內蒙古財經大學本科年論文反常積分斂散性的鑒定辦法作者陳志強學院統計與數學學院專業數學與應用數學年級級學號指導教師魏運導師職稱專家最后成績75分目錄摘要………………..……。….……………..1核心詞………………。.……。….…………。.1引言-—--—-———-———--——----—---————-------——-—--———-—-—-—--—---—--—-—-—-----————-—--————--—--—2一、預備知識…………..……。…。…………….21.無窮限反常積分…………。.…….…。…………….。22.瑕積分……。。…….…。…………33。反常積分的性質……。.…….…。…………3二、反常積分的收斂鑒別法……………….。…….….………41無窮積分的收斂鑒別……..…….….……………4（1)。定義鑒別法….。……。….……………。。……4（2）。比較鑒別法…。.…….….…………….。……4（3）。柯西鑒別法…。.…….….……………..……5(4)阿貝爾鑒別法。…..……。…。……………。6（5)。狄利克雷鑒別法…..……。….……………72瑕積分的收斂鑒別….。…….….…………….…。…8（1）.定義鑒別法…。。……。….……………。.……8（2）。定理鑒別法……………。。…….…。……………..9（3).比較鑒別法…………………。.…….….…………9(4）。柯西鑒別法…………….。…….….……………9(5).阿貝爾鑒別法…………….。……。….……….10（6）。狄利克雷鑒別法……。。…….…。……………。10參考文獻………………。。……。….………11摘要在諸多實際問題中,要突破積分區間的有窮性和被積函數的有界性，由此得到了定積分的兩種形式的推廣：無窮限反常積分和瑕積分。我們將這兩種積分統稱為反常積分。由于反常積分涉及到一種收斂問題，因此反常積分的斂散性鑒定就顯得非常重要了。本文將對反常積分的斂散性鑒定進行歸納總結,并給出了有關定理的證明,舉例闡明其應用，這樣將有助于我們靈活的運用多個等價定理判斷反常積分的斂散性。核心詞:反常積分瑕積分極限斂散性引言近些年以來，某些數學工作者對反常積分斂散性的鑒別辦法做了研究并獲得了許多重要的進展.如華東師范大學數學系編，數學分析（上冊)，對反常積分積分的定義，性質的運用及講義其鑒別收斂性的辦法.華中科技大學出版的數學分析理論辦法與技巧，也對反常積分斂散性鑒別做了具體的解說,還用圖形的辦法闡明其意義.引申出反常積分斂散性的等價定義，并通過例題闡明其應用.眾多學者研究的內容全而廣,實用性很高，特別是在研究斂散性的鑒別很明顯，這對我現所研究的論文題目提供了大量的理論根據和參考文獻,對我完畢本次論文有很大的協助，但絕大多數文獻只是對其一種辦法進行研究，而本文將對其進行歸納總結，舉例闡明其應用。一、預備知識1.無窮限反常積分定義1。1設函數在［ａ,＋∞）有定義，若在［ａ，A］上可積（A>a)且當A→＋∞時，存在，稱反常積分收斂，否則稱反常積分與發散.對反常積分與注意:只有當和都收斂時，才認為是收斂的.2．.瑕積分定義1：設f（x）在a的任何鄰域內均無界，則稱a為f(x)的一種瑕點定義2：設f（x）在內有定義,且b為唯一瑕點，若存在,稱瑕積分收斂定義3:設C且為f(x)的一種瑕點，若和均收斂，則稱瑕積分3。反常積分的性質(1)Cauchy收斂原理：收斂〉0,〉a，當>>時，有〈(2)線性性質:若與都收斂，則對任意常數，也收斂,且有=(3)積分區間可加性,若收斂，則b，=。(4）若收斂,則≤.反常積分的斂散性鑒別法1。無窮積分的斂散性鑒別（1)定義鑒別法設函數定義在無窮區間上，且在任何有限區間上可積.如果存在極限，則稱收斂，否則發散，即對應定積分的極限存在廣義積分收斂，定積分的極限不存在廣義積分發散例1.1計算無窮積分(是常數，且)解：式中（2）.比較鑒別法的普通形式：在有定義，且(a）〈<（b）=+=+例1。2討論的收斂性解:由于，由于為收斂，因此根據比較鑒別法為絕對收斂。(3).比較鑒別法的極限形式:在有定義，且非負，且則：（a）當<〈（b）=（c)<<時，，含有相似點斂散性。證：（1）若，由極限的性質，存在常數A(A〉a）使得當時成立即于是由比較鑒別法，當收斂時也收斂（2）若，由極限的性質，存在常數A（A），使得當時成立其中0于是由比較鑒別法,當發散時也發散例1。3討論的斂散性解：,而收斂，因此收斂總結:使用比較鑒別法，需要一種斂散性鑒別結論明確，同時又形成簡樸的函數作為比較對象,在上面的例子中我們都是取為比較對象的,由于它們正好能滿足這倆個條件(4)。柯西鑒別法:設在有定義,在任何有限區間上可積，且則有:當時，收斂當,時，發散(5)。阿貝爾鑒別法:滿足：（a）單調有界（b）收斂則收斂證：由于存在M>0，使再由（2）可知，>0,,當時，有<又=（+）=2再次由柯西準則知Abel定理成立.例1.4證（0<）收斂運用阿貝爾鑒別法，由于收斂，又在上單調有界，故是收斂的（6）.Dirichlet鑒別法：滿足（1）f（x）單調且趨于0（x0）(2）有界(a>A)則收斂。證:由于存在M〉0，有界，因此有又由于f(x)0（x)故對〉0，,當時,有即，，因此同理有,故當時，有例1。5證積分收斂,但不絕對收斂證：，而單調且當時趨于0，故由Dirichlet鑒別法知收斂；但=而，單調趨于0，故收斂，而發散，故發散例1。6積分的斂散性當時是可積的;當時,它是不可積的，由于這時被積函數在上無界。但作為反常積分，當時收斂；當時發散；由于當時有而當時有例1。7積分作為反常積分，當時它收斂；當時它發散。這是由于當時有而當p=-1時有2.瑕積分的收斂鑒別（1）定義鑒別法設函數定義在無窮區間上，在點a的任一右鄰域上無界，但在任何內閉區間有限區間上有界且可積.如果存在極限，則稱反常積分收斂.，否則發散例2.1計算瑕積分的值解：被積函數在上持續,從而在任何上可積，為其瑕點.依定義求得（2)定理鑒別法(柯西收斂原理)瑕積分（瑕點為a）收斂的充要條件是：任給,存在，只要總有=0<（3）。比較法則設f（x）定義于,a為其瑕點,且在任何上可積，如果當時，收斂當，時，發散（4）。柯西鑒別法設x=a是f（x）的瑕點，如果那么絕對收斂；如果那么發散例2.2討論的斂散性(）解：x=0是其唯一奇點.當時，取,則，由柯西鑒別法知,收斂類似的，當時,取,則由柯西鑒別法知，發散當時,能夠直接用Newton-leibniz公式得到因此，當時，反常積分收當斂；當時，反常積分發散(5)。阿貝爾鑒別法設f（x）在x=a有奇點,收斂，g（x）單調有界,那么積分收斂(6).狄利克雷鑒別法設f(x）在x=a有奇點，是的有界函數，g(x)單調且當xa時趨于零，那么積分例2。3討論積分的收斂情形當時，，積分絕對收斂，又當即時，由狄利克雷鑒