12.3角的平分線的性質

第1課時角平分線的性質R·八年級上冊學習目標：1．學會角平分線的畫法.2．探究并認知角平分線的性質.3．熟練地運用角平分線的性質解決實際問題.學習重、難點：重點：角平分線的性質.難點：運用角平分線的性質解決相關的問題.右圖是一個平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC，將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是∠DAB的平分線．你能說明它的道理嗎？ABDC新課導入E推進新課證明：在△ACD和△ACB中，AD=AB（已知），DC=BC（已知），CA=CA（公共邊）∴△ACD≌△ACB（SSS）．∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的對應角相等）.∴AC平分∠DAB（角平分線的定義）.ADBCE從利用平分角的儀器畫角的平分線的過程中，你受到哪些啟發？如何利用直尺和圓規作一個角的平分線？用尺規作角的平分線知識點1利用尺規作角的平分線的具體方法:

ABOMNC

1．以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N．3．畫射線OC．射線OC即為所求．

2．分別以點M，N為圓心．大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內部交于點C．

你能說明為什么射線OC

是∠AOB

的平分線嗎？ABOMNC角的平分線的性質知識點2利用尺規我們可以作一個角的平分線，那么角的平分線有什么性質呢？

如圖，任意作一個角∠AOB，作出∠A的平分線OC，在OC

上任取一點P，過點P

畫出OA，OB

的垂線，分別記垂足為D，E，測量PD，PE

并作比較，你得到什么結論？探究在OC

上再取幾個點試一試．通過以上測量，你發現了角的平分線的什么性質？觀察測量結果，猜想線段PD與PE的大小關系，寫出結論：____________.

PD

PE

第一次第二次第三次

PD=PE已知：∠AOC=∠BOC，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．求證：PD

=PE．角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．題設：

一個點在一個角的平分線上．結論：它到角的兩邊的距離相等．證明:∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO

，∠AOC=∠BOC

，

OP=OP

，

∴

△PDO≌△PEO（AAS）.∴PD=PE

.∵OC是∠AOB的平分線，

PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．幾何語言：角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．由角的平分線的性質的證明過程，你能概括出證明幾何命題的一般步驟嗎？（1）明確命題中的已知和求證；（2）根據題意，畫出圖形，并用符號表示已知和求證；（3）經過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程．

角的平分線的性質的作用是什么？主要是用于判斷和證明兩條線段是否相等，與以前的方法相比，運用此性質不需要先證兩個三角形全等．在此題的已知條件下，你還能得到哪些結論？練習如圖，△ABC中，BD=CD，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F．求證：EB=FC．ABCDEF證明：∵AD是角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.在Rt△DEB和Rt△DFC中，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）.∴EB=FC.ABCDEF隨堂演練1.如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C、D．下列結論中錯誤的是（）

A.PC=PDB.OC=ODC.∠CPO=∠DPOD.OC=PO基礎鞏固2.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，則下列四個結論：綜合應用①AD

上任意一點到點C、點B的距離相等；②AD上任意一點到AB，AC的距離相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF．其中，正確的個數是（）A.1個 B.2個C.3個D.4個課堂小結ABOMNC角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．1.課本；51頁第一題；2.完成練習冊本課時的習題。課后作業本節課采用了動手操作、直觀模