第1頁（共1頁）2022年山東省青島市高新區中考數學一模試卷一、單選題（本題滿分24分，共有8道小題，每小題3分）請將1-8各小題所選答案的標號涂寫在答題紙規定的位置.1．（3分）﹣的絕對值是（）A． B．﹣3 C．3 D．2．（3分）如圖長方體的展開圖，不可能是（）A． B． C． D．3．（3分）下列圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形是（）A． B． C． D．4．（3分）在顯微鏡下，一種細胞的形狀可以近似地看成圓，它的半徑約為0.000000083m這個數據用科學記數法表示為（）A．0.83×10﹣7m B．8.3×10﹣7m C．8.3×10﹣8m D．83×10﹣9m5．（3分）某校籃球隊12名隊員的年齡情況如下：年齡（歲）1415161718人數24321則這個隊隊員年齡的眾數和中位數分別是（）A．16，15 B．15，15.5 C．15，16.5 D．15，156．（3分）如圖，△ABO的頂點坐標A（3，5）、B（5，3）、O（0，0），若△ABO繞點O按逆時針方向旋轉90°，再向右平移2個單位，得到△A'B'O'，則點A的對應點A'的坐標是（）A．（﹣3，3） B．（﹣5，3） C．（3，5） D．（1，5）7．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，AC＝5cm，以點C為圓心，以2cm的長為半徑作圓，則⊙C與AB的位置關系是（）A．相離 B．相交 C．相切 D．相切或相交8．（3分）已知，一次函數y1＝kx+m（k≠0）與二次函數y2＝ax2+bx+c（a≠0）的部分自變量與對應的函數值如表：x…﹣0234…y1…1345…y2…﹣2﹣2414…當y1＞y2時，自變量x的取值范圍是（）A．或x＞3 B．或x＞3 C． D．二、填空題（本題滿分18分，共有6道小題，每小題3分）請將9-14各小題的答案填寫在答題紙規定的位置.9．（3分）計算：＝．10．（3分）在一個不透明的口袋中裝有10個白球和m個紅球，它們除顏色外完全相同．若從中隨機摸出一球；摸到紅球的概率為，則m的值為．11．（3分）如圖，A、B、C、D是半徑為4cm的⊙O上的四點，AC是直徑，∠D＝45°，則AB＝cm．12．（3分）某校準備購買簽字筆和筆袋獎勵優秀學生，第一次購買簽字筆40支，筆袋30個，購買總價為960元．第二次購買簽字筆60支，筆袋50個，購買總價為1500元．每次購買簽字筆和筆袋的單價都相同，求簽字筆和筆袋的單價分別是多少元？若設簽字筆x元/支，筆袋y元/個，則根據題意可列方程組為．13．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AC＝12，sin∠ACB＝，點P是線段AC上的動點，點Q是線段AB上的動點，則CQ+PQ的最小值是．14．（3分）如圖，OA＝6cm，OD＝AD＝7cm，P是OA上一動點（點P不與O、A重合），過點P作PB∥AD，PC∥OD，交OD于點B，交AD于點C，M是OP中點，N是PA中點，連接BM、CN，下列結論正確的是（填寫所有正確結論的序號）．①△OBP是等腰三角形；②CN⊥PA；③四邊形BPCD是平行四邊形，周長是14cm；④動點P無論移動到OA上哪一點（P不與O、A重合），BM+CN的值為固定值是2cm．三、作圖題（本題滿分4分）用圓規、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡15．（4分）已知：線段a，直線l及外一點A．求作：菱形ABCD，使頂點A、C在直線l兩側，對角線BD在直線l上，且BD＝a．四、解答題（本題共有9道小題，滿分74分）16．（8分）計算（1）化簡：（2）解不等式組，并寫出它的整數解．17．