勾股定理的實際應用

1.如圖，有兩棵樹，一棵高10m,另一棵高4m,兩樹相距8m,一只小鳥從一棵樹的樹頂飛到另

一棵樹的樹頂，小鳥至少飛行（B）

2.如圖，在高為3m,斜坡長為5m的樓梯臺階上鋪地毯，則地毯的長度至少要為（D）

3.如圖，/ACB=90°,以RtAABC的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為多,&，S?,

4.（2020河北）如圖，從筆直的公路/旁一點P出發，向西走6k機到達/；從P出發向北走6火機也

到達/,下列說法錯誤的是（D）

A.從點P向北偏西45。走3km到達/

B.公路/的走向是南偏西45。

C.公路/的走向是北偏東45°

D.從點P向北走3km后，再向西走3km到達/

1

【點撥】如圖，。為BP的中點:，C為AB的中點.連接PC,CD由題意可得是腰長為6km

的等腰直角三角形，貝UAB=6V5km,所以PC=3嫄km,則從點P向北偏西45。走km到達

/,選項A錯誤；公路/的走向是南偏西45?；虮逼珫|45。，選項B,C正確；從點P向北走3km

后到達。點，再向西走3km到達/

上的C點，選項D正確.

5.《九章算術》中的“折竹抵地”問題（如圖）：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.問折高者幾何？

意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹

子底部6尺遠，問折斷處離地面的高度是多少？設折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為

（D）

A.X2-6=（10-X）2B.X2-62=（10-A:）2

C.?+6=（10-x）2D.?+62=（10-^）2

6.【2020?廣西北部灣經濟區】《九章算術》是古代東方數學代表作，書中記載：今有開門去向（讀

dn,門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何？題目大意是：如圖①②（圖②為圖①的平面示意

圖），推開雙門，雙門間隙C,D的距離為2寸，點C和點D距離門檻AB都為1尺（1尺=10寸），

則AB的長是（C）

A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸

【點撥】如圖所示.

由題意得OA=OB=AO=BC,DE=1尺=10寸，OE=3cO=l寸.設OA=OB=AO=8c=/?寸，

則AB=2r寸，AE=（r-l）寸.

在RtZXADE中,AE2+DE1=AD2,即（ll-+gM,解得r=50.5".2r=101,，A8=101寸.【答

案】C

7.如圖，一個梯子AB長2.5米，頂端A靠在墻AC上，這時梯子下端B與墻腳C的距離為1.5

米，梯子滑動后停在OE的位置上，測得BD長為0.9米，則梯子頂端A下移了（B）

2

A.().9米B.1.3米C.1.5米D.2米

8.如圖，長方體的長為15,寬為10,高為20,點B離點C的距離為5,一只螞蟻如果要沿著長方

體的表面從點A爬到點8,需要爬行的最短距離是（B）

A.5729B.25C.10^5+5D.35

A

【點撥】將長方體的表面展開，可得需要爬行的最短距離是42（12+152=25.

本題易考慮不全面，不能準確地找出最短路徑而致錯.【答案】B

9.（中考?營口）如圖，在△ABC中，AC=BC,乙4cB=9（）。，點。在BC上，BD=3,DC=\,點P

是AB上的動點，則PC+PD的最小值為（B）

【點撥】由題易知NC8A=NA=45。.

如圖，過點C作CO1_AB于O,延長C。到C,

使。。=OC,連接OC,交AB于連接C尸，

此時DP'+CP'=OP'+P'C'=OC的值最小.

連接BC,由對稱性可知NC8P=NC8P，=45。，

.,.ZCBC'=90°,；.BC」BC,NBCC'=NBC'C=45°.

：.BC=BC'=3+l=4.

根據勾股定理可得DC=yjBC'2+BD2=^42+32=5.

3

【答案】B

10.（中考?安徽）如圖，在長方形ABCD中，48=5,AD=3,動點戶滿足以用8=gs長方形ABCDf則點

P到A,B兩點距離之和B4+P8的最小值為（D）

A.729B.取C.5^2D.何

【點撥】設△以B中AB邊上的高是/?.VSAMB=15K?4BCO-

.'.^ABh=^ABAD,.,.h=^AD—2.

