層次分析法層次分析法（AHP）美國運籌學家A.L.Saaty于本世紀70年代提出的層次分析法（AnalyticalHierar-chyProcess，簡稱AHP方法)，是一種定性與定量相結合的決策分析方法。它是一種將決策者對復雜系統的決策思維過程模型化、數量化的過程。層次分析法（AHP）應用這種方法，決策者通過將復雜問題分解為若干層次和若干因素，在各因素之間進行簡單的比較和計算，就可以得出不同方案的權重，為最佳方案的選擇提供依據。層次分析法（AHP）基本原理：

AHP法首先把問題層次化，按問題性質和總目標將此問題分解成不同層次，構成一個多層次的分析結構模型，分為最低層（供決策的方案、措施等），相對于最高層（總目標）的相對重要性權值的確定或相對優劣次序的排序問題。層次分析法（AHP）特點：分析思路清楚，可將系統分析人員的思維過程系統化、數學化和模型化；分析時需要的定量數據不多，但要求對問題所包含的因素及其關系具體而明確；層次分析法（AHP）特點：這種方法適用于多準則、多目標的復雜問題的決策分析，廣泛用于地區經濟發展方案比較、科學技術成果評比、資源規劃和分析以及企業人員素質測評。層次分析法（AHP）具體步驟：明確問題遞階層次結構的建立建立兩兩比較的判斷矩陣層次單排序層次綜合排序層次分析法（AHP）具體步驟：明確問題在分析社會、經濟的以及科學管理等領域的問題時，首先要對問題有明確的認識，弄清問題的范圍，了解問題所包含的因素，確定出因素之間的關聯關系和隸屬關系。層次分析法（AHP）具體步驟：遞階層次結構的建立根據對問題分析和了解，將問題所包含的因素，按照是否共有某些特征進行歸納成組，并把它們之間的共同特性看成是系統中新的層次中的一些因素，而這些因素本身也按照另外的特性組合起來，形成層次分析法（AHP）具體步驟：更高層次的因素，直到最終形成單一的最高層次因素。最高層是目標層中間層是準則層……..最低層是方案層或措施層層次分析法（AHP）具體步驟：建立兩兩比較的判斷矩陣判斷矩陣表示針對上一層次某單元（元素），本層次與它有關單元之間相對重要性的比較。一般取如下形式：Cs

p1p2……pnp1b11b12……b1np2b21b22……b2n………………………………pnbn1bn2……bnn判斷矩陣

在層次分析法中，為了使判斷定量化，關鍵在于設法使任意兩個方案對于某一準則的相對優越程度得到定量描述。一般對單一準則來說，兩個方案進行比較總能判斷出優劣，層次分析法采用1-9標度方法，對不同情況的評比給出數量標度。標度定義與說明1兩個元素對某個屬性具有同樣重要性3兩個元素比較，一元素比另一元素稍微重要5兩個元素比較，一元素比另一元素明顯重要7兩個元素比較，一元素比另一元素重要得多9兩個元素比較，一元素比另一元素極端重要2,4,6,8表示需要在上述兩個標準之間拆衷時的標度1/bij兩個元素的反比較判斷矩陣B具有如下特征：

bii=1bji=1/bijbij=bik/bjk(i,j,k=1,2,….n)

判斷矩陣中的bij是根據資料數據、專家的意見和系統分析人員的經驗經過反復研究后確定。應用層次分析法保持判斷思維的一致性是非常重要的，只要矩陣中的bij滿足上述三條關系式時，就說明判斷矩陣具有完全的一致性。判斷矩陣一致性指標C.I.(ConsistencyIndex)C.I.=

max-nn-1

一致性指標C.I.的值越大，表明判斷矩陣偏離完全一致性的程度越大，C.I.的值越小，表明判斷矩陣越接近于完全一致性。一般判斷矩陣的階數n越大，人為造成的偏離完全一致性指標C.I.的值便越大；n越小，人為造成的偏離完全一致性指標C.I.的值便越小。

對于多階判斷矩陣，引入平均隨機一致性指標R.I.(RandomIndex),下表給出了1-15階正互反矩陣計算1000次得到的平均隨機一致性指標。n12345678RI000.580.901.121.241.321.41n9101112131415RI1.461.491.521.541.561.581.59

當n<3時，判斷矩陣永遠具有完全一致性。判斷矩陣一致性指標C.I.與同階平均隨機一致性指標R.I.之比稱為隨機一致性比率C.R.(ConsistencyRatio)。C.R.=C.IR.I.