（6分）2022年冬奧運會、冬殘奧會不久前在北京落下帷幕，吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深得大家喜愛．在一次活動中，獎品為一個“冰墩墩”的玩偶，小穎和小亮都想獲得該獎品，組織者想到北京冬奧會2月4日開始，2月20日結束，冬殘奧會3月4日開始，3月13日結束．組織者設計了一個游戲：準備A、B兩組除正面數字不同其余都相同的紙牌，每組三張，A組牌正面數字分別是2，4，20．B組牌正面數字分別是3，4，13．將紙牌背面朝上，充分洗勻后，小穎從A組紙牌中摸出一張，小亮從B組紙牌中摸出一張，稱為一次游戲．當摸出的兩張紙牌的正面數字差的絕對值小于9，則小穎勝，否則小亮勝，獲勝者即可獲得“冰墩墩”的玩偶．（1）請你用列表法或畫樹狀圖求出小穎勝的概率（2）這個游戲公平嗎？請說明理由．18．（6分）某校九年級的800名學生參加興趣社團活動；現有以下5個興趣社團：A．籃球社團，B．書香社團，C．舞蹈社團，D．編程社團，E．合唱社團，要求：每位學生都從中選擇一個社團參加，為了了解同學們選擇這個5個社團的情況，現隨機對九年級中的部分同學選擇的興趣社團進行了調查，收集、整理、統計、描述數據：選擇各興趣社團的人數統計表興趣社團人數A．籃球社團10B．書香社團8C．舞蹈社團aD．編程社團4E．合唱社團6根據以上信息：（1）請補全統計表和統計圖a＝，B＝°．（2）扇形統計圖中D（編程社團）部分對應的圓心角是°；（3）根據樣本數據估計全年級選擇籃球社團和合唱社團的共有多少人？19．（6分）2022年北京冬奧會的召開驚艷世界，冬奧村的餐廳更是得到了各國運動員的好評．運動員主餐廳位于北京冬奧村居住區西南側，共設置了世界餐臺、亞洲餐臺、中餐餐臺、清真餐臺、鮮果臺、面包和甜品臺等12種餐臺．一送餐機器人從世界餐臺A處向正南方向走200米到達亞洲餐臺B處，再從B處向正東方向走500米到達中餐餐臺C處，然后從C處向北偏西37°走到就餐區D處，最后從D回到A處，已知就餐區D在A的北偏東73°方向，求中餐臺C到就餐區D（即CD）的距離．（結果保留整數）（參考數值：sin73°≈，cos73°≈，tan73°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈．）20．（8分）2022年疫情期間，我區愛心企業踴躍捐贈物資，以愛心助力校園抗“疫”．某愛心企業計劃用2400元購買A品牌N95口罩，在購買時發現，每個A品牌N95口罩可以打八折，打折后購買的數量比打折前多100個．（1）求打折前每個A品牌N95口罩的售價是多少元？（2）由于學生的需求不同，該愛心企業決定購買A品牌N95口罩和B品牌N95口罩共800個．B品牌N95口罩每個原售價為7元，兩種品牌N95口罩都打八折，且購買A品牌N95口罩的數量不超過總數量的一半，請問該愛心企業計劃用的2400元錢是否夠？如果夠用，請設計一種最節省的購買方案，如果不夠用，請求出至少還需要再添加多少錢？21．（8分）已知：如圖，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，E為AB中點，過點A作AF∥BD，交DE延長線于點F．（1）求證：AF＝BD；（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD是矩形？請證明你的結論．22．（10分）2022年冬奧會在北京順利召開，某商店購進了一批以冬奧會為主題的玩具進行銷售，玩具的進價為每件30元，物價部門規定其每件的售價不低于進價且利潤不高于進價的90%，根據市場調查發現，日銷售量y（件）與銷售單價x（元）的關系如圖所示，在銷售過程中每天還要支付其他費用共850元．（1）求日銷售量y（件）與銷售單價x（元）的函數關系式；（2）求該批玩具的日銷售利潤W（元）與銷售單價x（元）的函數關系式；（3）當銷售單價為多少元時，該批玩具的日銷售利潤最大，最大利潤為多少元？23．