排隊論應用2021年5月10/16/20231地鐵車站樓梯和自動扶梯處客流延時分析

教學目的：利用排隊論建立軌道交通車站樓梯和自動扶梯處客流延時模型，得出客流延時的指標公式，可為更清楚地了解車站樓梯和自動扶梯處的乘客延時狀況提供一定的理論依據。樓梯和自動扶梯是軌道交通車站中主要的升降設施，在客流頂峰時，由于樓梯和自動扶梯的通過能力有限，大量的乘客將會在樓梯和自動扶梯口處排隊等候，造成乘客進出站時間延長，弄清乘客在樓梯和自動扶梯處的延時狀況，有利于車站運營效益的充分發揮。10/16/20232乘客從站外經檢票進入車站付費區，通過樓梯和自動扶梯到站臺，這是一個隨機的過程。由于檢票口與樓梯和自動扶梯的通過能力相當，乘客進入站臺，先受檢票口通過能力約束，使得超過檢票口通過能力的客流被暫時堵在檢票口外排隊等候檢票，因此通過檢票口的乘客不會因為樓梯和自動扶梯的通過能力的約束而需要排隊。但乘客在出站時，特別是在客流頂峰，大量的乘客從列車上下來，并且在較短的時間內通過樓梯和自動扶梯到達站廳出站，必然存在一局部乘客在樓梯和自動扶梯處排隊等候。假設乘客排隊等候時間超過了列車發車間隔，那么等候的乘客越來越多，造成樓梯和自動扶梯處越來越堵。10/16/202331乘客排隊系統推導在一列車到站后的發車間隔內，把從列車下到站臺的乘客看作效勞對象，出站的樓梯和自動扶梯看作效勞通道，并對站臺上的樓梯和自動扶梯以及乘客作一些根本的假設：(1)樓梯和自動扶梯沿著站臺縱向均勻布置，且這種均勻布置使乘客在站臺上行走的距離最短。(2)下車乘客平均分布于每節車廂中。(3)所有下車乘客在站臺上走行的速度是相等的，并保持一定的速度。10/16/20234把每組樓梯和自動扶梯及其吸引的客流看作為站臺上的一個排隊系統，那么在這個排隊系統中：輸入過程：乘客以一定的速度從站臺行走到距離自己最近的樓梯和自動扶梯處尋求效勞，以λ表示乘客單位時間到達樓梯和自動扶梯的人數，即排隊系統的輸入率λ(單位：人/s)。每組樓梯和自動扶梯效勞的乘客數為10/16/20235λ——排隊系統的輸入率W——列車到站后下車或換乘的人數v——下車乘客在站臺上的行走速度l——站臺的有效長度n——站臺上樓梯和自動扶梯的組數輸入的時間其輸入率λ的具體表達式為：(1)10/16/20236排隊規那么：乘客到達樓梯和自動扶梯口處，假設樓梯和自動扶梯沒被占用時，乘客立即使用樓梯和自動扶梯，假設樓梯和自動扶梯被占用，不能為乘客提供效勞時，乘客就會在此等候樓梯和自動扶梯的效勞，而且效勞次序為先到先效勞。10/16/20237輸出過程：由于樓梯和自動扶梯的通過能力是一定的，以μ表示樓梯和自動扶梯的輸出率μ(單位：人／s)。那么排隊系統的輸出率與樓梯和自動扶梯的寬度相關，當樓梯和自動扶梯的寬度確定后，每一組樓梯和自動扶梯的輸出過程是一個定長輸出過程，其輸出率μ的具體表達式為：10/16/20238(2)μ——排隊系統的輸出率C自動扶梯——自動扶梯的通過能力d自動扶梯——自動扶梯的凈寬度C樓梯——樓梯的通過能力d樓梯——樓梯的凈寬度輸出時間t1表達式為：(3)10/16/20239通過上面的假設和分析，每一組樓梯和自動扶梯所組成的效勞系統是一個定長輸入、定長輸出的單通道排隊系統，由n組樓梯和自動扶梯布置在站臺形成的乘客排隊系統那么是一個定長輸入、定長輸出、多通道的排隊系統即：d/d/n排隊系統。10/16/202310上述這個d/d/n排隊系統可以近似的用圖l來描述，橫軸表示時間，縱軸表示累計輸入或輸出乘客數；排隊系統輸入量曲線和輸出量曲線分別如下圖，它們對應的縱軸坐標就分別是累計輸入乘客數和累計輸出乘客數，陰影局部的面積表示排隊乘客總的延誤時間。