動點P在與AB平行且與4B的距離是2的直線/上，如圖，作點A關于直線/的對稱點E,連

接BE,則BE的長就是所求的最短的距離之和.

在RtAABE中，

：AB=5,4E=2+2=4,

二BE=4AB?+AE?+42=何,即PA+PB的最小值為佝.

【答案】D

11.（2019?江蘇南京）無蓋圓柱形杯子的展開圖如圖，將一根長為20cm的細木筷斜放在該杯子內,

木筷露在杯子外面的部分至少有5_cm.

12.如圖，是“趙爽弦圖”，△4BH,ABCG,△CDF和△D4E是四個全等的直角三角形，四邊

形48CD和EFGH都是正方形，如果EF=4,AH=\2,那么48長為20?

13.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20dm,3dm,2dm,點A和點8是這

個臺階兩個相對的端點，點A有一只螞蟻，想到點8去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到點

4

B的最短路程是___25.dm.

14.（2020秋?金牛區校級月考）如圖，公路MN和公路PQ在點P處交會，公路PQ上點A處有學

校，點A到公路的距離為80m.現有一卡車在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行駛，卡

車行駛時周圍100m以內都會受到噪音的影響，請你算出該學校受影響的時間為24秒.

【點撥】設卡車開到C處剛好開始受到影響，行駛到D處時結束，在RtZVICB中求出CB,繼而

得出CD,再由卡車的速度可得出所需時間.設卡車開到C處剛好開始受到影響，行駛到。處時

在RtZXABC中，CB=V1002-802=60(m),

：.CD=2CB=120(m),

則該校受影響的時間為：120+5=24（s）.

故答案為：24.

15.【中考?黃岡】如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm,底面周長為32cm,在杯內壁離杯底5cm的

點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對的A處，則螞蟻從外

壁A處到內壁B處的最短距離為—20—cm（杯壁厚度不計）.

Q-------------',B

尸1-------------------\G

【點撥】本題考查最短路徑問題.沿過點A的圓柱的高展開圓柱的側面，得出長方形EFGH,過點

5

B作BQ1EF于點Q,作點A關于EH的對稱點A',連接A'B交EH于點P,連接AP,如圖所示，

則AP+PB就是螞蟻到達蜂蜜的最短距離.

易知：.AP+PB=A'P+PB=A'B.

：BQ=；X32=16(cm),A，Q=14-5+3=12(cm),

...在Rt/\A'QB中，由勾股定理得\62+\22=20(cm).

16.有一輛裝滿貨物的卡車，高5%,寬3.2皿貨物的頂部是水平的)，要通過如圖所示的截面的上

半部分是半圓，下半部分是長方形的隧道，已知半圓的直徑為4機，長方形豎直的一條邊長是4.6

tn.

(1)這輛卡車能否通過此隧道？請說明理由：

(2)為了減少交通擁堵，交通部門想把該隧道改為雙向隧道，這時這輛卡車能通過這條隧道嗎？

(1)解：能通過.理由如下：

如圖，設。為半圓的圓心，為半圓的直徑，在0B上截取OE=3.2+2=1.6(a),過點E作EF_L

AB交半圓于點F,連接OF.

在Rt2\OE尸中,OF2=OE2+EF2,即22=1.62+EF2,所以E尸=1.2加,因為1.2+4.6=5.8(機)>5機，

所以這輛卡車能通過此隧道.

(2)：當把該隧道改為雙向隧道時，4+2=2(相)<3.2機，

所以這時這輛卡車不能通過這條隧道.

17.在波平如鏡的湖面上，有一朵盛開的美麗的紅蓮，它高出水面30cm(如圖).突然一陣大風吹

過，紅蓮被吹至一邊，花朵剛好齊及水面，如果知道紅蓮移動的水平距離為60cm,請問水深多少？

【點撥】本題利用了方程思想，解題的關鍵是根據題意畫出圖形，再利用勾股定理列方程求解.

解：設水深”cm.

6

如圖，在RtAABC中，AB=hcm,AC=(/z+30)cm,8c=60cm.

由勾股定理得AC^A^+BC2,即(A+30)2=后+60\解得/J=45.

答：水深45cm.