（10分）【問題提出】計算12+22+32+…+n2（其中n是正整數）．【問題探究】為解決上面的數學問題，我們可以運用數形結合的思想方法，借助圖1所示的三角形，把數量關系和幾何圖形巧妙地結合起來進行探究．圖1中：第1行圓圈中的數為1，即12；第2行兩個圓圈中數的和為2+2＝2×2，即22；第3行三個圓圈中數的和為3+3+3＝3×3，即32；…第n行n個圓圈中數的和為，即n2．所有圓圈中數的和為12+22+32+…+n2．要解決上面的問題，我們不妨先從特例入手：探究一：計算12+22．將圖2按逆時針方向兩次旋轉得到圖3、圖4．觀察這三個圖形，可以發現同一位置圓圈的數字之和都是5（如圖5），而圖5共有（1+2）個這樣的圓圈，因此圖5中所有數字之和為5×（1+2）．則圖2中所有數字之和為，所以得到等式12+22＝×5×（1+2）．探究二：計算12+22+32．仿照上述方法，將圖6按逆時針方向兩次旋轉得到圖7、圖8．觀察這三個圖形，可以發現同一位置圓圈的數字之和都是（如圖9），而圖9共有個這樣的圓圈，因此圖9中所有數字之和為．那么圖6中所有數字之和為，所以得到等式12+22+32＝．（仿照上述方法，寫出探究得出的式子）探究三：計算12+22+32+42+55+62+72+82+92+102＝．（仿照上述方法，直接寫出結果）【問題解決】12+22+32+…+n2＝．（仿照上述方法，直接寫出探究得出的式子，用含n的代數式表示）【拓廣應用】計算：262+272+282+…+502＝．（直接寫出結果）24．（12分）已知，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AC＝6cm，BD＝8cm．延長BC至點E，使CE＝BC，連接ED．點F從點E出發，沿ED方向向點D運動，速度為1cm/s，過點F作FG⊥ED垂足為點F交CE于點G；點H從點A出發，沿AD方向向點D運動，速度為1cm/s，過點H作HP∥AB，交BD于點P，當F點停止運動時，點H也停止運動．設運動時間為t（0＜t≤3），解答下列問題：（1）求證：∠BDE＝90°；（2）是否存在某一時刻t，使G點在ED的垂直平分線上？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由．（3）設六邊形PCGFDH的面積為S（cm2），求S與t的函數關系式；（4）連接HG，是否存在某一時刻t，使HG∥AC？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由．

2022年山東省青島市高新區中考數學一模試卷參考答案與試題解析一、單選題（本題滿分24分，共有8道小題，每小題3分）請將1-8各小題所選答案的標號涂寫在答題紙規定的位置.1．（3分）﹣的絕對值是（）A． B．﹣3 C．3 D．【解答】解：因為|﹣|＝故選：A．2．（3分）如圖長方體的展開圖，不可能是（）A． B． C． D．【解答】解：根據長方體的展開圖可知，其表面展開圖不正確的是D．故選：D．3．（3分）下列圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；B、既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項符合題意；C、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；D、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；故選：B．4．（3分）在顯微鏡下，一種細胞的形狀可以近似地看成圓，它的半徑約為0.000000083m這個數據用科學記數法表示為（）A．0.83×10﹣7m B．8.3×10﹣7m C．8.3×10﹣8m D．83×10﹣9m【解答】解：0.000000083m＝8.3×10﹣8m．