2022北京中關村中學初二（上）期中數學一、選擇題（本題共小題，每題3分，共30分，在下列各小題的四個備選答案中，只有1.斐波那契螺旋線也稱為黃金螺旋線”，它是根據斐波那契數列畫出米的螺旋曲線，科學家在自然界中發現存在許多斐波那契螺旋線圖案．下列斐波那契螺旋線圖案中屬于軸對稱圖形的是（AB.C.D.2.在平面直角坐標系中(2,3)關于x軸對稱的點的坐標是（）A.(-2,-3)B.(-2,3)C.(2,-3)D.(3,2)3.已知三角形兩邊長分別為3cm和，則此三角形的第三邊長可能是（）A.4cmB.5cmC.6cmD.15cm4.已知圖中的兩個三角形全等，則1等于（）A72°B.60°C.50°D.5.如圖，生活中都把自行車幾根梁做成三角形的支架，這是利用三角形的（）A.全等形B.穩定性C.靈活性D.對稱性6.在如圖的△ABC中，正確畫出邊上的高的圖形是（）A.B.C.D.7.若正多邊形的一個外角等于°，則這個正多邊形的邊數是（）A.6B.8C.10D.8.如圖，Rt中，C=90，B=30，要求用圓規和直尺作圖，把它分成兩個三角形，其中一個三角形是等腰三角形其作法錯誤的是（）A.B.C.D.9.如圖，在中，AC=2，AB=3，BC=3.5，BC的垂直平分線MN交AB于點DP是直線MN上的任意一點，則PA+PC的最小值是（）A.2B.3C.3.5D.10.如圖，線段AB的一個端點B在直線m上，直線m上存在點C為等腰三角形，這樣的點C有（）A.2個B.3個C.4個D.5個二、填空題（本題共8小題，每題3分，共分）如圖，D是的邊延長線上一點，1=______°，2=______°．12.如圖，為∠BAC的平分線，請你添加一個適當的條件______，使得△ACD．13.如圖，D在邊上，△△，B=EAC的度數為______．14.已知等腰三角形的兩邊長是和，則它的周長是______．15.等腰三角形的一個內角是80°，則它的頂角度數是_________．16.如圖，在Rt△中，C=90，A=，=6，則AC=______．17.如圖，AOB=50，點P上一個動點（不與點OA的度數為_____時，為直角三角形.18.如圖，在中，=，=D是BC的中點，點F分別在邊AB、AC上，且=．下列結論正確的是______①；②AC=BE+CF；③EF=AD；④S，S分別表示和的面積，12則11SSS．12142三、解答題（本題共8小題，第19題6分，第20-22題，每題5分，第23-25題，每題6分，第26題7分，共分）19.請補全證明過程及推理依據．如圖，點BECF在一條直線上，=CF，=，AC=DF．求證：A=D．證明：∵=CF（已知）∴BE+______=CF+______（）即____________在和中，______=______（）=ABDE（已知）=ACDF（已知）∴≌（）∴A=D（）20.如圖，在中，B=30，C=50，BAC的平分線AD交于點D與ADB的度數．21.如圖，C是AB的中點，CD∥BE，CD=，連接AD，CE．求證：=，AD∥CE．22.如圖，四邊形ABCD中，=，B=C，求證：=．23.如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點的坐標分別是A(?4)，B(?)，C2)．（1）畫出關于y軸對稱的圖形；（2）寫出A、B、C的坐標（直接寫出答案）A______；B______；C______；（3）直接寫出的面積______．24.如圖，在△ABC中，ABAC，為∠的平分線，DEABDF⊥，垂足分別是EF，求證：BE＝CF．25.如圖，在中，BAC=108，=，ABC的平分線交AC于．請用等式表示線段AB，，CE之間的數量關系，并證明你的結論．26.如圖，在等邊三角形中，點P△內一點，連接AP，BPCP，將線段繞點A順時針旋轉60°得到AP，連接PPBP．（1）用等式表示BP與的數量關系，并證明；（2）當∠BPC120°時，①直接寫出PBP的度數為；②若M為的中點，連接PM，請用等式表示與的數量關系，并證明．參考答案一、選擇題（本題共小題，每題3分，共30分，在下列各小題的四個備選答案中，只有1.【答案】D【解析】【分析】如果一個圖形沿著一條直線對折，直線兩邊的圖形完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，利用軸對稱圖形的定義一一排查即可．