第2

章虛位移原理清華大學范欽珊2023年10月23日

第2章

虛位移原理

虛位移原理及其應用

勢能駐值定理與最小勢能原理

結論與討論

虛位移原理及其應用

第2章

虛位移原理

虛位移原理;

如何應用虛位移原理;

應用于剛體系統;

應用于彈性體求內力.

虛位移原理及其應用

虛位移原理

具有理想、定常、雙面約束的系統，其滿足約束條件的諸多位形中，平衡位形的充要條件是主動力系在這一位形的虛位移上虛功之和等于零。位形是平衡位形虛功之和等于零

虛位移原理及其應用

虛位移原理數學表達式

對于質點系

W=

i=1nFi?

ri＝0

i=1nFi?

ri

W=＋

i=1mM?

＝0對于質點－剛體系

虛位移原理及其應用

如何應用虛位移原理

判斷約束性質，確定自由度，選擇廣義坐標。

N=1，q=

以廣義坐標的變分作為系統的虛位移，確定主動力作用點的虛位移。由

xA=lsin,yB=2lcos

得到

xA=lcos

yB=-2lsin

虛位移原理及其應用

建立系統的虛功方程并求得解答

－F

xA+W

yB＝0(－Flcos

＋W2lsin

)

=0

以廣義坐標的變分作為系統的虛位移，確定主動力作用點的虛位移。由

xA=lsin,yB=2lcos

得到

xA=lcos

yB=-2lsin

虛位移原理及其應用

如何應用虛位移原理

建立系統的虛功方程并求得解答

－F

xA+W

yB＝0(－Flcos

＋W2lsin

)

