第課第課初等函數(shù)的冪級數(shù)展開4初等函數(shù)的冪級數(shù)展開初等函數(shù)的冪級數(shù)展開第課4PAGE6 PAGE6PAGE7 PAGE7初等函數(shù)的冪級數(shù)展開初等函數(shù)的冪級數(shù)展開第課4

課題初等函數(shù)的冪級數(shù)展開課時2課時（90min）教學(xué)目標(biāo)知識技能目標(biāo)：（1）理解泰勒級數(shù)（含麥克勞林級數(shù)）的概念（2）掌握函數(shù)的冪級數(shù)展開方法，如直接展開法和間接展開法（3）思政育人目標(biāo)：通過講解初等函數(shù)的冪級數(shù)展開的相關(guān)知識，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考和深度思考的良好習(xí)慣；樹立學(xué)生實(shí)事求是、一絲不茍的科學(xué)精神教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：泰勒級數(shù)（含麥克勞林級數(shù)）的概念教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)的冪級數(shù)展開方法教學(xué)方法講授法、問答法、討論法、演示法、實(shí)踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計第1節(jié)課：第2節(jié)課：知識講解（20min）（10min）→課堂小結(jié)（5min）教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計意圖第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】清點(diǎn)上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報請假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況知識講解

（23min）【教師】通過兩個問題，引出泰勒級數(shù)（含麥克勞林級數(shù)）的概念問題1：函數(shù)在什么條件下可以表示成冪級數(shù)，即（8-4）問題2：如果能表示成式（8-4）的冪級數(shù)，那么系數(shù)怎樣確定？下面我們就來討論這兩個問題．我們先來討論問題2．假定在的某鄰域內(nèi)能表示成式（8-4），我們來看看系數(shù)與應(yīng)有怎樣的關(guān)系．由于可以表示成冪級數(shù)，根據(jù)冪級數(shù)的性質(zhì)，在的鄰域內(nèi)任意階可導(dǎo)．對式（8-4）兩端逐次求導(dǎo)得．在冪級數(shù)式及其各階導(dǎo)數(shù)中，令分別得，則該冪級數(shù)為，（8-5）展開式為．（8-6）級數(shù)（8-5）稱為函數(shù)在處的泰勒級數(shù)．展開式（8-6）稱為函數(shù)在處的泰勒展開式．，該級數(shù)稱為函數(shù)的麥克勞林級數(shù)．實(shí)際上，只要在處任意階可導(dǎo)，我們就可以寫出函數(shù)的泰勒級數(shù)，但此泰勒級數(shù)是否收斂于，即式（8-6）何時成立呢？下面的定理將會解答．定理1設(shè)函數(shù)在的鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，則在處的泰勒級數(shù)收斂于或者在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是余項滿足，其中為拉格朗日余項，即【學(xué)生】理解泰勒級數(shù)（含麥克勞林級數(shù)）的概念學(xué)習(xí)泰勒級數(shù)（含麥克勞林級數(shù)）的概念。邊做邊講，及時鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測驗（20min）【教師】出幾道測試題目，測試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過程【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象第二節(jié)課知識講解

（20min）【教師】講解函數(shù)展開成冪級數(shù)的兩種方法，并通過例題講解介紹其運(yùn)算方法1．直接展開法利用泰勒或麥克勞林展開式把初等函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法稱為直接展開法．用直接展開法將函數(shù)展開成的冪級數(shù)的步驟如下．（1）求的各階導(dǎo)數(shù)（若某階導(dǎo)數(shù)不存在，則不能展開成的冪級數(shù)，運(yùn)算結(jié)束）．（2）求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在處的值：（3）寫出冪級數(shù)，并求出其收斂半徑．（4）考察當(dāng)在區(qū)間內(nèi)時，余項的極限是否為零．如果為零，則函數(shù)在區(qū)間．例1將函數(shù)展開成的冪級數(shù)．解所給函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)為，因此，于是得級數(shù)，它的收斂半徑．對于任何有限的數(shù)（介于0與之間），有．因為有限值，而是收斂級數(shù)的一般項，故，所以，從而有展開式．例2將函數(shù)展開成的冪級數(shù)．解所給函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)為，，，．故，順序循環(huán)地取四個數(shù)，于是得級數(shù)，它的收斂半徑為．對于任何有限的數(shù)，（介于0與之間），有．因此得展開式．注：同理可得．例3將函數(shù)展開成的冪級數(shù)，其中為任意常數(shù)．解的各階導(dǎo)數(shù)為，，故于是得冪級數(shù)．這級數(shù)相鄰兩項的系數(shù)之比的絕對值，因此，對于任何常數(shù)這級數(shù)在開區(qū)間內(nèi)收斂．可以證明取，則有2．間接展開法直接展開法需要求出函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)，有時計算量很大．我們還可以結(jié)合一些已知的函數(shù)展開式，運(yùn)用冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)（四則運(yùn)算、逐項微分、積分）及變量替換，將所給函數(shù)展開成冪級數(shù)，這種方法稱為間接展開法．例4將函數(shù)展開成的冪級數(shù)．解因為，把換成得．注：由得的收斂域為．例5將函數(shù)展開成的冪級數(shù)．解因為，所以將上式從0到逐項積分得．上述展開式對也成立，這是因為上式右端的冪級數(shù)當(dāng)時收斂，而在處有定義且連續(xù)．（例6、例7詳見教材）【學(xué)生】掌握函數(shù)展開成冪級數(shù)的兩種方法學(xué)習(xí)函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法。邊做邊講，及時鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化問題討論

（10min）【教師】組織學(xué)生討論以下問題1．函數(shù)的冪級數(shù)、泰勒級數(shù)和泰勒展開式之間有什么關(guān)系？2．如何用直接法把函數(shù)展開成冪級數(shù)？3．如何用間接法把函數(shù)展開成冪級數(shù)，要熟記哪些公式？【學(xué)生】討論、發(fā)言通過課堂討論，活躍課堂氣氛，加深學(xué)生對知識點(diǎn)的理解課堂測驗（10min）【教師】出幾道測試題目，測試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過程【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象課堂小結(jié)

（5min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課上大家理解了泰勒級數(shù)（含麥克勞林級數(shù)）的概念，掌握了函數(shù)展開成冪級數(shù)的兩種方法，直接展開法和間接展開法。課后要多加練習(xí)，鞏固認(rèn)知。【學(xué)生】總結(jié)回顧知識點(diǎn)【教師】布置課后作業(yè)：習(xí)題8.4總結(jié)知識點(diǎn)，鞏固印象教學(xué)反思這節(jié)