當C.R.<0.10時，便認為判斷矩陣具有可以接受的一致性。當C.R.≥0.10時，就需要調整和修正判斷矩陣，使其滿足C.R.<0.10，從而具有滿意的一致性。層次分析法（AHP）具體步驟：層次單排序層次單排序就是把本層所有各元素對上一層來說，排出評比順序，這就要計算判斷矩陣的最大特征向量，最常用的方法是和積法和方根法。和積法具體計算步驟：將判斷矩陣的每一列元素作歸一化處理，其元素的一般項為：bij=bij

1nbij(i,j=1,2,….n)將每一列經歸一化處理后的判斷矩陣按行相加為：Wi=

1nbij(i=1,2,….n)對向量W=（W1，

W2……

Wn)t歸一化處理:Wi=(i=1,2,….n)Wi

1nWjW=（W1，

W2……

Wn)t即為所求的特征向量的近似解。計算判斷矩陣最大特征根

max

max=

1n(BW)inWiB為前面的比較矩陣，W為前面已經求出的特征根

方根法具體計算步驟（略）將判斷矩陣的每一行元素相乘Mij

Mij=

1nbij(i=1,2,….n)計算Mi

的n次方根WiWi=n

Mi(i=1,2,….n)對向量W=（W1，

W2……

Wn)t歸一化處理:Wi=(i=1,2,….n)Wi

1nWjW=（W1，

W2……

Wn)t即為所求的特征向量的近似解。計算判斷矩陣最大特征根

max

max=

1n(BW)inWi層次分析法（AHP）具體步驟：層次總排序利用層次單排序的計算結果，進一步綜合出對更上一層次的優劣順序，就是層次總排序的任務。層次分析法實例某單位擬從三名干部中提拔一人擔任領導工作，干部的優劣（由上級人事部門提出），用六個屬性來衡量：健康狀況、業務知識、寫作水平、口才、政策水平、工作作風，分別用p1、

p2、

p3、

p4、

p5、

p6來表示。判斷矩陣如下B。B

p1p2p3p4p5p6p1111411/2p2112411/2p311/21531/2p41/41/41/511/31/3p5111/3311p6222311判斷矩陣解：1畫出層次分析圖提拔一位干部擔任領導工作健康狀況業務水平寫作水平口才政策水平工作作風甲乙丙w1w2w3w4w5w6總目標方案層子目標B

p1p2p3p4p5p6p1111411/2p2112411/2p311/21531/2p41/41/41/511/31/3p5111/3311p6222311判斷矩陣

求出目標層的權數估計用和積法計算其最大特征向量和積法具體計算步驟：將判斷矩陣的每一列元素作歸一化處理，其元素的一般項為：bij=bij

1nbij(i,j=1,2,….n)B

p1p2p3p4p5p6p1111411/2p2112411/2p311/21531/2p41/41/41/511/31/3p5111/3311p6222311

6.255.756.53207.333.83B

p1p2p3p4p5p6p10.160.170.150.200.140.13p20.160.170.300.200.140.13p30.160.090.150.250.420.13p40.040.040.030.050.050.09p50.160.170.050.150.140.26p60.320.340.300.150.140.26

6.255.756.53207.333.83將每一列經歸一化處理后的判斷矩陣按行相加為：Wi=

1nbij(i=1,2,….n)B

p1p2p3p4p5p6p10.160.170.150.200.140.13p20.160.170.300.200.140.13p30.160.090.150.250.420.13p40.040.040.030.050.050.09p50.160.170.050.150.140.26p60.320.340.300.150.140.260.951.101.200.300.931.51

對向量W=（W1，

W2……

Wn)t歸一化處理:Wi=(i=1,2,….n)Wi

1nWjW=（W1，

W2……

Wn)t即為所求的特征向量的近似解。B

p1p2p3p4p5p6p10.160.170.150.200.140.13p20.160.170.300.200.140.13p30.160.090.150.250.420.13p40.040.040.030.050.050.09p50.160.170.050.150.140.26p60.320.340.300.150.140.260.951.101.200.300.931.515.99

B

p1p2p3p4p5p6p10.160.170.150.200.140.13p20.160.170.300.200.140.13p30.160.090.150.250.420.13p40.040.040.030.050.050.09p50.160.170.050.150.140.26p60.320.340.300.150.140.260.160.180.200.050.160.25W用和積法計算其最大特征向量為：W=（W1，

W2……

Wn)t=（0.16,0.18,0.20,0.05,0.16,0.25)t即為所求的特征向量的近似解。計算判斷矩陣最大特征根

max

max=

1n(BW)inWi(BW)=111411/2112411/211/21531/21/41/41/511/31/3111/33112223110.160.180.200.050.160.25=1.0251.2251.3050.3091.0661.64

max=

1n(BW)inWi=1.0256*0.160.3096*0.051.0666*0.161.2256*0.181.3056*0.201.6406*0.25+++++

max=

1n(BW)inWi=1.0680.8581.1101.1341.08751.093+++++=6.35判斷矩陣一致性指標C.I.(ConsistencyIndex)C.I.=

max-nn-1判斷矩陣一致性指標C.I.(ConsistencyIndex)C.I.=6.35-66-1=0.07隨機一致性比率C.R.(Co