18.在海洋上有一近似于四邊形的島嶼，其平面圖如圖①，小明據此構造出該島的一個數學模型（如

圖②中的四邊形A8C。）來求島嶼的面積，其中ZB=N￡>=90。,AB=8C=15千米，C￡>=36千米，

請求出四邊形AB。的面積（結果保留根號）.

解：如圖，連接AC.

：AB=BC=15千米，ZB=90°,；.AC=15陋千米.

又?.?N￡>=90°,...A￡>=d^二Z"=12小千米.

=（等+18班）平方千米.

?'?'S四邊彩ABCD=SAABC+$4ADC

19.如圖，為了美化校園，學校準備在三邊長分別是13m,13m,10m和7m,8m,9m的兩塊

三角形空地上種植花草，你能分別計算出這兩塊空地的面積嗎？如果能，請寫出你的計算過程.

①

【點撥】求三角形的面積，必須知道底和高，本題中高未知，故需過點A作BC邊上的高，利用勾

7

股定理求高.

解：能.

如圖①，過點A作AD_LBC,垂足為D

'：AB=AC=}3m,BC=l()m,：.BD=CD=5m.

.?.44=汽4中一8￡)2=#132-52=12(m).

；?SAABC=K，BCAO=1X10X12=60(m)

如圖②，過點A作AE1BC,垂足為E.設BE=xm,則CE=(9-x)m.在Rt/XABE與RtAACE中，

A^=ABL-BEL=AC2-CE2,即64―/=49一(9一勸2,解得廣竽，

LAEKAB2-Bf2=764-(號)=^^(m).

5AABC=|X9X羋=12小(n?).即圖①中空地的面積為

60m2,圖②中空地的面積為12小n?.

20.(202().青海)某市為了加快5G網絡信號覆蓋，在市區附近小山頂架設信號發射塔，如圖所示.小

軍為了知道發射塔的高度，從地面上的一點A測得發射塔頂端點P的仰角是45°,向前走60米

到達點B測得點P的仰角是6()。，測得發射塔底部點Q的仰角是30°.請你幫小軍計算出信號發

射塔PQ的高度.(結果精確到0.1米,小0.732)

解：4c=45°,NPCA=9()°,：.AC=PC,

VZPBC=60°,NQBC=3Q°,ZPCA=9()0,

NBPQ=NP8Q=30°,：.BQ=PQ,CQ=\BQ,

設BQ=PQ=x,則CQ=^SQ=^x,

根據勾股定理可得BCKBQ1-cC丹x,

所以AB+BC=PQ+QC即60+率x=x+；x,

解得x=60+2M=?60+20X1.732=94.64=94.6,

答：PQ的高度為94.6米.

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21.（2020秋?海勃灣區期末）交通安全是社會關注的熱點問題，安全隱患主要是超速和超載.某

中學八年級數學活動小組的同學進行了測試汽車速度的實驗.如圖，先在筆直的公路1旁選取一

點P,在公路/上確定點0、B,使得PO_U,P0=100米，ZPBO=45°.這時，一輛轎車在公路

/上由B向A勻速駛來，測得此車從B處行駛到A處所用的時間為3秒，并測得NAPO=60°.此

路段限速每小時80千米，試判斷此車是否超速？請說明理由（參考數據：V2=1.41,V3=1.73）.

【點撥】解直角三角形得到AB=OA-08^73米，求得此車的速度七86千米/小時〉80千米/

小時，于是得到結論.

【解析】此車超速，

理由：'：ZPOB=90a,NPBO=45°,

.?.△PO8是等腰直角三角形，

AOB=OP=100米，

；ZAPO=60°,

/.OA=V30P=100A/37173米，

：.AB=OA-。8=73米，

：.-?24米/秒七86千米/小時＞80千米/小時，

此車超速.

22.（2020秋?鄲都區期中）如圖，長方體的長為20cm,寬為10cm,高為15cm，點B與點C之間

的距離為5cm,一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點8去吃一滴蜜糖.

（1）求出點A到點8的距離；

（2）求螞蟻從點A爬到點B的最短路程是多少？

【點撥】（1）分三種情況討論：把左側面展開到水平面上，連結AB,如圖1；把右側面展開到

正面上，連結AB,如圖2；把向上的面展開到正面上，連結