2022-2023學年江蘇省南通市高三最后一考數學試題試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的左焦點為，直線經過點且與雙曲線的一條漸近線垂直，直線與雙曲線的左支交于不同的兩點，，若，則該雙曲線的離心率為（）．A． B． C． D．2．已知向量與的夾角為，定義為與的“向量積”，且是一個向量，它的長度，若，，則（）A． B．C．6 D．3．已知函數的圖像上有且僅有四個不同的關于直線對稱的點在的圖像上，則的取值范圍是()A． B． C． D．4．已知集合，，則（）A． B．C． D．5．在復平面內，復數z=i對應的點為Z，將向量繞原點O按逆時針方向旋轉，所得向量對應的復數是（）A． B． C． D．6．已知函數與的圖象有一個橫坐標為的交點，若函數的圖象的縱坐標不變，橫坐標變為原來的倍后，得到的函數在有且僅有5個零點，則的取值范圍是()A． B．C． D．7．若雙曲線的離心率為，則雙曲線的焦距為（）A． B． C．6 D．88．已知函數（其中為自然對數的底數）有兩個零點，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．9．在平面直角坐標系中，經過點，漸近線方程為的雙曲線的標準方程為（）A． B． C． D．10．已知為坐標原點，角的終邊經過點且，則()A． B． C． D．11．如圖所示，矩形的對角線相交于點，為的中點，若，則等于（）．A． B． C． D．12．過拋物線的焦點的直線與拋物線交于、兩點，且，拋物線的準線與軸交于，的面積為，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，角所對的邊分別為，，的平分線交于點D，且，則的最小值為________．14．已知單位向量的夾角為,則=_________.15．已知集合，.若，則實數a的值是______.16．已知不等式的解集不是空集,則實數的取值范圍是；若不等式對任意實數恒成立，則實數的取值范圍是___三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）表示，中的最大值，如，己知函數，.（1）設，求函數在上的零點個數；（2）試探討是否存在實數，使得對恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.18．（12分）已知函數.（1）當時，求不等式的解集；（2）若對任意成立，求實數的取值范圍.19．（12分）某商場以分期付款方式銷售某種商品，根據以往資料統計，顧客購買該商品選擇分期付款的期數的分布列為：2340.4其中，（Ⅰ）求購買該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率；（Ⅱ）商場銷售一件該商品，若顧客選擇分2期付款，則商場獲得利潤l00元，若顧客選擇分3期付款，則商場獲得利潤150元，若顧客選擇分4期付款，則商場獲得利潤200元.商場銷售兩件該商品所獲的利潤記為（單位：元）（ⅰ）求的分布列；（ⅱ）若，求的數學期望的最大值.20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，底面ABCD是邊長為2的菱形，點E，F分別為棱DC，BC的中點，點G是棱SC靠近點C的四等分點.求證：（1）直線平面EFG；（2）直線平面SDB.21．（12分）已知函數f(x)＝|x－2|－|x＋1|.（Ⅰ）解不等式f(x)>1；（Ⅱ）當x>0時，若函數g(x)(a>0)的最小值恒大于f(x)，求實數a的取值范圍．22．（10分）在平面直角坐標系中，曲線：（為參數，），曲線：（為參數）.若曲線和相切.（1）在以為極點，軸非負半軸為極軸的極坐標系中，求曲線的普通方程；（2）若點，為曲線上兩動點，且滿足，求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

直線的方程為，令和雙曲線方程聯立，再由得到兩交點坐標縱坐標關系進行求解即可.【詳解】由題意可知直線的方程為,不妨設.則，且將代入雙曲線方程中，得到設則由，可得，故則，解得則所以雙曲線離心率故選：A【點睛】此題考查雙曲線和直線相交問題，聯立直線和雙曲線方程得到兩交點坐標關系和已知條件即可求解，屬于一般性題目.2、D【解析】

先根據向量坐標運算求出和，進而求出，代入題中給的定義即可求解.【詳解】由題意，則，，得，由定義知，故選:D.【點睛】此題考查向量的坐標運算，引入新定義，屬于簡單題目.3、D【解析】

