2023-2024學年廣東省東莞市清溪晨光英才培訓中心高二數學第一學期期末統考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．橢圓C：的焦點在x軸上，其離心率為則橢圓C的長軸長為（）A.2 B.C.4 D.82．對于圓上任意一點的值與x，y無關，有下列結論：①當時，r有最大值1；②在r取最大值時，則點的軌跡是一條直線；③當時，則.其中正確的個數是（）A.3 B.2C.1 D.03．在平面直角坐標系中，雙曲線C：的左焦點為F，過F且與x軸垂直的直線與C交于A，B兩點，若是正三角形，則C的離心率為（）A. B.C. D.4．數列滿足，，，則數列的前8項和為（）A.25 B.26C.27 D.285．如圖所示，為了測量A，B處島嶼的距離，小張在D處觀測，測得A，B分別在D處的北偏西、北偏東方向，再往正東方向行駛10海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西方向，則A，B兩處島嶼間的距離為（）海里.A. B.C. D.106．已知數列是首項為，公差為1的等差數列，數列滿足．若對任意的，都有成立，則實數的取值范圍是（）A.， B.C.， D.7．由倫敦著名建筑事務所SteynStudio設計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數學與建筑完美結合造就的藝術品，若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線下支的一部分，離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.8．在三棱柱中，，，，則這個三棱柱的高（）A1 B.C. D.9．下列求導運算正確的是（）A. B.C. D.10．在平面上有一系列點，對每個正整數，點位于函數的圖象上，以點為圓心的與軸都相切，且與彼此外切．若，且,,的前項之和為，則（）A. B.C. D.11．數列，，，，，中，有序實數對是（）A. B.C. D.12．過點的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為()A. B.C.或 D.或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在點處的切線的方程為__________.14．已知圓錐的側面積為，若其過軸的截面為正三角形，則該圓錐的母線的長為___________.15．已知數列的前項和為，，則___________，___________.16．《九章算術》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵，中，M是的中點，，，，若，則_________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數列的前三項依次為，4，，前項和為，且.（1）求的通項公式及的值；（2）設數列的通項，求證是等比數列，并求的前項和.18．（12分）如圖長方體中，，，點為的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求二面角的余弦值.19．（12分）某校在全體同學中隨機抽取了100名同學，進行體育鍛煉時間的專項調查．將調查數據按平均每天鍛煉時間的多少（單位：分鐘）分成五組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．將平均每天體育鍛煉時間不少于60分鐘的同學定義為鍛煉達標，平均每天體育鍛煉時間少于60分鐘的同學定義為鍛煉不達標（1）求a的值，并估計該校同學平均每天體育鍛煉時間的中位數；（2）在樣本中，對平均每天體育鍛煉時間不達標的同學，按分層抽樣的方法抽取6名同學了解不達標的原因，再從這6名同學中隨機抽取2名進行調研，求這2名同學中至少有一名每天體育鍛煉時間（單位：分鐘）在內的概率20．（12分）在復數集C內方程有六個根分別為（1）解出這六個根；（2）在復平面內，這六個根對應的點分別為A，B，C，D，E，F；求多邊形ABCDEF的面積21．