【詳解】根據軸對稱圖形的定義，只有選項D是軸對稱圖形，其它都不是，故選擇：D．【點睛】本題考查軸對稱圖形問題，掌握軸對稱圖形的定義，會利用軸對稱圖形的定義識別圖形是解題關鍵．2.【答案】C【解析】【詳解】根據兩點關于x軸對稱，橫坐標不變，縱坐標互為相反數，∴點（2，）關于x軸的對稱的點的坐標是（2，），故選C．【點睛】本題考查了關于x軸對稱的點的坐標的知識，解題的關鍵是掌握兩點關于x軸對稱，橫坐標不變，縱坐標互為相反數．3.【答案】C【解析】【分析】利用三角形三邊關系確定第三邊的取值范圍，再從選項中進行判斷即可．【詳解】解：∵三角形的兩邊長為和8cm，∴第三邊x的長度范圍是﹣3＜＜，即＜＜，故選：．準確計算是解題的關鍵．4.【答案】D【解析】【分析】先找到對應角，再利用全等三角形的性質得出答案．【詳解】解：∵圖中的兩個三角形全等，∴1=180?50?72=58．故選：D．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質，解題的關鍵是掌握全等三角形的對應角相等.5.【答案】B【解析】【分析】根據三角形具有穩定性解答．【詳解】生活中都把自行車的幾根梁做成三角形的支架，這是因為三角形具有穩定性．故選B．【點睛】本題考查了三角形穩定性的實際應用．三角形的穩定性在實際生活中有著廣泛的應用，如鋼架橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩定的結構，往往通過連接輔助線轉化為三角形而獲得．6.【答案】C【解析】【分析】根據三角形的高的概念判斷．從一個頂點向它的對邊所在的直線畫垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高．【詳解】解：根據三角形高線的定義，邊上的高是過點B向作垂線垂足為DBD，因此只有選項C符合條件，故選：．【點睛】本題考查了三角形的高，利用基本作圖作三角形高的方法解答是解題的關鍵．7.【答案】D【解析】【分析】根據多邊形的外角和為360，而正多邊形的每一個外角都相等，計算即可得到答案．【詳解】∵正多邊形的外角和是360，且每一個外角都相等，∴正多邊形的邊數是360=1230，故選：D．【點睛】此題考查了多邊形的外角和，熟記外角和并運用解題是關鍵．8.【答案】B【解析】【分析】對各項的尺規作圖進行分析，再根據等腰三角形的判定逐個分析即可．【詳解】A選項，由作法可知，ADAC是等腰三角形，不滿足題意；B選項，在中，∵C=90，B=30∴1=21CD=BD=BC又由作法可知，2在Rt中，∴CD，即不是等腰三角形∴ADCD，即，即不是等腰三角形，滿足題意；C選項，由作法可知，=BD是等腰三角形，不滿足題意；11

D選項，由作法可知，()

22===?B=，∴BAD=B=，即是等腰三角形，不滿足題意；故選：．【點睛】本題考查尺規作圖和等腰三角形的判定．熟知尺規作圖是本題解題的關鍵．9.【答案】B【解析】【分析】如圖所示，連接BP，根據線段垂直平分線的性質推出PA+=PA+，由此得當、、B三點共線時，此時P與D點重合，PA+的最小值為AB=3．【詳解】解：如圖所示，連接BP，∵MN是線段的垂直平分線，∴=，∴PA+=PA+，∴要使PA+最小，即要使PA+PB最小，∴當PAB三點共線時，此時P與D點重合，PA+的最小值為AB=3，故選B．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，熟知線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．10.【答案】C【解析】【分析】以A為圓心，以BA的長為半徑畫弧與直線m交于點D，此時=，同理以B為圓心以BA的長為半徑畫弧與直線m交于EC，此時BC=BA，BE=BA，再作BA的垂直平分線與直線m交于點F，此時BF=AF，據此可得答案．【詳解】解：如圖所示，以A為圓心，以BA的長為半徑畫弧與直線m交于點D，此時=，同理以B為圓心以BA的長為半徑畫弧與直線m交于EC，此時BC=BA，BE=BA，再作BA的垂直平分線與直線m交于點F，此時BF=AF，∴直線m上存在4個點，使為等腰三角形，故選：．【點睛】本題考查了等腰三角形的定義，線段垂直平分線的性質，解題的關鍵在于能夠熟練掌握等腰三角形的定義．二、填空題（本題共8小題，每題3分，共分）【答案】①.②.70【解析】【分析】根據三角形內角和定理可求1，根據三角形外角的性質可求2．