故選：C．5．（3分）某校籃球隊12名隊員的年齡情況如下：年齡（歲）1415161718人數24321則這個隊隊員年齡的眾數和中位數分別是（）A．16，15 B．15，15.5 C．15，16.5 D．15，15【解答】解：這組數據的眾數為15，中位數為第6、7個數據的平均數，即＝15.5，故選：B．6．（3分）如圖，△ABO的頂點坐標A（3，5）、B（5，3）、O（0，0），若△ABO繞點O按逆時針方向旋轉90°，再向右平移2個單位，得到△A'B'O'，則點A的對應點A'的坐標是（）A．（﹣3，3） B．（﹣5，3） C．（3，5） D．（1，5）【解答】解：如圖，△A'B'O'即為所求．點A的對應點A'的坐標是（﹣3，3）．故選：A．7．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，AC＝5cm，以點C為圓心，以2cm的長為半徑作圓，則⊙C與AB的位置關系是（）A．相離 B．相交 C．相切 D．相切或相交【解答】解：過點C作CD⊥AB于點D，∴∠B+∠DCB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵sinB＝sin∠ACD＝＝＝，∴AD＝4cm，∴CD＝cm，∵r＝2cm，∴CD＞r，故以點C為圓心，以2cm的長為半徑作圓，則⊙C與AB的位置關系是相離．故選：A．8．（3分）已知，一次函數y1＝kx+m（k≠0）與二次函數y2＝ax2+bx+c（a≠0）的部分自變量與對應的函數值如表：x…﹣0234…y1…1345…y2…﹣2﹣2414…當y1＞y2時，自變量x的取值范圍是（）A．或x＞3 B．或x＞3 C． D．【解答】解：由表格可得直線y1＝kx+m的y隨x增大而正大，拋物線y2＝ax2+bx+c的y先隨x增大而減小，再隨x增大而增大，∴拋物線開口向上，∵兩函數都經過（﹣，），（3，4），∴當﹣＜x＜3時，y1＞y2．故選：D．二、填空題（本題滿分18分，共有6道小題，每小題3分）請將9-14各小題的答案填寫在答題紙規定的位置.9．（3分）計算：＝﹣．【解答】解：原式＝＝＝﹣．故答案為：﹣．10．（3分）在一個不透明的口袋中裝有10個白球和m個紅球，它們除顏色外完全相同．若從中隨機摸出一球；摸到紅球的概率為，則m的值為15．【解答】解：根據題意得：＝，解得m＝15．經檢驗，m＝15是原分式方程的解．故答案為：15．11．（3分）如圖，A、B、C、D是半徑為4cm的⊙O上的四點，AC是直徑，∠D＝45°，則AB＝cm．【解答】解：∵∠D＝45°，∴∠A＝45°，∵AC是直徑，∴∠ABC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝＝（cm）．故答案為：．12．（3分）某校準備購買簽字筆和筆袋獎勵優秀學生，第一次購買簽字筆40支，筆袋30個，購買總價為960元．第二次購買簽字筆60支，筆袋50個，購買總價為1500元．每次購買簽字筆和筆袋的單價都相同，求簽字筆和筆袋的單價分別是多少元？若設簽字筆x元/支，筆袋y元/個，則根據題意可列方程組為．【解答】解：由題意可得，，故答案為：．13．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AC＝12，sin∠ACB＝，點P是線段AC上的動點，點Q是線段AB上的動點，則CQ+PQ的最小值是6．【解答】解：作點C關于直線AB的對稱點C'．∴QC＝QC'，BC'＝BC，∴QC+QP＝QC'+QP，∴當P、Q、C'在同一直線上且C'P⊥AC時，QC+QP最短，此時QC+QP＝C'P，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵AC＝12，sin∠ACB＝，∴，∴AB＝6，∴BC＝6，∴CC'＝6+6＝12，∵sin∠ACB＝，∴，∴C'P＝CC'＝＝6，即CQ+PQ的最小值是6．