根據對稱關系可將問題轉化為與有且僅有四個不同的交點；利用導數研究的單調性從而得到的圖象；由直線恒過定點，通過數形結合的方式可確定；利用過某一點曲線切線斜率的求解方法可求得和，進而得到結果.【詳解】關于直線對稱的直線方程為：原題等價于與有且僅有四個不同的交點由可知，直線恒過點當時，在上單調遞減；在上單調遞增由此可得圖象如下圖所示：其中、為過點的曲線的兩條切線，切點分別為由圖象可知，當時，與有且僅有四個不同的交點設，，則，解得：設，，則，解得：，則本題正確選項：【點睛】本題考查根據直線與曲線交點個數確定參數范圍的問題；涉及到過某一點的曲線切線斜率的求解問題；解題關鍵是能夠通過對稱性將問題轉化為直線與曲線交點個數的問題，通過確定直線恒過的定點，采用數形結合的方式來進行求解.4、C【解析】

求出集合，計算出和，即可得出結論.【詳解】，，，.故選：C.【點睛】本題考查交集和并集的計算，考查計算能力，屬于基礎題.5、A【解析】

由復數z求得點Z的坐標，得到向量的坐標，逆時針旋轉，得到向量的坐標，則對應的復數可求.【詳解】解：∵復數z=i（i為虛數單位）在復平面中對應點Z（0，1），

∴＝(0，1)，將繞原點O逆時針旋轉得到，

設＝(a，b)，，則，即，

又，解得：，∴，對應復數為.故選：A.【點睛】本題考查復數的代數表示法及其幾何意義，是基礎題.6、A【解析】

根據題意，，求出，所以，根據三角函數圖像平移伸縮，即可求出的取值范圍.【詳解】已知與的圖象有一個橫坐標為的交點，則，，，，，若函數圖象的縱坐標不變，橫坐標變為原來的倍，則，所以當時，，在有且僅有5個零點，，.故選：A.【點睛】本題考查三角函數圖象的性質、三角函數的平移伸縮以及零點個數問題，考查轉化思想和計算能力.7、A【解析】

依題意可得，再根據離心率求出，即可求出，從而得解；【詳解】解：∵雙曲線的離心率為，所以，∴，∴，雙曲線的焦距為.故選：A【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質，屬于基礎題.8、B【解析】

求出導函數，確定函數的單調性，確定函數的最值，根據零點存在定理可確定參數范圍．【詳解】，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，∴在上只有一個極大值也是最大值，顯然時，，時，，因此要使函數有兩個零點，則，∴．故選：B．【點睛】本題考查函數的零點，考查用導數研究函數的最值，根據零點存在定理確定參數范圍．9、B【解析】

根據所求雙曲線的漸近線方程為，可設所求雙曲線的標準方程為k．再把點代入，求得k的值，可得要求的雙曲線的方程．【詳解】∵雙曲線的漸近線方程為設所求雙曲線的標準方程為k．又在雙曲線上，則k=16-2=14,即雙曲線的方程為∴雙曲線的標準方程為故選：B【點睛】本題主要考查用待定系數法求雙曲線的方程，雙曲線的定義和標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，屬于基礎題．10、C【解析】

根據三角函數的定義，即可求出，得出，得出和，再利用二倍角的正弦公式，即可求出結果.【詳解】根據題意，，解得，所以，所以，所以.故選：C.【點睛】本題考查三角函數定義的應用和二倍角的正弦公式，考查計算能力.11、A【解析】

由平面向量基本定理，化簡得，所以，即可求解，得到答案．【詳解】由平面向量基本定理，化簡，所以，即，故選A．【點睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應用，其中解答熟記平面向量的基本定理，化簡得到是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，數基礎題．12、B【解析】

設點、，并設直線的方程為，由得，將直線的方程代入韋達定理，求得，結合的面積求得的值，結合焦點弦長公式可求得.【詳解】設點、，并設直線的方程為，將直線的方程與拋物線方程聯立，消去得，由韋達定理得，，，，，，，，可得，，拋物線的準線與軸交于，的面積為，解得，則拋物線的方程為，所以，.故選：B.【點睛】本題考查拋物線焦點弦長的計算，計算出拋物線的方程是解答的關鍵，考查計算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、9【解析】分析：先根據三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.詳解：由題意可知，,由角平分線性質和三角形面積公式得，化簡得，因此當且僅當時取等號，則的最小值為.點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現錯誤.14、【解析】

