正方形湘教·八年級(jí)下冊(cè)新課導(dǎo)入

裝修房子鋪地板的磚（如下圖）大都是正方形的形狀，它是什么樣的四邊形呢？它與平行四邊形、矩形、菱形有什么關(guān)系？矩形呢？正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角.正方形既是矩形又是菱形.做一做：用一張長(zhǎng)方形紙片折出一個(gè)正方形.

我們把有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.定義有一個(gè)角是直角一組鄰邊相等一組鄰邊相等有一個(gè)角是直角說一說，正方形具有哪些性質(zhì)？正方形的四條邊都相等.AB=BC=CD=DA正方形的四個(gè)角都是直角.∠A=∠B=∠C=∠D=90°正方形的對(duì)角線相等，且互相垂直平分.AC=BD且AC⊥BD,OA=OC,OB=OD說一說，正方形具有哪些性質(zhì)？由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：正方形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中心.正方形是軸對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線所在直線，以及過每一組對(duì)邊中點(diǎn)的直線都是它的對(duì)稱軸.證明∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=CD，∠A=∠DCF=90°.∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°,即∠1+∠3=90°，又∵∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2.∴△AED≌△CFD（ASA）.∴DE=DF.如圖，點(diǎn)E

是正方形ABCD的邊AB

上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥DE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：DE=DF.【教材P73】觀察示意圖，說一說如何判斷一個(gè)四邊形是正方形？證明【教材P73】如圖，已知點(diǎn)A′，B′，C′，D′分別是正方形ABCD

四條邊上的點(diǎn)，并且AA′=BB′=CC′=DD′.求證：四邊形A′B′C′D′是正方形.∵四邊形ABCD

為正方形，∴AB=BC=CD=DA.又∵AA′=BB′=CC′=DD′，∴D′A=A′B=B′C=C′D.又∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴△AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′.∴A′D′=B′A′=C′B′=D′C′.∴四邊形A′B′C′D′

是菱形.又∵∠1=∠3，∠1+∠2=90°，∴∠2+∠3=90°.∴∠D′A′B′=90°.∴四邊形A′B′C′D′

是正方形.邊角對(duì)角線對(duì)稱性平行四邊形矩形菱形正方形對(duì)邊平行且相等對(duì)角相等兩條對(duì)角線互相平分中心對(duì)稱對(duì)邊平行且相等

四個(gè)角都是直角兩條對(duì)角線互相平分且相等

軸對(duì)稱中心對(duì)稱對(duì)邊平行，四條邊都相等對(duì)角相等兩條對(duì)角線互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角

軸對(duì)稱中心對(duì)稱幾種特殊四邊形的性質(zhì)對(duì)邊平行，四條邊都相等

四個(gè)角都是直角兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角

軸對(duì)稱中心對(duì)稱特殊四邊形的常用判定方法

平行四邊形（1）兩組對(duì)邊分別平行；（2）兩組對(duì)邊分別相等；（3）一組對(duì)邊（4）兩條對(duì)角線互相平分；（5）兩組對(duì)角分別相等矩形

（1）有三個(gè)角是直角；（2）有一個(gè)角是直角的平行四邊形；（3）兩條對(duì)角線相等的平行四邊形

菱形（1）四條邊都相等；（2）有一組鄰邊相等的平行四邊形；（3）

兩條對(duì)角線互相垂直的平行四邊形正方形（2）有一組鄰邊相等的矩形；（3）有一個(gè)角是直角的菱形平行且相等;

（1）有一個(gè)角是直角的有一組鄰邊相等的平行四邊形；練習(xí)【教材P74】已知正方形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為4cm，求它的邊長(zhǎng)和面積.解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xcm，根據(jù)勾股定理，得x2＋x2=42，∴x2=8，∴x=.∴S正方形=x2=8(cm2).∴正方形的邊長(zhǎng)為cm，面積為8cm2.2.如果一個(gè)矩形的兩條對(duì)角線互相垂直，那么這個(gè)矩形一定是正方形嗎？為什么？理由：由兩條對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形可得此矩形的四條邊都相等，即為正方形.【教材P74】答：是正方形.隨堂練習(xí)【教材P74】如圖，在正方形ABCD

的外側(cè)作等邊△DCE，求∠AEB

的度數(shù).易知△DAE

為等腰三角形，∠ADE=150°.∵∠DEA=∠DAE=15°.同理∠CEB=15°.∵△DCE為等邊三角形，∴∠DEC=60°.∴∠AEB=60°-15°-15°=30°.解【教材P74】如圖，將正方形ABCD

的各邊AB，BC，CD，DA

順次延長(zhǎng)至E，F(xiàn)，G，H，且使BE=CF=DG=AH.求證：四邊形EFGH是正方形.在Rt△EAH和Rt△FBE中，∵BF=AE，BE=AH，∴Rt△EAH≌Rt△FBE.∴HE=EF.同理可證：EF=FG=GH.由此得四邊形EFGH

是菱形.∵∠AEH+∠AHE=90°，又∠AHE=∠BEF，即∠HEF=90°.∴

四邊形

EFGH為正方形.證明∵OF⊥AC于F，OG⊥BC于G，∴∠OGC=∠C=∠CFO=90°.∴四邊形OGCF

是矩形.過點(diǎn)O作OH⊥AB于H.∵∠BAC，∠ABC的平分線AD，BE相交于點(diǎn)O，∴OF=OH=OG.∴四邊形OGCF是正方形.【教材P74】如圖，在Rt△ABC

中，兩銳角