計算方法復習資料數值計算中的誤差主要內容：絕對誤差，相對誤差，誤差限，有效數字，四舍五入，減少誤差的原則。1.利用秦九韶算法計算多項式在處的值 1-20-34-16-1 2200-6-4–10-8 100-3-2-5-4-92.設下面各數都是經過四舍五入得到的近似數，即誤差不超過最后一位的半個單位，試指出他們各有幾位有效數字。（1）；（2）；（3）。解：有效數字位數分別為：3，4，53.下面計算的公式哪個算得準確些？為什么？（1）已知，（A），（B）；（2）已知，（A），（B）；（3）已知，（A），（B）；（4）（A），（B）解：當兩個同（異）號相近數相減（加）時，相對誤差可能很大，會嚴重喪失有效數字；當兩個數相乘（除）時，大因子（小除數）可能使積（商）的絕對值誤差增大許多。故在設計算法時應盡量避免上述情況發生。（1）（A）中兩個相近數相減，而（B）中避免了這種情況。故（B）算得準確些。（2）（B）中兩個相近數相減，而（A）中避免了這種情況。故（A）算得準確些。（3）（A）中使得誤差增大，而（B）中避免了這種情況發生。故（B）算得準確些。（4）（A）中兩個相近數相減，而（B）中避免了這種情況。故（B）算得準確些。4.求3.141與22/7作為π的近似值時有效數字的個數.解：3個。3個。5.表中各都是對準確值進行四舍五入得到的近似值。試分別指出其絕對誤差限、相對誤差限及有效數字位數。絕對誤差限相對誤差限有效數字位數0.3012

30.12

30.120

解：

絕對誤差限相對誤差限有效數字位數0.3012位有效數字30.12位有效數字30.120位有效數字參考過程：（1）作為數的近似值時，不一定為的有效數字。但是用四舍五入取準確值的前位作為近似值，則必有個有效數字。因為各0.3012,30.12=0.3012都是對準確值進行四舍五入得到的近似值，所以0.3012,30.12都有位有效數字3012而30.120=0.30120有位有效數字30120。（2）根據有效數字的定義：設數的近似值，其中（）是到之間的任一個正整數，且，是正整數，是整數，如果絕對誤差的則稱為的具有位有效數字的近似值，準確到第位，為的有效數字。所以，具有四位有效數字的數0.3012,30.12=0.3012的絕對誤差限分別為，。具有五位有效數字的數30.120=0.30120的絕對誤差限分別為。（3）根據定理：設數的近似值具有位有效數字，則的相對誤差滿足下列不等式所以，具有四位有效數字的數0.3012,30.12=0.3012的相對誤差限都為。而具有五位有效數字的數30.120=0.30120的相對誤差限都為6．近似值關于真值有(2)位有效數字；7.為了使計算的乘除法次數盡量地少，應將該表達式改寫為，為了減少舍入誤差，應將表達式改寫為。8.改變函數()的形式，使計算結果較精確。9.用1+x近似表示ex所產生的誤差是(C)誤差。A．模型B．觀測C．截斷D．舍入10.取計算，下列方法中哪種最好？（C）(A)；(B)；(C)；(D)。第二章插值法主要內容：拉格朗日插值，牛頓插值。 1.，則過這三點的二次插值多項式中的系數為，拉格朗日插值多項式為。答案：-1，2.已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，則二次Newton插值多項式中x2系數為(0.15)；3.設,則，的二次牛頓插值多項式為。4.設f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,則拋物插值多項式中x2的系數為(A)。A．–0．5B．0．5C．2D．-25.由下列數據012341243-5確定的唯一插值多項式的次數為(A)(A)4；(B)2；(C)1；(D)3。6.已知13452654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求的三次插值多項式，并求的近似值（保留四位小數）。答案：差商表為一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-107.取節點,求函數在區間[0,1]上的二次插值多項式,并估計誤差。解：又故截斷誤差。8.已知f(-1)=2，f(1)=3，f(2)=-4，求拉格朗日插值多項式及f(1，5)的近似值，取五位小數。解：9.已知函數表-10121117試構造插商表，寫出的三次牛頓插值多項式，并由此求的近似值。（1）已知，，，構造插商表一階差商二階差商三階差商

