18第18第課常微分方程的基本概念、可分離變量微分方程常微分方程的基本概念、可分離變量微分方程常微分方程的基本概念、可分離變量微分方程第課18PAGE8 PAGE8PAGE9 PAGE9常微分方程的基本概念、可分離變量微分方程常微分方程的基本概念、可分離變量微分方程第課18

課題常微分方程的基本概念、可分離變量微分方程課時2課時（90min）教學目標知識技能目標：（1）掌握函數微分方程的基本概念。（2）掌握可分離變量微分方程的解法。思政育人目標：由具體問題引出微分的定義，使學生體會到數學是源于生活的，是對實際問題的抽象產生的，不是脫離實際生活的；引導學生養成獨立思考和深度思考的良好習慣；培養學生的邏輯思維、辯證思維和創新思維能力；樹立學生實事求是、一絲不茍的科學精神；引導學生運用所學知識揭示生活中的奧秘，在實踐中深化認識，達到學以致用的目的。教學重難點教學重點：函數微分方程的基本概念教學難點：可分離變量微分方程的解法教學方法講授法、問答法、討論法、演示法、實踐法教學用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學設計第1節課：第2節課：知識講解（30min）→課堂小結（5min）教學過程主要教學內容及步驟設計意圖第一節課考勤

（2min）【教師】清點上課人數，記錄好考勤【學生】班干部報請假人員及原因培養學生的組織紀律性，掌握學生的出勤情況知識講解

（33min）【教師】在引例中由具體問題引出微分的定義，為微分的應用的做好理論鋪墊例1（曲線方程）一曲線通過點且在該曲線上任一點處切線的斜率為，求該曲線的方程．解設所求曲線的方程為．根據導數的定義，可得，（5-1）即，等式兩端同時積分得，其中為任意常數．又因為曲線通過點，代入上式，解出．因此，所求曲線方程為．例2（自由落體運動）在離地面高度為處，將一小球以初速度垂直上拋，若不計空氣阻力，求物體的運動方程，計算物體何時回到原處？解設小球的運動方程為，如圖5-1所示建立坐標系．由于小球僅受重力作用（不計空氣阻力），因此其加速度就是重力加速度，由此可得，（5-2）上式中的負號是因為重力方向與選定的正方向相反．對上式兩端積分一次得，（5-3）再積分一次得，（5-4）其中都是任意常數．由題意可知，，將它們分別代入式（5-3）和式（5-4）可得，，即所求物體的運動方程為．當時，可得，因此，經過秒后，小球回到原處．圖5-1例3（死亡年代的測定）人體死亡之后，體內的含量就不斷減少．已知的衰變速度與當時體內的含量成正比，試建立任意時刻遺體內含量應滿足的方程．解設t時刻遺體內的含量為，由題意可得(k為常數，且)，等式右邊的負號表示隨著時間t的增加，在減少．【教師】講解常微分方程的基本概念，并通過例題介紹其應用定義1含有自變量、未知函數以及未知函數導數或微分的方程，稱為微分方程，簡稱方程．未知函數為一元函數的方程稱為常微分方程；未知函數為多元函數的方程稱為偏微分方程．本章只討論常微分方程．定義2微分方程中所含未知函數導數的最高階數稱為微分方程的階．例1得到的式（5-1）、例2得到的式（5-3）所含未知函數的導數都為一階導數，因此，這兩個方程為一階微分方程；例2得到的式（5-2）所含未知函數的導數為二階導數，因此它是二階微分方程；而方程則是三階微分方程．一般地，階微分方程記為，（5-5）其中，是個變量的函數，為自變量，為的未知函數，而依次是未知函數的一階、二階，，階導數．如果能從式（5-5）中解出最高階導數，則微分方程還可寫為（5-6）若微分方程中未知函數及其各階導數都是一次的（且不含交叉乘積），則稱為線性方程，否則稱為非線性方程．定義3任何能滿足微分方程的函數都稱為微分方程的解．如果階微分方程的解中含有個彼此獨立的任意常數，則稱為方程的通解．通解中的任意常數確定后，則稱其為特解．定義4用來確定任意常數的條件稱為初始條件或初值條件．求一階微分方程滿足初始條件的特解的問題，稱為一階微分方程的初值問題，記作（5-7）微分方程特解的圖形是一條曲線，稱為微分方程的積分曲線，通解的圖形是一族相互平行的曲線（有無數多條），稱為積分曲線族，如圖5-2所示．圖5-2例4驗證函數（為任意常數）是二階微分方程的解．證明因為 ，，將代入方程左邊得，因此，函數是方程的解．【學生】掌握常微分方程的基本概念學習常微分方程的基本概念，及其應用。邊做邊講，及時鞏固練習，實現教學做一體化課堂測驗（10min）【教師】出幾道測試題目，測試一下大家的學習情況【學生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過程【學生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學生對知識點的掌握情況，加深學生對本節課知識的印象第二節課知識講解

（30min）【教師】講解可分離變量微分方程的解法，并通過例題介紹其應用求解形如的一階微分方程，就是求函數的原函數，等式兩邊直接積分即可求解．但并不是所有一階微分方程方程都可以這樣直接積分求解，例如， ，該方程與上面方程不同的是等式右邊有未知量，而恰是我們要求的關于的函數，故無法參與積分．但將該方程改寫為，則解決了上述問題，等式兩邊積分得．類似地，還有上一節中例3的微分方程(k為常數，且)，也不可以直接積分求解，應采用上述方法先變形后再積分．這種變形法稱為分離變量法，可以分離變量的方程稱為可分離變量方程．定義1如果一階微分方程可以化為（5-8）的形式，則稱該方程為可分離變量的微分方程．這類微分方程總能經過簡單的代數運算，將不同的變量與微分分離到方程的兩邊，具體的解法如下．第一步：分離變量，將方程化為式（5-8）的形式，使方程兩邊都僅含一個變量．第二步：等式兩端積分，可得．．（5-9）例1求微分方程的通解．解當時，將方程分離變量，得，兩邊積分，得，，即，所以．當取遍任何實數時，取遍了除零以外的任何實數．那么記，于是有．（5-11）顯然，也是原方程的解，那么在式（5-11）中，若即可以得到這個解，因此，方程的通解為(為任意常數)．說明為方便起見，在以后解微分方程的過程中，如果積分后出現對數，可以不再詳細寫出處理絕對值記號的過程，即若已解出，則可以立即寫出．例2求的解．解方程是一個可分離變量的微分方程，分離變量后得，兩邊積分得．代入初始條件，解得，所以滿足初值問題的特解為．說明這個解是方程的隱式解，這里沒有必要解出．實際上，有些方程只能得到隱式解．例3求解微分方程．解由式（5-10）可知，這是一個可分離變量的微分方程，分離變量后得，兩邊積分得，即．例4設為連續函數，求解微分方程．解這是一個可分離變量的微分方程．當時，分離變量后，得，兩邊積分得，即．（5-12）這里把看成是的一個確定的原函數，不含積分常數．同時，在式（5-12）中，若，則，仍然是原方程的解，因此式（5-12）是方程的通解．【學生】掌握可分離變量微分方程的解法學習可分離變量微分方程的解法。邊做邊講，及時鞏固練習，實現教學做一體化課堂測驗（10min）【教師】出幾道測試題目，測試一下大家的學習情況【學生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過程【學生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學生對知識點的掌握情況，加深學生對本節課知識的印象課堂小結

（5min）【教師】簡要總結本節課的要點本節課學習了常微分方程的基本概念及其應用，可分離變量微分方程的解法。