（12分）某快遞公司收取快遞費用的標準是：重量不超過的包裹收費10元；重量超過的包裹，除收費10元之外，超過的部分，每超出（不足，按計算）需要再收費5元.該公司近60天每天攬件數量的頻率分布直方圖如下圖所示（同一組數據用該區間的中點值作代表）.（1）求這60天每天包裹數量的平均值和中位數；（2）該公司從收取的每件快遞的費用中抽取5元作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的作為其他費用.已知公司前臺有工作人員3人，每人每天工資100元，以樣本估計總體，試估計該公司每天的利潤有多少元？（3）小明打算將四件禮物隨機分成兩個包裹寄出，且每個包裹重量都不超過，求他支付的快遞費為45元的概率.22．（10分）一個完美均勻且靈活的平衡鏈被它的兩端懸掛，且只受重力的影響，這個鏈子形成的曲線形狀被稱為懸鏈線（如圖所示）.選擇適當的坐標系后，懸鏈線對應的函數近似是一個雙曲余弦函數，其解析式可以為，其中，是常數.（1）當時，判斷并證明的奇偶性；（2）當時，若最小值為，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據橢圓的離心率，即可求出，進而求出長軸長.【詳解】由橢圓的性質可知，橢圓的離心率為，則，即所以橢圓C的長軸長為故選：C.【點睛】本題主要考查了橢圓的幾何性質，屬于基礎題.2、B【解析】可以看作點到直線與直線距離之和的倍，的取值與，無關，這個距離之和與點在圓上的位置無關，圓在兩直線內部，則，的距離為，則，，對于①，當時，r有最大值1，得出結論；對于②在r取最大值時，則點的軌跡是一條平行與，的直線，得出結論；對于③當時，則得出結論.【詳解】設，故可以看作點到直線與直線距離之和的倍，的取值與，無關，這個距離之和與點在圓上的位置無關，可知直線平移時，點與直線，的距離之和均為，的距離，即此時圓在兩直線內部，，的距離為，則，對于①，當時，r有最大值1，正確；對于②在r取最大值時，則點的軌跡是一條平行與，的直線，正確；對于③當時，則即，解得或，故錯誤.故正確結論有2個，故選：B.3、A【解析】設雙曲線半焦距為c，求出，由給定的正三角形建立等量關系，結合計算作答.【詳解】設雙曲線半焦距為c，則，而軸，由得，從而有，而是正三角形，即有，則，整理得，因此有，而，解得，所以C的離心率為.故選：A4、C【解析】根據通項公式及求出，從而求出前8項和.【詳解】當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，則數列的前8項和為.故選：C5、C【解析】分別在和中，求得的長度，再在中，利用余弦定理，即可求解.【詳解】如圖所示，可得，所以，在中，可得，在直角中，因為，所以，在中，由余弦定理可得，所以.故選：C.6、D【解析】由等差數列通項公式得，再結合題意得數列單調遞增，且滿足，，即，再解不等式即可得答案.【詳解】解：根據題意：數列是首項為，公差為1的等差數列，所以，由于數列滿足，所以對任意的都成立，故數列單調遞增，且滿足，，所以，解得故選：7、B【解析】求出的值，可得出雙曲線的漸近線方程.【詳解】由已知可得，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：B.8、D【解析】先求出平面ABC的法向量，然后將高看作為向量在平面ABC的法向量上的投影的絕對值，則答案可求.【詳解】設平面ABC的法向量為，而，，則,即有,不妨令,則,故,設三棱柱的高為h，則,故選：D.9、B【解析】根據基本初等函數的導數和求導法則判斷.【詳解】，，，，只有B正確.故選：B.【點睛】本題考查基本初等函數的導數公式，考查導數的運算法則，屬于基礎題.10、C【解析】根據兩圓的幾何關系及其圓心在函數的圖象上，即可得到遞推關系式，通過構造等差數列求得的通項公式，得出，最后利用裂項相消，求出數列前項和，即可求出.詳解】由與彼此外切，則，，，又∵，∴，故為等差數列且，，則，，則，即，故答案選：.11、A【解析】根據數列的概念，找到其中的規律即可求解.