圖1d／d／n排隊系統圖形表示圖中參數的含義為：t0——排隊系統中輸入結束時間t1——排隊系統中輸出結束時間λ——自動扶梯和樓梯口的輸入率μ——自動扶梯和樓梯口的輸出率Q0——輸入時間結束時自動扶梯和樓梯的輸出量Q1——自動扶梯口的全部輸入量10/16/202311在這個排隊系統中采用近似的計算得出一些重要的指標表達式為：最大排隊乘客數：Q=Q1-Q0=λ×t0-μ×t0(4)排隊中最大延誤時間：ts=t1-t0(假設ts≤0，那么表示沒有排隊產生)(5)平均排隊乘客數：排隊平均延誤時間：排隊乘客總的延誤時間：(8)(6)(7)10/16/202312車站樓梯和自動扶梯處客流延時實例以發車間隔2min，6節編組的B型車為例，列車長度114m，車廂定員245人，到站后30％的乘客下車出站，乘客在站臺上的走行速度取0.64m/s。每1m寬的自動扶梯通過能力7200人/h。站臺上布置兩組自動扶梯供乘客出站，自動扶梯在站臺上的布置位置滿足上面假設的原那么，那么自動扶梯在站臺上的布置位置如示意圖2所示：圖2兩組自動扶梯布置位置示意圖10/16/202313此時站臺上兩組自動扶梯和下車乘客是一個d/d/2系統，對于每一個排隊系統，其輸入率和輸出率為：μ=c自動扶梯×d自動扶梯+c樓梯×d樓梯=2×1=2人/s輸入時間t0為：輸出時間t1為：排隊中最大延誤時間為：ts=t1-t0=110.25-44.53=65.72s最大排隊乘客數：Q=Q1-Q0=λ×t0-μ×t0=(5-2)×44.53=134人(取整)排隊乘客總的延誤時間：min10/16/202314對一個排隊系統來說，最大的排隊乘客數為134人，排隊乘客的總的延誤時間為73、38min，而對整個站臺來說，有兩個這樣的排隊系統，因此在一列車到來后的出站乘客將會有268人需要排隊等候，排隊中最大的延誤時間為65.72s，所有乘客總的排隊時間為146.76min。假設排隊系統中最大延誤時間大于列車發車間隔，那么在樓梯和自動扶梯處總有乘客在排隊等候，而且人數越來越多，這樣就需要重新設計樓梯和自動扶梯的寬度。10/16/202315通過對站臺上客流狀態進行假設，建立了樓梯和自動扶梯處客流延時的d／d／n排隊系統模型，并推導出客流延時的指標公式。通過預測的客流以及乘客在站臺上行走的實際速度，可估算出車站內最大乘客延誤數量及延誤時間，有利于比較清楚地把握車站內乘客延時狀況。討論：改變參數〔1〕下車人數比例為60%；〔2〕平面通道的通行時間分析10/16/202316學生實驗城市軌道交通進站檢票機分析教學目的：要求學生學會應用排隊論的思想分析實際問題調查方案設計統計特征分析*排隊系統參數分析*排隊系統仿真背景介紹10/16/202317排隊系統的描述顧客總體隊伍效勞臺效勞系統輸出輸入10/16/202318排隊效勞系統的根本概念輸入過程：描述顧客來源是按怎樣的規律抵達排隊系統。1.顧客源總體:有限還是無限2.到達類型：單個到達還是成批到達3.相繼顧客到達的時間間隔：相互獨立、同分布的;等時間間隔的;服從Poisson分布的；k階Erlang分布泊松分布適合于描述單位時間內隨機事件發生的次數。如某一效勞設施在一定時間內到達的人數，交換機接到呼叫的次數，汽車站臺的候客人數，機器出現的故障數，自然災害發生的次數等等。10/16/202319排隊效勞系統的根本概念排隊規那么：指效勞系統是否允許排隊，顧客是否愿意排隊1.損失制排隊系統：顧客到達假設所有效勞臺被占，效勞機構又不允許顧客等待，此時該顧客就自動離去。2.等待制排隊系統：顧客到達時假設效勞臺均被占，他們就排隊等待。效勞順序有：先到先效勞、后到先效勞、隨機效勞、有優先權的效勞3.混合制排隊系統：損失制與等待制的混合。隊長〔容量〕有限的混合；等待時間有限的混合；逗留時間有限的混合10/16/202320排隊效勞系統的根本概念效勞機構：1.效勞臺的數目2.顧客所需的效勞時間服從怎樣的概率分布(常見顧客的效勞時間分布有:定長分布、負指數分布、超指數分布、k階Erlang分布、幾何分布、一般分布)10/16/202321排隊論模型的符號表示通常由3-5個英文字母組成，其形式為A/B/C/n，其中A表示輸入過程，B表示效勞時間，C表示效勞臺數目，n表示系統空間數排隊模型的表示：