【詳解】解：1=180?B?C=??=，2=B+C=+=，故答案為：，．【點睛】本題考查了三角形內角和定理，三角形外角性質，掌握三角形的內角和是，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和是解題的關鍵．12.【答案】=AC（答案不唯一）【解析】【分析】根據角平分線定義推出∠BAD=CAD，進而利用全等三角形的判定解答即可．【詳解】解：∵平分∠BAC，∴∠BAD=CAD，∵ADAD，添加AB=，利用可得△ABD≌△ACD；添加∠=C，利用AAS可得△ABD≌△ACD；添加∠ADB∠ADC，利用ASA可得△ABD≌△ACD；故答案為：ABAC【點睛】本題考查了全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SASASAAAS，SSS．13.【答案】40##40度【解析】【分析】根據全等三角形的性質，即可得到=AD=，進而可得ADB=B=70，EAC=BAD，根據三角形內角和定理即可得到BAD=180?B?=40，再由EAC=BAD即可得到結論．【詳解】解：∵△△，∴=AD=，∴ADB=B=70，EAC=BAD，∴△ABD中，BAD=180?B?=40，∴==，故答案為:40．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質和三角形內角和定理的應用，解題時注意：全等三角形的對應邊相等，全等三角形的對應角相等．14.【答案】16cm或17cm【解析】【分析】根據等腰三角形的性質，分兩種情況：①當底邊長為5cm時，②當腰長為5cm時，解答出即可．【詳解】解：當5為底時，其它兩邊都為6，5、66可以構成三角形，周長為（cm；當5為腰時，其它兩邊為5和6，5、56可以構成三角形，周長為（cm．綜上所述，該等腰三角形的周長是16cm或17cm．故答案為：16cm或．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質定理，本題重點是要分兩種情況解答．15.【答案】20或80【解析】【分析】有兩種情況（頂角是80°和底角是80°【詳解】解：如圖所示，△中，ABAC，有兩種情況：①當底角是80°時，此時底角∠B∠=80°，則頂角A=?B?C=；②頂角∠A=80°∴這個等腰三角形的頂角為20°或80°．故答案為：20°或80°．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的內角和定理，能正確地進行分類討論是解答此題的關鍵．16.【答案】3【解析】【分析】根據三角形的內角和定理求出B=30，然后根據含30直角三角形的性質直接得出答案．【詳解】解：∵B=180?A?C=180??=，∴在Rt△中，1AC=AB=3，2故答案為：3．【點睛】本題考查了三角形的內角和定理，含30直角三角形的性質，掌握直角三角形中，30角所對的直角邊是斜邊的一半是解題的關鍵．17.【答案】90或40【解析】【分析】利用三角形內角和為1800，分兩種情況即可計算A的大小.【詳解】因為AOP為直角三角形，可知OAP=900或APO=900.當=0時，=，0A=400，綜上A=400或900【點睛】本題考查了三角形內角和定理，抓住三角和為1800是解題的關鍵.18.【答案】①②④【解析】【分析】先根據等腰直角三角形的性質和等角的余角相等證得=C=，=，根據全等三角形的判定與性質可判斷①和②；由EF是變化的，AD為定值可判斷③；再根據等腰直角三角形的判定與性質以及垂線段最短可判斷④．【詳解】解：=，=，D是的中點，==，AD=CD，ADC=90，BADC45=EDF=90，，在和中，BAD=C=ADCD=ADECDF，A)，故①正確；，==+=+，故②正確；是變化的，而AD為定值，故③錯誤；，=，是等腰直角三角形，∴DEF=45，∴⊥時，DE最小，且1==，則2S最小為21111ABAB=S，122241當點E與A或B重合時，DE最大，則S2最大為1，211SSS，故④正確；12142故答案為：①②④．【點睛】本題考查等腰直角三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、垂線段最短等知識，熟練掌握等腰直角三角形的性質和全等三角形的性質是解題的關鍵．