=0

0－Flcos

＋W2lsin

＝0W=Fcot

虛位移原理及其應用

如何應用虛位移原理

判斷約束性質，確定自由度，選擇廣義坐標。

以廣義坐標的變分作為系統的虛位移，確定主動力作用點的虛位移。

建立系統的虛功方程并求得解答。

虛位移原理及其應用

如何應用虛位移原理有自由度的系統—各種機構；無自由度的系統—各種結構。兩種剛體系統：

應用于剛體系統

虛位移原理及其應用有自由度的系統—各種機構

應用于剛體系統

虛位移原理及其應用

應用于剛體系統已知：r,l,F。

求：平衡時M的數值。

虛位移原理及其應用

應用于剛體系統xN=1,q=

虛功方程M

-F

rB=0重要問題

rB

虛位移原理及其應用

應用于剛體系統虛功方程M

-F

rB=0重要問題

rB

x對B點：

x2+y2=l22x

x+2y

y=0由幾何關系有：

rA＝y＝r

rB=rd

l2-d2

虛位移原理及其應用

應用于剛體系統虛功方程M

-F

rB=0x

rB=rd

l2-d2

M

-F

rB=0

虛位移原理及其應用無自由度的系統—各種結構

應用于剛體系統

虛位移原理及其應用

應用于剛體系統

應用虛位移原理確定1、2桿的內力。N＝0從無自由度的系統變為有自由度的系統，為此需要解除約束

虛位移原理及其應用

應用于剛體系統45

W(FP)+W(FT1)=045

A2點的虛位移

rP45

A1點的虛位移

r1

r1=rPcos45FP

rPcos45-FT1

r1=0FP=

FT1

虛位移原理及其應用

應用于剛體系統B點的虛位移

rB

rH=rB=r2FP

rH-FT2cos45

r2=0B1點的虛位移

r2FT2=2FPA2點的虛位移

rH

W(FP)+W(FT2)=0

虛位移原理及其應用

應用于彈性體求內力l2C已知：F、l

。用虛位移原理求C截面的彎矩MC

虛位移原理及其應用

應用于彈性體求內力已知：F、l

。用虛位移原理求C截面的彎矩MC首先，解除約束使靜定梁變為機構。解除約束后的約束力MC和MC′變為主動力。

虛位移原理及其應用

應用于彈性體求內力建立虛功方程+F(l

)31-MC

-MC′

=03lF(

)52+2F(l

)MC=Fl1115

虛位移原理及其應用以

為虛位移

勢能駐值定理與最小勢能原理

基本概念；

勢能駐值定理；

最小勢能原理。

勢能駐值定理與最小勢能原理

基本概念

保守力—如果力在有限路程上所作之功只與其起點和終點有關而與路徑無關，這種力稱為保守力。

保守系統—如果系統上的所有的力所作之功都只與系統的初始位置和最終位置有關，而與中間過程無關這種系統稱為保守系統。

勢能駐值定理與最小勢能原理

基本概念

勢能—系統在某一位置所具有的對外作功的能力，稱為系統在這一位置的勢能

。

勢能零點—人為選定的勢能為零的位置，稱為零勢位置，又稱為勢能零點。

系統在某一位置的勢能，在數值上等于系統從這一位置回到勢能零點時，其上所有保守力所作之功的總和。

勢能駐值定理與最小勢能原理

基本概念

保守力的功與勢能增量的關系dW=–dVP

保守力的等價定義：

dW=0

若保守力作用點由起點沿閉合路徑再回到起點，則該力所作功為零，即

勢能駐值定理與最小勢能原理Fx

=

Vp

xFy=

Vp

yFz

=

Vp

z

保守力在坐標軸上的投影等于其勢能對相應坐標偏導數的負值，即

保守力的等價定義：

基本概念

勢能駐值定理與最小勢能原理

基本概念

彈性勢能—彈性體變形后，產生彈性內力，這種力也具有對外作功的能力，稱為彈性勢能，或彈性應變能。

直線彈簧的彈性勢能V

＝

－kxdx＝k

2021

勢能駐值定理與最小勢能原理

基本概念

彈性勢能—彈性體變形后，產生彈性內力，這種力也具有對外作功的能力，稱為彈性勢能，或彈性應變能。

扭轉彈簧的彈性勢能V

＝

－kd

＝k

2021

勢能駐值定理與最小勢能原理

勢能駐值定理

一般情形下，質點系統的總勢能由兩部分組成，即彈性勢能和位置勢能。于是，有V=V

+Vp

系統的總勢能

V—總勢能；V

—彈性勢能；Vp—除彈性力之外的保守力的位置勢能。

勢能駐值定理與最小勢能原理

勢能駐值定理由虛位移原理及保守力的其它等價定義，有由

W＝0，得

V＝0

W＝Fi?ri

i=1n

i=1n＝(Fxi

xi+Fyi

yi+Fzi

zi)

i=1n＝－(

xi+

yi+zi)

xi

V

yi

V

zi

V＝

V

勢能駐值定理與最小勢能原理

這表明，具有理想、定常、雙面約束，且所有力均為保守力的質點系，其符合約束的位形(或構形)為平衡位形(或構形)的充要條件是，系統在此位形的總勢能取駐值。此即勢能駐值定理。

V＝0

勢能駐值定理

勢能駐值定理與最小勢能原理例題已知：F、桿長2l、彈簧原長l、

。求：保持平衡時所需彈簧剛度系數k。

勢能駐值定理與最小勢能原理例題

解：首先確定系統的總勢能彈性勢能位置勢能Vp＝FG0G

勢能駐值定理與最小勢能原理V

＝k

221G0以OA為勢能零點例題彈性勢能位置勢能Vp＝(4lsin

)F

＝EB－l＝（2cos

－1)lV

＝k

221V

＝k(2cos

－1)2l

221V＝

(4lsin

)F＋k(2cos

－1)2l

2總勢能

勢能駐值定理與最小勢能原理例題V＝

(4lsin

)F＋k(2cos

－1)2l

2總勢能應用勢能駐值定理

V＝[(4lsin

)F－kl

2

(2cos

－1)

2sin

]

＝0由此解得k＝2Fcos

l(2cos

－1)

sin

勢能駐值定理與最小勢能原理

最小勢能原理

平衡位形勢能變化的三種情形

勢能駐值定理與最小勢能原理

最小勢能原理

平衡位形穩定性的能量準則

V>0

—平衡位形是穩定的；

V<0

—平衡位形是不穩定的；

V＝0

—平衡位形是中性的；

勢能駐值定理與最小勢能原理

最小勢能原理

具有理想、定常、雙面約束，并承受保守力的系統，其所有滿足約束的位形中，只有使系統的總勢能取極小值的位形，是穩定的。此即為最小勢能原理（PrincipleofMinimumPotentialEnergy).

勢能駐值定理與最小勢能原理對于一維問題，若應用泰勒級數將

V展開，有因為是平衡位形，由勢能駐值定理，

V＝0

，于是，的正負由高階項的正負判斷，例如：

2V>0－平衡位形穩定；

2V<0－平衡位形不穩定；

2V=0－需根據

3V的正負，判斷系統穩定性，余此類推。若所有高階項均為零，則平衡位形是中性的。

V＝

V＋2V＋3V＋4V＋…2！14！13！1

最小勢能原理

勢能駐值定理與最小勢能原理

最小勢能原理例題

討論系統的平衡位形及其穩定性。

勢能駐值定理與最小勢能原理

最小勢能原理例題初始位形

＝

0相鄰位形

＝

0＋

由初始位形到相鄰位形，勢能增量

V＝V(

0＋

)－V(

0)+()

＝

0(

)3+…

3！1d3Vd

3

V＝()

＝

0

+()

＝

0(

)22！1dVd

d2Vd

2

勢能駐值定理與最小勢能原理

最小勢能原理例題V(

)＝V

+VP

＝k

2－Fl(1－cos

)21dVd

＝k

－Flsin

d2Vd

2

＝k－Flcos

d3Vd

3

＝Flsin

勢能駐值定理與最小勢能原理

最小勢能原理例題dVd

＝k

－Flsin

＝0

確定平衡位形

＝0k

－Flsin

＝0

勢能駐值定理與最小勢能原理

最小勢能原理例題

＝0

時平衡位形的穩定性

＝0

＝0d2Vd

2

＝k－Flcos

＝0時F<kl－

穩定的；F>kl－

不穩定的；F＝kl－穩定的。

勢能駐值定理與最小勢能原理

最小勢能原理例題

＝0

＝0

時平衡位形的穩定性

＝0d2Vd

2

＝k－Flcos

k－Flcos

>0k

－Flsin

＝0dVd

＝k

－Flsin

＝0>

cos

sin

(－

<

<)穩定性條件

勢能駐值定理與最小勢能原理

第2章

虛位移原理

結論與討論

關于約束概念的完善與擴展；

關于平衡原理的擴展；

關于虛位移原理的不同形式；

虛位移原理應用要點。

結論與討論

關于約束概念的完善與擴展剛體靜力學—約束是指限制其它物體運動的物體。彈性靜力學—約束是指對變形的限制。分析靜力學—約束是指對運動的限制，需要用數學方程描述。

結論與討論

關于平衡原理的擴展彈性靜力學—靜定問題中，內力與外力滿足

(一)

平衡條件；

結論與討論剛體靜力學—平衡的充分與必要條件是主矢等于零；主矩等于零。

超靜定問題中，內力與外力除滿