【詳解】由數列，，，，，可知，，，，，則，解得，故有序實數對是，故選：12、D【解析】分截距為零和不為零兩種情況討論即可﹒【詳解】當直線過原點時，滿足題意，方程為，即2x－y＝0；當直線不過原點時，設方程為，∵直線過(1，2)，∴，∴，∴方程為，故選：D﹒二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出導函數，得切線斜率后可得切線方程【詳解】，∴切線斜率為，切線方程為故答案為：14、【解析】利用圓錐的結構特征及側面積公式即得.【詳解】設圓錐的底面半徑為r，圓錐的母線為l,又圓錐過軸的截面為正三角形，圓錐的側面積為，∴，∴.故答案為：.15、①.②.【解析】第一空：由，代入已知條件，即可解得結果；第二空：由與關系可推導出之間的關系，再由遞推公式即可求出通項公式.【詳解】，可得由，可知時，故時即可化為又故數列是首項為公比為2的等比數列，故數列的通項公式故答案為：①；②16、【解析】建立空間直角坐標系，利用空間向量可以解決問題.【詳解】設,如下圖所示，建立空間直角坐標系，，，，，，則所以又因為所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）證明見解析，【解析】(1)直接利用等差中項的應用求出的值，進一步求出數列的通項公式和的值；(2)利用等比數列的定義即可證明數列為等比數列，進一步求出數列的和.【小問1詳解】等差數列的前三項依次為，4，，∴，解得；故首項為2，公差為2，故，前項和為，且，整理得，解得或－11(負值舍去).∴，k＝10.【小問2詳解】由(1)得：，故(常數)，故數列是等比數列；∴.18、（1）見解析（2）見解析（3）【解析】（1）作輔助線，由中位線定理證明，再由線面平行的判定定理證明即可；（2）連接，由勾股定理證明，，再結合線面垂直的判定定理證明即可；（3）建立空間直角坐標系，利用向量法求面面角的余弦值即可.【詳解】（1）連接交與點，連接四邊形為正方形，點為的中點又點為的中點，平面，平面平面（2）連接由勾股定理可知，，則同理可證，平面平面（3）建立如下圖所示的空間直角坐標系顯然平面的法向量即為平面的法向量，不妨設為由（2）可知平面，即平面的法向量為又二面角是鈍角二面角的余弦值為【點睛】關鍵點睛：在第一問中，關鍵是利用中位線定理找到線線平行，再由定義證明線面平行；在第二問中，關鍵是利用勾股定理證明線線垂直，從而得出線面垂直；在第三問中，關鍵是建立坐標系，利用向量法求面面角的余弦值.19、（1），中位數為64；（2）.【解析】（1）由頻率和為1求參數a，根據中位數的性質，結合頻率直方圖求中位數.（2）首先由分層抽樣求6名同學的分布情況，再應用列舉法求概率.【詳解】（1）由題設，，可得，∴中位數應在之間，令中位數為，則，解得.∴該校同學平均每天體育鍛煉時間的中位數為64.（2）由題設，抽取6名同學中1名在，2名在，3名在，若1名在為，2名在為，3名在為，∴隨機抽取2名的可能情況有共15種，其中至少有一名在內的共12種，∴這2名同學中至少有一名每天體育鍛煉時間（單位：分鐘）在內的概率為.20、（1）（2）【解析】（1）原式可因式分解為，令，設可求解出的兩個虛根，同理可求解的兩個虛根，即得解；（2）六個點構成的圖形為正六邊形，邊長為1，計算即可【小問1詳解】由題意，當時，設故，所以解得：，即當時，設故所以解得：，即故：【小問2詳解】六個根對應的點分別為A，B，C，D，E，F，其中在復平面中描出這六個點如圖所示：六個點構成的圖形為正六邊形，邊長為1故21、(1)公司每天包裹的平均數和中位數都為260件.(2)該公司平均每天的利潤有1000元．(3).【解析】（1）對于平均數，運用平均數的公式即可；由于中位數將頻率分布直方圖分成面積相等的兩部分，先確定中位數位于哪一組，然后建立關于中位數的方程即可求出.（2）利用每天的總收入減去工資的支出，即可得到公司每天的利潤.（3）該為古典概型，根據題意分別確定總的基本事件個數，以及事件“快遞費為45元”包括的基本事件個數，即可求出概率.【詳解】（1）每天包裹數量的平均數為；或：由圖可知每天攬50、150、250、350、450件的天數分別為6、6、30、12、6，所以每天包裹數量的平均數為設中位數為x，易知，則，解得x=260.所以公司每天包裹的平均數和中位數都為260件.（2）由（1）可知平均每天的攬件數為260，利潤為(元)，所以該公司平均每天的利潤有1000元（3）設四件禮物分為二個包裹E、F，因為禮物A、C、D共重（千克），禮物B、C、D共重（千克