12.3角的平分線的性質(zhì)

第1課時(shí)角平分線的作法及性質(zhì)R·八年級(jí)上冊(cè)右圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC，將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是∠DAB的平分線．你能說明它的道理嗎？ABDC新課導(dǎo)入E學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．學(xué)會(huì)角平分線的畫法.2．探究并認(rèn)知角平分線的性質(zhì).3．熟練地運(yùn)用角平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問題.推進(jìn)新課證明：在△ACD和△ACB中，AD=AB（已知），DC=BC（已知），CA=CA（公共邊）∴△ACD≌△ACB（SSS）．∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.∴AC平分∠DAB（角平分線的定義）.ADBCE從利用平分角的儀器畫角的平分線的過程中，你受到哪些啟發(fā)？如何利用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角的平分線？用尺規(guī)作角的平分線知識(shí)點(diǎn)1

你能說明為什么射線OC

是∠AOB

的平分線嗎？ABOMNC練習(xí)1平分平角∠AOB，通過作角平分線得到射線OC，然后反向延長OC得到直線CD，直線CD與直線AB存在什么樣的位置關(guān)系？互相垂直.練習(xí)2給一張三角形紙片，你能不借助任何工具找到某一個(gè)角的平分線嗎？能，將這個(gè)三角形沿過一個(gè)頂點(diǎn)的線折疊，使在該頂點(diǎn)的角的兩邊重合，則這條線就是這個(gè)角的平分線.角的平分線的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)2利用尺規(guī)我們可以作一個(gè)角的平分線，那么角的平分線有什么性質(zhì)呢？

如圖，任意作一個(gè)角∠AOB，作出∠AOB的平分線OC，在OC

上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P

畫出OA，OB

的垂線，分別記垂足為D，E，測(cè)量PD，PE

并作比較，你得到什么結(jié)論？探究在OC

上再取幾個(gè)點(diǎn)試一試．通過以上測(cè)量，你發(fā)現(xiàn)了角的平分線的什么性質(zhì)？觀察測(cè)量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)論：____________.

PD

PE

第一次第二次第三次

PD=PE已知：∠AOC=∠BOC，點(diǎn)P

在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．求證：PD

=PE．角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．題設(shè)：

一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上．結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等．證明:∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO

，∠AOC=∠BOC

，

OP=OP

，

∴

△PDO≌△PEO（AAS）.∴PD=PE

.∵OC是∠AOB的平分線，

PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．幾何語言：角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．由角的平分線的性質(zhì)的證明過程，你能概括出證明幾何命題的一般步驟嗎？（1）明確命題中的已知和求證；（2）根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號(hào)表示已知和求證；（3）經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程．

角的平分線的性質(zhì)的作用是什么？主要是用于判斷和證明兩條線段是否相等，與以前的方法相比，運(yùn)用此性質(zhì)不需要先證兩個(gè)三角形全等．ABOPCDE練習(xí)1

下列結(jié)論一定成立的是

．（1）如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，D，E分別為OA，OB上的點(diǎn)，則PD=PE．ABOPCDE練習(xí)1

下列結(jié)論一定成立的是

．（2）如圖，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，則PD=PE．練習(xí)1

下列結(jié)論一定成立的是

．（3）如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，垂足為D．若PD=3，則點(diǎn)P到OB的距離為3．ABOPCD（3）在此題的已知條件下，你還能得到哪些結(jié)論？練習(xí)2

如圖，△ABC中，BD=CD，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：EB=FC．ABCDEF隨堂演練1.如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C、D．下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.PC=PDB.OC=ODC.∠CPO=∠DPOD.OC=PO基礎(chǔ)鞏固D2.如圖，在直線MN上求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到射線OA和OB的距離相等.【課本P50練習(xí)第1題】2.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，則下列四個(gè)結(jié)論：綜合應(yīng)用①AD

上任意一點(diǎn)到點(diǎn)C、點(diǎn)B的距離相等；②AD上任意一點(diǎn)到AB，AC的距離相等；③BD