故答案為：6．14．（3分）如圖，OA＝6cm，OD＝AD＝7cm，P是OA上一動點（點P不與O、A重合），過點P作PB∥AD，PC∥OD，交OD于點B，交AD于點C，M是OP中點，N是PA中點，連接BM、CN，下列結論正確的是①②③④．（填寫所有正確結論的序號）．①△OBP是等腰三角形；②CN⊥PA；③四邊形BPCD是平行四邊形，周長是14cm；④動點P無論移動到OA上哪一點（P不與O、A重合），BM+CN的值為固定值是2cm．【解答】解：∵OD＝AD，∴∠O＝∠A，∵PB∥AD，PC∥OD，∴∠BPO＝∠A，∠CPA＝∠O，∴∠BPO＝∠O，∠CPA＝∠A，∴OB＝PB，PC＝AC，∴△OBP是等腰三角形，故①正確；△PAC是等腰三角形，∵N是PA中點，∴CN⊥PA，故②正確；∵PB∥AD，PC∥OD，∴四邊形BPCD是平行四邊形，∴BP＝DC，CP＝DB，∵OD＝AD＝7cm，∴OB+BD＝OD＝7cm，AC+CD＝AD＝7cm，∴OB+BD+AC+CD＝7+7＝14cm，即四邊形BPCD是平行四邊形，周長是14cm，故③正確；過點D作DE⊥OA于E，此時點P恰好與點E重合，∵DE⊥OA，BM⊥OA，∴，∵DE⊥OA，CN⊥OA，∴，∵OD＝AD＝7cm，OA＝6cm，∴OE＝AE＝OA＝3cm，∴DE＝＝＝2，∴＝，∴BM＝，∴＝，∴CN＝，∴BM+CN＝＝2，故④正確．綜上所述，正確的是①②③④．故答案為：①②③④．三、作圖題（本題滿分4分）用圓規、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡15．（4分）已知：線段a，直線l及外一點A．求作：菱形ABCD，使頂點A、C在直線l兩側，對角線BD在直線l上，且BD＝a．【解答】解：如圖，菱形ABCD即為所求．四、解答題（本題共有9道小題，滿分74分）16．（8分）計算（1）化簡：（2）解不等式組，并寫出它的整數解．【解答】解：（1）＝+＝+1＝＝；（2），解不等式①，得：x＜3，解不等式②，得：x＞﹣，故原不等式組的解集是﹣＜x＜3，∴該不等式組的整數解是0，1，2．17．（6分）2022年冬奧運會、冬殘奧會不久前在北京落下帷幕，吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深得大家喜愛．在一次活動中，獎品為一個“冰墩墩”的玩偶，小穎和小亮都想獲得該獎品，組織者想到北京冬奧會2月4日開始，2月20日結束，冬殘奧會3月4日開始，3月13日結束．組織者設計了一個游戲：準備A、B兩組除正面數字不同其余都相同的紙牌，每組三張，A組牌正面數字分別是2，4，20．B組牌正面數字分別是3，4，13．將紙牌背面朝上，充分洗勻后，小穎從A組紙牌中摸出一張，小亮從B組紙牌中摸出一張，稱為一次游戲．當摸出的兩張紙牌的正面數字差的絕對值小于9，則小穎勝，否則小亮勝，獲勝者即可獲得“冰墩墩”的玩偶．（1）請你用列表法或畫樹狀圖求出小穎勝的概率（2）這個游戲公平嗎？請說明理由．【解答】解：（1）畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結果，其中摸出的兩張紙牌的正面數字差的絕對值小于9的結果有5種，∴小穎勝的概率為；（2）這個游戲不公平，理由如下：由（1）可知，共有9種等可能的結果，小穎勝的概率為，小亮勝的結果有4種，∴小亮勝的概率為，∵＜，∴這個游戲不公平．18．（6分）某校九年級的800名學生參加興趣社團活動；現有以下5個興趣社團：A．籃球社團，B．書香社團，C．舞蹈社團，D．編程社團，E．合唱社團，要求：每位學生都從中選擇一個社團參加，為了了解同學們選擇這個5個社團的情況，現隨機對九年級中的部分同學選擇的興趣社團進行了調查，收集、整理、統計、描述數據：選擇各興趣社團的人數統計表興趣社團人數A．