.主動(dòng)隔振把振源與根底隔離開來以削減振源對(duì)四周的影響而實(shí)行的措施叫做主動(dòng)隔振。2.6工程應(yīng)用2.6.2隔振主動(dòng)隔振的目的就是削減振源傳遞給根底的力，主要措施就是在機(jī)器〔振源〕和根底之間安裝柔性支撐〔彈簧〕和阻尼器，其理論模型就是類似根底運(yùn)動(dòng)這樣的典型構(gòu)造。2.6工程應(yīng)用經(jīng)隔振裝置〔即前面的模型〕，振動(dòng)系統(tǒng)傳遞到根底上的力為2.6工程應(yīng)用其最大值為設(shè)激振力為簡諧形式F0sinwt，將傳遞到根底上力的幅值與激振力幅值的比值定義為評(píng)價(jià)主動(dòng)隔振效果的指標(biāo)——力傳遞系數(shù)，或稱力傳遞率2.6工程應(yīng)用2.被動(dòng)隔振為了削減外界振動(dòng)〔如根底運(yùn)動(dòng)〕對(duì)設(shè)備的影響而實(shí)行的隔振措施叫做被動(dòng)隔振。被動(dòng)隔振的目的就是減小系統(tǒng)響應(yīng)的振幅。將根底運(yùn)動(dòng)引起系統(tǒng)的振幅與根底振幅的比值定義為評(píng)價(jià)被動(dòng)隔振的指標(biāo)——位移傳遞系數(shù)Tr，或稱位移傳遞率，則2.6工程應(yīng)用3.隔振效果爭論由于力傳遞系數(shù)TF和位移傳遞系數(shù)Tr完全一樣，所以在設(shè)計(jì)主動(dòng)隔振和被動(dòng)隔振裝置時(shí)所遵循的準(zhǔn)則是一樣的。可以畫出傳遞率與頻率比的關(guān)系圖。2.6工程應(yīng)用由關(guān)系圖和傳遞率的公式得知：〔1〕當(dāng)g→0即w→0和g→1.414時(shí)，傳遞率為1，與阻尼無關(guān)，無振動(dòng)產(chǎn)生；〔2〕當(dāng)g→1時(shí)，為共振區(qū)，無隔振效果；〔3〕當(dāng)g>1.414時(shí)，傳遞率減小，隔振效果明顯，且阻尼越小，效果越好，但假設(shè)阻尼過小，經(jīng)過隔振區(qū)時(shí)將產(chǎn)生過大的振動(dòng)。2.6工程應(yīng)用2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)例T2.12彈簧質(zhì)量系統(tǒng)放在箱子中,箱子從高h(yuǎn)處自由落下。求〔1〕箱子下落過程中,質(zhì)量塊相對(duì)箱子的運(yùn)動(dòng)x;〔2〕箱子落地后傳到地面的最大壓力。2.3任意鼓舞下的受迫振動(dòng)解：