X/Y/Z/A/B/C

X—顧客相繼到達的間隔時間的分布；

Y—效勞時間的分布；

Z—效勞臺個數；

A—系統容量限制〔默認為∞〕；

B—顧客源數目〔默認為∞〕；

C—效勞規那么〔默認為先到先效勞FCFS)。M—負指數分布、D—確定型、Ek—k階愛爾朗分布。10/16/202322描述排隊論系統的主要數量指標1.隊長(Ls)：指在系統中顧客的平均數等待隊長(Lq)：指系統中等待的顧客的平均數2.顧客的平均等待時間(Wq)：指顧客進入系統的時刻起到開始接受效勞止的平均時間與平均逗留時間(Ws)：指顧客在系統中平均等待時間與平均效勞時間之和3.系統的忙期與閑期效勞機構工作強度=由于效勞顧客的時間/效勞設施總的效勞時間=1-效勞設施總的空閑時間/效勞設施總的效勞時間10/16/202323與排隊論模型有關的LINGO函數1.@peb(load,S)該函數返回值是當到達負荷為load，系統中有S個效勞臺且允許排隊時系統繁忙的概率，也就是顧客等待的概率2.@pel(load,S)該函數返回值是當到達負荷為load，系統中有S個效勞臺且不允許排隊時系統損失的概率，也就是顧客得不到效勞離開的概率3.@pfs(load,S,K)該函數的返回值是當到達負荷為load，顧客數為K,平行效勞臺數量為S時，有限源的Poisson效勞系統等待或返修顧客數的期望值10/16/202324等待制排隊模型等待制排隊模型中最常見的模型是：M/M/S/∞,即顧客到達系統的相繼到達時間間隔獨立，且服從參數為λ的負指數分布〔即輸入過程為過程〕，效勞臺的效勞時間也獨立同分布，且服從參數為μ的負指數分布，而且系統空間無限，允許永遠排隊10/16/202325等待制排隊模型的根本參數1.顧客等待的概率:Pwait=@peb(load,S),其中S是效勞臺或效勞員的個數，load=λ/μ=RT,其中R=λ,T=1/μ，R是顧客的平均到達率，T是平均效勞時間2.顧客的平均等待時間：Wq=Pwait·T/(S-load),其中T/(S-load)可以看成一個合理的長度間隔，3.顧客的平均逗留時間、隊長和等待隊長〔little公式〕Ws=Wq+1/μ=Wq+TLs=λ·Ws=RWsLq=λ·Wq=RWq10/16/202326等待制排隊模型實例1.S=1(M/M/1/∞)例1：某維修中心在周末現只安排一名員工為顧客提供效勞，新來維修的顧客到達后，假設已有顧客正在接受效勞，那么需要排隊等待，假設來維修的顧客到達過程為Poisson流，平均每小時4人，維修時間服從負指數分布，平均需要6min,試求該系統的主要數量指標。2.S=3(M/M/S/∞)例2：設打印室有3名打字員，平均每個文件的打印時間為10min,而文件到達率為每小時15件，試求該打印室的主要數量指標。10/16/202327等待制排隊模型實例例1：Model:S=1;R=4;T=6/60;load=R*T;Pwait=@peb(load,S);W_q=Pwait*T/(S-load);L_q=R*W_q;W_s=W_q+T;L_s=W_s*R;End例2：Model:S=3;R=15;T=10/60;load=R*T;Pwait=@peb(load,S);W_q=Pwait*T/(S-load);L_q=R*W_q;W_s=W_q+T;L_s=W_s*R;END10/16/202328損失制排隊模型損失制排隊模型通常記為M/M/S/S,當S個效勞器被占用后，顧客自動離去10/16/202329損失制排隊模型的根本參數1.系統損失的概率：Plost=@pel(load,S)2.