三、解答題（本題共8小題，第19題6分，第20-22題，每題5分，第23-25題，每題6分，第26題7分，共分）19.【答案】EC；EC；等式的性質；；EF；BC；EF；已證；SSS；全等三角形的對應角相等．【解析】【分析】求出=，利用SSS證明≌，根據全等三角形的對應角相等可得結論．【詳解】證明：∵=CF∴+=CF+即=，在和中，BC=EF（已證）=ABDE（已知），=ACDF（已知）∴≌△DEFSSS)，∴A=D故答案為：EC；EC；等式性質；；EF；；EF；已證；SSS；全等三角形的對應角相等．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．20.【答案】DAC=50，=100．【解析】【分析】根據三角形內角和定理求出BAC，由角平分線的定義可得，然后根據三角形外角的性質得出ADB的度數．【詳解】解：∵B=30，C=50，∴BAC=180?B?C=??=，∵AD是BAC的平分線，1BAD=DAC=BAC=，∴2∴=+C=+=．【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理，三角形外角的性質，掌握三角形的內角和是，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和是解題的關鍵．21.【答案】見解析【解析】【分析】根據平行線的性質和中點的定義證明△ACDCBE，再根據全等三角形的性質即可證明．【詳解】證明：∵C是AB的中點，∴=CB，∵CD∥BE，∴ACD=B．在和CBE中，AC=CB=ACDB=CDBE，∴)，∴=，A=，∴AD∥CE．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、平行線的性質及判定．應牢固掌握全等三角形的判定定理．22.【答案】見解析【解析】【分析】連接BC，利用等腰三角形的等邊對等角證得∠=，進而證得=DCB，再根據等腰三角形的等角對等邊即可得證．【詳解】連接，如圖，∵=，∴∠=，又∵=ACD，∴=DCB，∴=．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質，熟練掌握等腰三角形的“等邊對等角”和“等角對等邊”是解答的關鍵．23.）見解析；（2）(4),(),(?2)；（3）．【解析】）先根據平面直角坐標系找出、C的對稱點的位置，然后順次連結即可；（2）根據關于y軸對稱點的坐標特征可直接寫出點A、B、C的坐標；（3）根據三角形面積的公式求解即可．【小問1詳解】解：作圖如下：【小問2詳解】解：關于y軸對稱點的坐標特征：橫坐標互為相反數，縱坐標相同．∴A(4)、B()、C(?2)，故答案為：(4),(),(?2)；【小問3詳解】解：的面積為：11Bx?x==，346AC22故答案為：6．【點睛】本題考查作軸對稱圖形和兩點關于y軸對稱的知識；用到的知識點為：兩點關于y軸對稱，橫坐標互為相反數，縱坐標相同．掌握關于y軸對稱點的性質，會用對稱點的性質求坐標是解題關鍵．24.【答案】見解析【解析】【分析】證明Rt≌即可證明BE＝CF．【詳解】證明：∵＝，為∠BAC的平分線∴BDCD，∵DEABDF⊥∴DEDF，在Rt和Rt中BDDE，∴Rt≌，∴BECF．HL關鍵．25.【答案】BC=AB+CE，證明見解析．【解析】【分析】在上截取=，證明△ABE△DBE，可得EA=ED，求出==，可得CE=CD，則BC=BD+CD=AB+CE．【詳解】BC=AB+CE；證明：在上截取=，∵在中，BAC=108，=，180?108ABC=C==，∴2180?36BAD===，∴2∴DAC=BAC?BAD=?=，==在和中，=，∴AS)，∴EA=ED，∴==，∴DEC=ADE+DAC=，=180?BDA?=??=，∴=，∴CE=CD，∴BC=BD+CD=AB+CE．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質，三角形內角和定理，全等三角形的判定和性質等知識，能夠根據題意作出合適的輔助線，構造出等腰三角形是解題的關鍵．26.）BP=CP）①60°；②PM＝12AP，見解析【解析】）根據等邊三角形的性質，可得AB＝AC，∠BAC＝60°，再由由旋轉可知：AP=AP，PAP=從而得到BAP=CAP，可證得，即可求解；60（2）①由∠BPC＝120°，可得∠PBC＋∠PCB6