因為單位向量的夾角為，所以，所以==.15、9【解析】

根據集合交集的定義即得.【詳解】集合，，，，則a的值是9.故答案為：9【點睛】本題考查集合的交集，是基礎題.16、【解析】

利用絕對值的幾何意義，確定出的最小值，然后根據題意即可得到的取值范圍化簡不等式，求出的最大值，然后求出結果【詳解】的最小值為，則要使不等式的解集不是空集，則有化簡不等式有，即而當時滿足題意，解得或所以答案為【點睛】本題主要考查的是函數恒成立的問題和絕對值不等式，要注意到絕對值的幾何意義，數形結合來解答本題，注意去絕對值時的分類討論化簡三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）個；（1）存在，.【解析】試題分析：（1）設，對其求導，及最小值，從而得到的解析式，進一步求值域即可；（1）分別對和兩種情況進行討論，得到的解析式，進一步構造，通過求導得到最值，得到滿足條件的的范圍．試題解析：（1）設，．．．．．．．．．．．．．1分令，得遞增；令，得遞減，．．．．．．．．．．．．．．．．．1分∴，∴，即，∴．．．．．．．．．．．．．3分設，結合與在上圖象可知，這兩個函數的圖象在上有兩個交點，即在上零點的個數為1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（或由方程在上有兩根可得）（1）假設存在實數，使得對恒成立，則，對恒成立，即，對恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分①設，令，得遞增；令，得遞減，∴，當即時，，∴，∵，∴4．故當時，對恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分當即時，在上遞減，∴．∵，∴，故當時，對恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分②若對恒成立，則，∴．．．．．．．．．．．11分由①及②得，．故存在實數，使得對恒成立，且的取值范圍為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分考點：導數應用.【思路點睛】本題考查了函數恒成立問題；利用導數來判斷函數的單調性，進一步求最值；屬于難題．本題考查函數導數與單調性.確定零點的個數問題：可利用數形結合的辦法判斷交點個數，如果函數較為復雜，可結合導數知識確定極值點和單調區間從而確定其大致圖象.方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉化為求函數的值域問題處理.恒成立問題以及可轉化為恒成立問題的問題，往往可利用參變分離的方法，轉化為求函數最值處理．也可構造新函數然后利用導數來求解.注意利用數形結合的數學思想方法.18、（1）（2）【解析】

（1）把代入，利用零點分段討論法求解；（2）對任意成立轉化為求的最小值可得.【詳解】解：（1）當時，不等式可化為.討論：①當時，，所以，所以；②當時，，所以，所以；③當時，，所以，所以.綜上，當時，不等式的解集為.（2）因為，所以.又因為，對任意成立，所以，所以或.故實數的取值范圍為.【點睛】本題主要考查含有絕對值不等式的解法及恒成立問題，恒成立問題一般是轉化為最值問題求解，側重考查數學建模和數學運算的核心素養.19、（Ⅰ）0.288（Ⅱ）（ⅰ）見解析（ⅱ）數學期望的最大值為280【解析】

（Ⅰ）根據題意，設購買該商品的3位顧客中，選擇分2期付款的人數為，由獨立重復事件的特點得出，利用二項分布的概率公式，即可求出結果；（Ⅱ）（ⅰ）依題意，的取值為200，250，300，350，400，根據離散型分布求出概率和的分布列；（ⅱ）由題意知，，解得，根據的分布列，得出的數學期望，結合，即可算出的最大值.【詳解】解：（Ⅰ）設購買該商品的3位顧客中，選擇分2期付款的人數為，則，則，故購買該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率為0.288.（Ⅱ）（ⅰ）依題意，的取值為200，250，300，350，400，，，，，的分布列為：2002503003504000.16（ⅱ），由題意知，，，，，又，即，解得，，，當時，的最大值為280，所以的數學期望的最大值為280.【點睛】本題考查獨立重復事件和二項分布的應用，以及離散型分布列和數學期望，考查計算能力.20、（1）見解析（2）見解析【解析】

(1)連接AC、BD交于點O,交EF于點H,連接GH,再證明即可.(2)證明與即可.【詳解】（1）連接AC、BD交于點O,交EF于點H,連接GH,所以O為AC的中點,H為OC的中點,由E、F為DC、BC的中點,再由題意可得,所以在三角形CAS中,平面EFG,平面EFG,所以直線平面EFG.（2）在中,,,,由余弦定理得,,即,解得,由勾股定理逆定理可知,因為側面底面ABCD