1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題第2課時

用空間向量研究夾角問題

學習任務核心素養1.能用向量語言表述線線、線面、平面與平面的夾角．(重點、易混點)2.能用向量方法解決線線、線面、平面與平面的夾角問題．(重點、難點)3.能描述用向量方法解決夾角問題的程序，體會向量方法在研究幾何問題中的作用.1.通過學習線線、線面、平面與平面的向量表示，提升直觀想象素養.2.通過利用向量方法解決線線、線面、平面與平面的夾角問題，提升邏輯推理和數學運算素養.與距離類似，角度是立體幾何中另一個重要的度量．我們能否用向量方法研究直線與直線所成的角、直線與平面所成的角以及平面與平面的夾角？探究一、用向量求異面直線所成的角——線線角則兩條直線的方向向量的夾角與兩異面直線所成角關系是什么？提示：相等或互補．兩條直線的方向向量的夾角為銳角(直角)時相等，夾角為鈍角時互補．

思考：以上我們用向量解決了異面直線

AM

和

CN所成角的問題，你能用向量方法求直線

AB和平面BCD所成的角嗎？

類似地，直線與平面所成的角，可以轉化為直線的方向向量和平面的法向量的夾角探究二、用向量求直線與平面所成的角——線面角

斜線和它在平面上的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個平面所成角.探究三、用向量求兩個平面的夾角兩個平面的夾角與這兩個平面形成的二面角有什么關系?

如圖，平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角.二面角的范圍：一、用向量求異面直線所成的角二、用向量求直線與平面角三、用向量求兩個平面的夾角總結：解：①化為向量問題例1、如圖，在棱長為1的正四面體(四個面都是正三角形)ABCD中，M，N分別為BC，AD的中點，求直線AM和CN夾角的余弦值.②進行向量運算③回到圖形問題(1)幾何法解決此類問題，關鍵是通過平移求解．過某一點作平行線，將異面直線所成的角轉化為平面角，最后通過解三角形求解．主要以“作，證，算”來求異面直線所成的角，同時，要注意異面直線所成角的范圍．(2)向量法利用數量積或坐標方法將異面直線所成的角θ轉化為兩直線的方向向量所成的角

，若求出的兩向量的夾角為鈍角，則異面直線的夾角應為兩向量夾角的補角，即

.求異面直線所成的角的兩種方法課本P382.PA，PB，PC是從點P出發的三條射線，每兩條射線的夾角均為60°，那么直線PC與平面PAB所成角的的余弦值是().例2、PA，PB，PC是從點P出發的三條射線，每兩條射線的夾角均為60°，那么直線PC與平面PAB所成角的的余弦值是(

).C

(1)幾何法找直線在平面內的射影，充分利用面與面垂直的性質及解三角形知識可求得夾角(或夾角的某一三角函數值)．(2)向量法①建立空間直角坐標系；②求直線的方向向量；③求平面的法向量；④計算：設線面角為θ，則

.求直線與平面的夾角的方法與步驟解：①化為向量問題分析:因為平面PQR與平西面A1B1C1的夾角可以轉化為平面PQR與平面A1B1C1的法向量的夾角，所以只需要求出這兩個平面的法向量的夾角即可.例3、如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P為BC的中點，點Q，R分別在棱AA1，BB1上，A1Q=2AQ，BR=2RB1，求平面PQR與平面A1B1C1夾角的余弦值.②進行向量運算③回到圖形問題

(1)幾何法在二面角的棱上找一特殊點，在兩個半平面內分別作垂直于棱的射線，把平面角放到三角形中求解．(2)向量法①建立空間直角坐標系；②求出兩個半平面的法向量

，

；③設二面角的平面角為θ，則；④根據圖形判斷

θ

為鈍角還是銳角，從而求出θ(或其三角函數).求平面與平面的夾角的方法與步驟

A課本P383：

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的