籃球社團10B．書香社團8C．舞蹈社團aD．編程社團4E．合唱社團6根據以上信息：（1）請補全統計表和統計圖a＝12，B＝72°．（2）扇形統計圖中D（編程社團）部分對應的圓心角是36°；（3）根據樣本數據估計全年級選擇籃球社團和合唱社團的共有多少人？【解答】解：（1）調查的總人數有：10÷25%＝40（人），則a＝40﹣10﹣8﹣4﹣6＝12，B所占的百分比是：×100%＝20%，即B＝360°×20%＝72°；故答案為：12，72；（2）扇形統計圖中D（編程社團）部分對應的圓心角是：360°×10%＝36°；故答案為：36；（3）根據題意得：800×＝320（人），答：估計全年級選擇籃球社團和合唱社團的共有320人．19．（6分）2022年北京冬奧會的召開驚艷世界，冬奧村的餐廳更是得到了各國運動員的好評．運動員主餐廳位于北京冬奧村居住區西南側，共設置了世界餐臺、亞洲餐臺、中餐餐臺、清真餐臺、鮮果臺、面包和甜品臺等12種餐臺．一送餐機器人從世界餐臺A處向正南方向走200米到達亞洲餐臺B處，再從B處向正東方向走500米到達中餐餐臺C處，然后從C處向北偏西37°走到就餐區D處，最后從D回到A處，已知就餐區D在A的北偏東73°方向，求中餐臺C到就餐區D（即CD）的距離．（結果保留整數）（參考數值：sin73°≈，cos73°≈，tan73°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈．）【解答】解：過點D作DE⊥BC，垂足為E，過點A作AF⊥DE，垂足為F，則∠AFE＝∠AFD＝∠DEC＝∠DEB＝∠B＝90°，∠CDE＝37°，∠ADF＝73°，∴四邊形ABEF是矩形，∴AB＝EF＝200米，AF＝BE，設CD＝x米，在Rt△CDE中，DE＝CD?cos37°≈x（米），CE＝CD?sin37°≈x（米），∴DF＝DE﹣EF＝（x﹣200）米，∵BC＝500米，∴AF＝BE＝AB﹣CE＝（500﹣x）米，在Rt△ADF中，tan73°＝≈，∴AF＝DF，∴500﹣x＝×（x﹣200），解得：x≈357，∴中餐臺C到就餐區D（即CD）的距離為357米．20．（8分）2022年疫情期間，我區愛心企業踴躍捐贈物資，以愛心助力校園抗“疫”．某愛心企業計劃用2400元購買A品牌N95口罩，在購買時發現，每個A品牌N95口罩可以打八折，打折后購買的數量比打折前多100個．（1）求打折前每個A品牌N95口罩的售價是多少元？（2）由于學生的需求不同，該愛心企業決定購買A品牌N95口罩和B品牌N95口罩共800個．B品牌N95口罩每個原售價為7元，兩種品牌N95口罩都打八折，且購買A品牌N95口罩的數量不超過總數量的一半，請問該愛心企業計劃用的2400元錢是否夠？如果夠用，請設計一種最節省的購買方案，如果不夠用，請求出至少還需要再添加多少錢？【解答】解：（1）設打折前每個A品牌N95口翠的售價是x元，則打折后每個A品牌N95口翠的售價是0.8x元，依題意得：﹣＝100，解得：x＝6，經檢驗，x＝6是原方程的解，且符合題意．答：打折前每個A品牌N95口翠的售價是6元．（2）設購進A品牌N95口罩m個，購買800個口罩的總費用為w元，則購進B品牌N95口罩（800﹣m）個，依題意得：w＝6×0.8m+7×0.8（800﹣m）＝﹣0.8m+4480，∵﹣0.8＜0，∴w隨m的增大而減小，又∵m≤800×＝400，∴當m＝400時，w取得最小值，最小值＝﹣0.8×400+4480＝4160．∵4160＞2400，且4160﹣2400＝1760（元），∴該愛心企業計劃用的2400元錢不夠用，至少還需要再添加1760元錢．21．（8分）已知：如圖，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，E為AB中點，過點A作AF∥BD，交DE延長線于點F．