，，因為函數在點的一階差商為，所以，，，，，，，，，因為在點的二階差商為，所以一階差商二階差商三階差商

根據，得得階牛頓插值多項式將，，，，，，，代入上式，得因此，=2.8750

10.已知下列函數表：012313927(1)寫出相應的三次Lagrange插值多項式；(2)作均差表，寫出相應的三次Newton插值多項式，并計算的近似值。解：（1）均差表：11.是以整數點為節點的Lagrange插值基函數，則(1)，()，當時()。第三章曲線擬合的最小二乘法1.用最小二乘法求形如的經驗公式擬合以下數據：1925303819.032.349.073.3解：解方程組其中解得：所以，2.教材169頁例5－1.第四章數值積分主要內容：代數精度，梯形公式，辛普森公式以及復化公式。1.計算積分,取4位有效數字。用梯形公式計算求得的近似值為0.4268，用辛卜生公式計算求得的近似值為0.4309，梯形公式的代數精度為1，辛卜生公式的代數精度為3。2.已知f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求積公式求≈(12)。3.數值積分公式的代數精度為2。4.求A、B使求積公式的代數精度盡量高,并求其代數精度；利用此公式求(保留四位小數)。答案：是精確成立，即得求積公式為當時，公式顯然精確成立；當時，左=，右=。所以代數精度為3。5.n=3,用復合梯形公式求的近似值（取四位小數）,并求誤差估計。解：，時，至少有兩位有效數字。6.用的復化梯形公式（或復化Simpson公式）計算時，試用余項估計其誤差。用的復化梯形公式（或復化Simpson公式）計算出該積分的近似值。解：7.數值求積公式是否為插值型求積公式？為什么？其代數精度是多少？解：是。因為在基點1、2處的插值多項式為。其代數精度為1。8.10.4667510.466758.030146.042414.425693.12014f(x)(x)2.62.42.22.01.8x（1）用復化梯形公式計算積分的近似值；解：用復化梯形公式計算取（2）用復化Simpson公式計算積分的近似值。(要求計算結果保留到小數點后六位).解：用復化辛甫生公式計算取9.分別用復化梯形公式和復化辛普生公式計算積分的近似值（保留4位小數）。解：5個點對應的函數值xi00.511.52f(xi)10.0.0.0.(1)復化梯形公式（n=4,h=2/4=0.5）：復化梯形公式（n=2,h=2/2=1）：第五章非線性方程的數值解主要內容：區間二分法，迭代發，牛頓迭代法。1.用二分法求方程在內的根的近似值并分析誤差。解：令，則有，，，所以函數在上嚴格單調增且有唯一實根。本題中求根使得誤差不超過，則由誤差估計式，所需迭代次數滿足，即取便可，因此取。用二分法計算結果列表如下：0021-0.15851121.50.4962211.51.250.1862311.251.1250.411.1251.0625-0.071851.06251.1251.09375-0.0283561.093751.1251.-0.0066471.1.1251.0.81.1.1.-0.91.1.1.0.101.1.1.0.111.1.1.-0.121.1.1.5-0.131.51.1.75-0.141.751.1.3750.由上表可知原方程的根該問題得精確解為，故實際誤差為2.判斷用等價方程建立的求解的非線性方程在1.5附近的根的簡單迭代法的收斂性，其中（A）；（B）；（C）解：取1.5附近區間來考察。（A），顯然當時，單調遞減，而， ，因此，當時，。又當時，，由迭代法收斂定理，對任意初值，迭代格式，收斂。（B），則， ， ，所以當時， 。又當時，，由迭代法收斂定理，對任意初值，迭代格式，收斂。（C），由于當時，有，所以對任意初值（原方程的根除外），迭代格式發散。3.建立利用方程求的Newton迭代格式，并討論算法的收斂性。解：牛頓迭代格式為：令，因為當時，，，故對于任何滿足，即的初值，上述Newton迭代產生的迭代序列收斂于。4.建立利用方程求的Newton迭代格式，并討論算法的收斂性。解：牛頓迭代格式為：令，因為當時，，故對于任何滿足，即的初值，上述Newton迭代產生的迭代序列收斂于。5.教材39頁，例2－15和例2－16.6.用二分法求非線性方程f(x)=0在區間(a,b)內的根時，二分n次后的誤差限為()；7.用二分法求方程在區間[0,1]內的根,進行一步后根的所在區間為0.5，1,進行兩步后根的所在區間為0.5，0.75。8.如果用二分法求方程在區間內的根精確到三位小數，需對分（10）次。9.用簡單迭代法求方程f(x)=0的實根，把方程f(x)=0表示成x=j(x)，則f(x)=0的根是(B)。 (A)y=j(x)與x軸交點的橫坐標(B)y=x與y=j(x)交點的橫坐標(C)y=x與x軸的交點的橫坐標(D)y=x與y=j(x)的交點10.已知方程在附近有根，下列迭代格式中在不收斂的是(C)(A)；(B)；(C)；(D)。11.構造求解方程的根的迭代格式，討論其收斂性，并將根求出來，。答案：解：令.且，故在(0,1)內有唯一實根.將方程變形為則當時，故迭代格式收斂。取，計算結果列表如下：n01230.50.0351278720.0964247850.089877325n45670.0905959930.0905173400.0905259500.090525008且滿足.所以.12．用Newton迭代法求解方程在2.0附近的實根（計算結果保留到小數點后第四位）。解：，，故，方程的近似根為1.8974第六章方程組的數值解法主要內容：高斯消去法，三角分解法，雅可比迭代，高斯－賽德爾迭代。1.設有線性方程組（1）寫出用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解該方程組的迭代公式；（2）用Gauss消去法解該方程組。

