PAGE3云南大學數學分析習作課（1）讀書報告題目：Stolz定理及其推論和應用、推廣學院：數學與統計學院 專業：數學與應用數學姓名、學號：任課教師：楊漢春時間：

摘要：對于某些類型的極限計算問題，應用大學微分教科書中介紹的方法計算，將顯得比較繁瑣。通過對Stolz定理的討論。將給出三個直接的推論并引述其推廣的定理，由此得到幾種較為簡單的計算方法，從而解決一些較為復雜題型的極限計算問題。關鍵詞：極限；Stolz定理；推論；應用；推廣一、定理介紹Stolz公式： 設數列{}單調遞增趨于+，（可以為無窮）,則。證明：（I）先設A<+由式，>0，存在N>0，當n>N時有<<，特別取n=N+1，N+2，（）（）＜＜（）（），（）（）＜＜（）（），............()（)＜＜﹙)（）,將這些式子統統相加得（）（)＜＜（）（），∴＜＜，此即|-|＜.而0≦||=||≤||||·||由于以及式，∴||，.∴.﹙II﹚再當時，由有④∴.⑤下證遞增趨于由④知，＞0，當＞時，有＞.⑥∵＞0∴＞0,即單調遞增.由⑥式有＞＞，從而有············＞，將這些式子統統加起來有＞.∴＞⑦顯然當時，.由⑤式及上面（I）的結論有∴.（III)當時，只要令，則由上面（II)可證證畢定理推論：推論1：（算術平均收斂公式）若.證明:㈠下面介紹不使用Stolz定理的普通證法：由＞＞＜，則有≤＜＜＜取M=max（），則，又為定值，則，于是對上述＞0，＞時，有＜取＞時，有＜即有㈡現用Stolz公式證明證畢小結：①明顯使用Stolz公式使得該推論的證明簡潔很多，所以在做題過程中如果能看出其中隱含的Stolz公式的形式，并能構造出類似的形式就能大大縮短解題過程和時間。②這推論逆過來是不成立的，即若存在。例：但。推論2：（幾何平均收斂公式）設＞0（），且，則.證明：㈠一般證法：當時，由夾逼定理當得＜∴.㈡利用推論一證明：∵，∴.再由推論一知證畢推論3：（比值）若＞0，，且.證明：令.由幾何平均收斂公式知此即.一般應用例1、設證明：，并求.證：∵＜，∴單調遞減.因為，所以0﹤﹤1，即有下界，從而（存在）.由，兩邊取極限有，∴，此即.再求，考慮①∵②∵③由②③兩式∴.④將④代入①得∴.

例2、用證明：證：令＞0.∴，，＞，則當＞時，有＜∴.注：如果本體不限方法，還可有另外的證法證：令∴再由幾何平均收斂公式顯然方法2更加簡。例3、已知數列滿足條件，證明：.證：用施篤茲公式=.=∴小結：乍看這題無從下手，但是如若根據的形式想到stolz公式的話，對條件進行簡單的變形后就迎刃而解.可能這種變形很難考慮到，并將其實現，所以這就需要我們平時多做這方面的習題掌握一些變形的規律.例4、證明：證明：例5、計算解：因，這里由推論3得總結：以上是Stolz定理應用于計算數列極限，因數列可以看為整標函數，即，故將定理推廣到實數集研究，事實上也是可以的。現用定理2敘述之.定理2設⑴在區間內有定義，﹥，而且在上有界⑵函數在單調增加，并且；⑶（A為有限數或），則同理，Stolz定理還可以推廣到區間、單調減少，區間為、單調減少，區間為、單調減少，區間為、單調增加等形式。現用定理2來證明一題。例6：證明Cauchy定理：若函數定義于區間內，﹥，，在這里假定右端的極限存在（有限數或）證：令顯然在由于故依定理2，即小結：此方法較之使用“”證明，要顯得簡易得多。參考文獻