（1）求證：AF＝BD；（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD是矩形？請證明你的結論．【解答】（1）證明：∵AF∥BD，∴∠FAE＝∠DBE，∵E為AB的中點，∴EA＝EB，在△AEF和△BED中，，∴△AEF≌△BED（ASA），∴AF＝BD；（2）解：當△ABC滿足AB＝CB時，四邊形AFBD是矩形，理由如下：由（1）可知，AF＝BD，∵AF∥BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形，∵AB＝CB，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，∴∠BDA＝90°，∴平行四邊形AFBD是矩形．22．（10分）2022年冬奧會在北京順利召開，某商店購進了一批以冬奧會為主題的玩具進行銷售，玩具的進價為每件30元，物價部門規定其每件的售價不低于進價且利潤不高于進價的90%，根據市場調查發現，日銷售量y（件）與銷售單價x（元）的關系如圖所示，在銷售過程中每天還要支付其他費用共850元．（1）求日銷售量y（件）與銷售單價x（元）的函數關系式；（2）求該批玩具的日銷售利潤W（元）與銷售單價x（元）的函數關系式；（3）當銷售單價為多少元時，該批玩具的日銷售利潤最大，最大利潤為多少元？【解答】解：（1）設日銷售量y（件）與銷售單價x（元）的函數關系式是y＝kx+b，∵點（40，180），點（60，120）在該函數圖象上，∴，解得，∵物價部門規定其每件的售價不低于進價且利潤不高于進價的90%，∴30≤x≤30+30×90%，∴30≤x≤57，即日銷售量y（件）與銷售單價x（元）的函數關系式是y＝﹣3x+300（30≤x≤57）；（2）由題意可得，W＝（x﹣30）（﹣3x+300）﹣850＝﹣3x2+390x﹣9850，即該批玩具的日銷售利潤W（元）與銷售單價x（元）的函數關系式是W＝﹣3x2+390x﹣9850；（3）由（2）知：W＝﹣3x2+390x﹣9850＝﹣3（x﹣65）2+2875，∴該函數的圖象開口向下，對稱軸為x＝65，∵30≤x≤57，∴當x＝57時，W取得最大值，此時W＝2633，答：當銷售單價為57元時，該批玩具的日銷售利潤最大，最大利潤為2633元．23．（10分）【問題提出】計算12+22+32+…+n2（其中n是正整數）．【問題探究】為解決上面的數學問題，我們可以運用數形結合的思想方法，借助圖1所示的三角形，把數量關系和幾何圖形巧妙地結合起來進行探究．圖1中：第1行圓圈中的數為1，即12；第2行兩個圓圈中數的和為2+2＝2×2，即22；第3行三個圓圈中數的和為3+3+3＝3×3，即32；…第n行n個圓圈中數的和為，即n2．所有圓圈中數的和為12+22+32+…+n2．要解決上面的問題，我們不妨先從特例入手：探究一：計算12+22．將圖2按逆時針方向兩次旋轉得到圖3、圖4．觀察這三個圖形，可以發現同一位置圓圈的數字之和都是5（如圖5），而圖5共有（1+2）個這樣的圓圈，因此圖5中所有數字之和為5×（1+2）．則圖2中所有數字之和為，所以得到等式12+22＝×5×（1+2）．探究二：計算12+22+32．仿照上述方法，將圖6按逆時針方向兩次旋轉得到圖7、圖8．觀察這三個圖形，可以發現同一位置圓圈的數字之和都是7（如圖9），而圖9共有6個這樣的圓圈，因此圖9中所有數字之和為42．那么圖6中所有數字之和為14，所以得到等式12+22+32＝14．（仿照上述方法，寫出探究得出的式子）探究三：計算12+22+32+42+55+62+72+82+92+102＝385．（仿照上述方法，直接寫出結果）【問題解決】12+22+32+…+n2＝．（仿照上述方法，直接寫出探究得出的式子，用含n的代數式表示）【拓廣應用】計算：262+272+282+…+502＝37400．（直接寫出結果）【解答】解：探究二：將圖6按逆時針方