單位時間內平均進入系統的顧客數：λe=Re=λ(1-Plost)=R(1-Plost)3.系統的相對通過能力(Q)與絕對通過能力(A)Q=1-Plost,A=λe·Q=λ(1-Plost)2=Re·Q=R(1-Plost)24.系統在單位時間內占用效勞臺的均值:Ls=λe/μ=Re·T注意：在損失制系統中，Lq=0,即等待隊長為05.系統效勞臺的效率：η=Ls/S6.顧客在系統內平均逗留時間:Ws=1/μ=T注意：在損失制系統中，Wq=0,即等待時間為010/16/202330損失制排隊模型實例S=1(M/M/1/1)例1：設某條線，平均每分鐘有0.6次呼喚，假設每次通話時間平均為1.25min,求系統相應的參數指標。model:S=1;R=0.6;T=1.25;load=R*T;Plost=@pel(load,S);Q=1-Plost;R_e=Q*R;A=Q*R_e;L_s=R_e*T,eta=L_s/S;endEta->η10/16/202331損失制排隊模型實例S>1(M/M/S/S)例2：某單位交換臺有一臺200門內線的總機，在上班8小時內，有20%的內線分機平均每40min要一次外線，80%的分機平均間隔120min要一次外線。又知外線打入內線的平均每分鐘1次。假設與外線通話的時間為平均3min，并且上述時間均服從負指數分布，如果要求的通話率為95%，問該交換臺應設置多少條外線？10/16/202332損失制排隊模型實例例2：分析：1)交換臺的效勞分成兩類，第一類內線打外線，其強度為λ1=〔0.2×60/40+0.8×60/120〕×200=140第二類是外線打內線，其強度為λ2=1×60=60因此總的強度為λ=λ1+λ2=140+60=2002)按題目要求，系統損失的概率不能超過5%，即Plost≤0.053〕外線是整數，在滿足條件下，條數越少越好Model:R=200;T=3/60;load=R*T;Plost=@pel(load,S);Plost<=0.05;Q=1-Plost;R_e=Q*R;A=Q*R_e;L_s=R_e*T;eta=L_s/S;Min=S;@gin(S);end10/16/202333混合制排隊模型混合制排隊模型通常記為：M/M/S/K,即有S個效勞臺或效勞員，系統空間容量為K，當K個位置已被顧客占用時，新到的顧客自動離去，當系統中有空位置時，新到的顧客進入系統排隊等待。10/16/202334閉合式排隊模型設系統內有M個效勞臺，顧客到達系統的間隔時間和效勞臺的效勞時間均為負指數分布，而系統的容量和潛在的顧客數都為K，顧客到達率為λ，效勞臺的平均效勞率為μ，這樣的系統稱為閉合式排隊模型，記為：M/M/S/K/K10/16/202335閉合式排隊模型的根本參數1.平均隊長：Ls=@pfs(load,S,K),load=K·λ/μ=KRT即:系統的負荷=系統的顧客數×顧客到達率×顧客的效勞時間2.單位時間平均進入系統的顧客數:λe=λ〔K－Ls〕=R(K－Ls)=Re3.顧客處于正常情況的概率:P=(K－Ls)/K4.平均逗留時間、平均等待隊長和平均排隊等待時間Ws=Ls/λe=Ls/ReLq=Ls－λe/μ=Ls-Re·TWq=Ws－1/μ=Ws－T5.每個效勞臺的工作強度:Pwork=λe/(Sμ)10/16/202336排隊系統的最優化模型1.系統效勞時間確實定例：某工人照管4臺自動機床，機床運轉時間平均為負指數分布，假定平均每周有一臺機床損壞需要維修，機床運轉單位時間內平均收入100元，而每增加一單位μ的維修費用為75元，求使總利益到達最大的μ*分析：這是一個