空間中向量的概念和運算1.空間向量的概念(1)兩個特征:_____,_____.(2)向量的模(長度):指的是向量的_____,也可看作表示向量的有向線段的_____.(3)表示法:①幾何表示法:空間向量用_________表示;②字母表示法:用字母表示,若向量的起點是A,終點是B,可記作a.也可記作____,其模記為|a|或_____.大小方向大小長度有向線段2.幾類常見的空間向量名稱方向模記法零向量_____________單位向量__相反向量_____相等a的相反向量:___

的相反向量:_____相等向量相同_____a=b任意方向01相反-a相等3.向量的加法、減法空間向量的運算加法=a+b減法=a-b加法運算律(1)交換律:a+b=____(2)結合律:(a+b)+c=________b+aa+(b+c)4.向量的數乘運算(1)數乘運算:結果實數λ與空間向量a的乘積是一個_____λ的范圍方向關系模的關系λ>0方向_____λa的模是a的模的_______λ=0λa=0,其方向是任意的λ<0方向_____相同相反|λ|倍向量(2)運算律:①分配律:λ(a+b)=________;②結合律:λ(μa)=________.λa+λb(λμ)a5.平行(共線)向量:平行(共線)向量共面向量定義位置關系表示空間向量的有向線段所在的直線的位置關系:_______________平行于同一個_____的向量特征方向___________充要條件對空間任意兩個向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實數λ,使______向量p與不共線向量a,b共面的充要條件是存在_____的有序實數對(x,y)使________互相平行或重合相同或相反平面a=λb唯一p=xa+yb6.空間向量的夾角非零∠AOB<a,b>[0,π]互相垂直a⊥b7.空間向量的數量積(1)定義:已知兩個非零向量a,b,則_______________叫做a與b的數量積,記作a·b.即a·b=_______________.|a||b|cos<a,b>|a||b|cos<a,b>(2)數量積的運算律:數乘向量與數量積的結合律(λa)·b=λ_____=a·(____)交換律a·b=_____分配律a·(b+c)=__________a·bλbb·aa·b+a·c(3)空間兩向量的數量積的性質向量數量積的性質垂直若a,b是非零向量,則a⊥b?a·b=0.共線同向:則a·b=|a|·|b|反向:則a·b=-|a|·|b|模a·a=_______________=|a|2|a|=|a·b|≤|a|·|b|夾角θ為a,b的夾角,則cosθ=_______|a||a|cos<a,a>1.判一判(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)有向線段可用來表示空間向量,有向線段長度越長,其所表示的向量的模就越大.(

)(2)空間兩非零向量相加時,一定可用平行四邊形法則運算.(

)(3)0向量是長度為0,沒有方向的向量.(

)(4)若|a|=|b|,則a=b或a=-b.(

)【解析】(1)正確.向量的模可以比較大小,有向線段長度越長,其所表示的向量的模就越大.(2)錯誤.若空間兩向量為共線向量,此時不能用平行四邊形法則進行運算.(3)錯誤.0向量是模為0,方向任意的向量.(4)錯誤.|a|=|b|說明a與b長度相等,但兩向量不一定共線.答案:(1)√

(2)×

(3)×

(4)×2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)把所有單位向量的起點移到一點,則這些向量的終點組成的圖形是

.(2)在空間四邊形ABCD(字母順次連接)中,連接AC,BD,則為

.(3)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,化簡后的結果是

.【解析】(1)在空間中把所有單位向量的起點移到一點,則這些向量的終點組成的圖形是以單位向量的起點為球心,以1為半徑的球面.答案:球面(2)答案：(3)由正方體的性質可得答案：3.判一判(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)實數與向量之間可進行加法、減法運算.(

)(2)若表示兩向量的有向線段所在的直線為異面直線,則這兩個向量不是共面向量.(

)(3)如果則P,A,B共線.(

)(4)空間中任意三個向量一定是共面向量.(

)【解析】(1)錯誤,實數與向量相加沒有意義,如3+a不能確定該式子是實數還是向量.(2)錯誤,由共面向量的定義知空間中任意兩個向量都是共面向量,故此種說法錯誤.(3)正確,能判定P,A,B共線.因為原式可化為:由共線向量的充要條件可知,P,A,B共線.(4)錯誤,空間中的任意三個向量不一定是共面向量.例如,對于空間四邊形ABCD,這三個向量就不是共面向量.答案:(1)×

(2)×

(3)√

(4)×4.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)若|a|=5,b與a的方向相反,且|b|=7,則a=

b.(2)已知b=-5a(|a|=2),向量b的長度為

,向量b的方向與向量a的方向

.(3)已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,,若則x=

,y=

.【解析】(1)b與a的方向相反,所以a=λb且實數λ<0,由|a|=|λ||b|,所以故λ=答案:

(2)因為|a|=2,又b=-5a,所以向量b的長度為10,又因為-5<0,故向量b與a的方向相反.答案:10相反(3)所以x＝1，y＝答案：15.判一判(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)若a·b=0,則a=0或b=0.(

)(2)<a,b>與(a,b)都表示直角坐標系下的點.(

)(3)若a,b均為非零向量,則a·b=|a||b|是a與b共線的充要條件.(

)(4)在△ABC中,<>=∠B.(

)【解析】(1)錯誤.當兩非零向量a,b的夾角為90°時,其數量積為0.(2)錯誤.<a,b>表示的是空間向量a,b之間的夾角,(a,b)表示直角坐標系下的點.(3)錯誤.因a,b均為非零向量,故a·b=|a||b|cos<a,b>=|a||b|,所以cos<a,b>=1,故向量a,b共線,反之當a,b共線時,a·b=|a||b|cos<a,b>=±|a||b|,故錯誤.(4)錯誤.在△ABC中,向量的夾角為∠B,而向量的夾角與向量的夾角互補,故此等式不正確.答案:(1)×

(2)×

(3)×

(4)×6.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)若向量a與b滿足|a|=1,|b|=2且a與b的夾角為,則a·b=

.(2)已知|a|=,|b|=,a·b=-,則a與b的夾角為

.(3)已知a,b是空間兩個向量,若|a|=2,|b|=2,|a-b|=,則cos<a,b>=

.【解析】(1)a·b=|a||b|cos〈a，b〉=1×2×=1.答案：1(2)由a·