解：（1）寫出用Jacobi迭代法解該方程組的迭代公式為用Gauss-Seidel迭代法解該方程組的迭代公式。（2）用Gauss消去法解該方程組將方程（1）乘以-2加到方程（2），再將方程（1）乘以-3加到方程（3），得將方程（2）乘以5加到方程（3），得將方程（3）除以-24，得將代入方程（2），得，在將，代入方程（2），得。

2.用雅可比迭代或高斯—塞德爾迭代求解，取初值，迭代兩次。解將方程組改寫為（1）雅可比迭代（2）取初值，代入右端后從左端得到，再將這組值代入右端計算，可得。高斯—塞德爾迭代（3）用這兩種方法計算的結果為：kxT(雅可比)xT(高斯—塞德爾)0(0,0,0)(0,0,0)1(1.4,0.5,1.4)(1.4,0.78,1.026)2(1.11,1.20,1.11)(0.9234,0.99248,1.1092)3.利用矩陣的LU分解法解方程組。解：令得，得.4.用列主元素消元法求解方程組。解：回代得。5.用Gauss-Seidel迭代法求解線性方程組=，取x(0)=(0,0,0)T,列表計算三次，保留三位小數。解：Gauss-Seidel迭代格式為：系數矩陣嚴格對角占優，故Gauss-Seidel迭代收斂.取x(0)=(0,0,0)T，列表計算如下:11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.5266.已知方程組，其中，列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。求出Jacobi迭代矩陣的譜半徑。解：Jacobi迭代法：Gauss-Seidel迭代法：，7.已知方程組，其中，，（1）寫出該方程組的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；（2）判斷（1）中兩種方法的收斂性，如果均收斂，說明哪一種方法收斂更快；解：（1）Jacobi迭代法的分量形式Gauss-Seidel迭代法的分量形式（2）Jacobi迭代法的迭代矩陣為，，，Jacobi迭代法收斂Gauss-Seidel迭代法的迭代矩陣為，，，Gauss-Seidel迭代法發散8.，則A的LU分解為。答案：9.解線性方程組Ax=b的高斯順序消元法滿足的充要條件為(A的各階順序主子式均不為零)。10.求解方程組的高斯—塞德爾迭代格式為，該迭代格式的迭代矩陣的譜半徑=。11.寫出求解方程組的Gauss-Seidel迭代公式，迭代矩陣為，此迭代法是否收斂收斂。12.設,則9。13.設矩陣的，則。14.Jacobi迭代法解方程組的必要條件是（C）。A．A的各階順序主子式不為零B．C．D．15.設，則為(C)．A．2B．5C．7D．316.求解線性方程組Ax=b的LU分解法中，A須滿足的條件是(D)。A．對稱陣B．正定矩陣C．任意陣D．各階順序主子式均不為零17.用高斯-塞德爾方法解方程組，取，迭代四次(要求按五位有效數字計算)。答案：迭代格式k000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.7019第七章常微分方程的數值解法主要內容：歐拉法。1.解初值問題的改進歐拉法是2階方法2.已知初值問題：，取步長h=0.1，（1）用（顯式的）Euler方