§2.3變量間的有關(guān)關(guān)系§2.3.1變量之間的有關(guān)關(guān)系§2.3.2兩個(gè)變量的線性有關(guān)一、教材分析變量之間的關(guān)系是人們感愛好的問(wèn)題.教科書通過(guò)思考欄目“物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)之間的關(guān)系”,引導(dǎo)學(xué)生考察變量之間的關(guān)系.在教師的引導(dǎo)下,可使學(xué)生認(rèn)識(shí)到在現(xiàn)實(shí)世界中存在不能用函數(shù)模型描述的變量關(guān)系,從而體會(huì)研究變量之間的有關(guān)關(guān)系的重要性.隨即,通過(guò)探究人體脂肪比例和年紀(jì)之間的關(guān)系,引入描述兩個(gè)變量之間關(guān)系的線性回歸方程（模型）.教科書在探索用多個(gè)辦法擬定線性回歸直線的過(guò)程中,向?qū)W生展示發(fā)明性思維的過(guò)程,協(xié)助學(xué)生理解最小二乘法的思想.通過(guò)氣溫與飲料銷售量的例子及隨即的思考,使學(xué)生理解運(yùn)用線性回歸方程解決實(shí)際問(wèn)題的全過(guò)程,體會(huì)線性回歸方程作出的預(yù)測(cè)成果的隨機(jī)性,并且可能犯的錯(cuò)誤.進(jìn)一步,教師能夠運(yùn)用計(jì)算機(jī)模擬和多媒體技術(shù),直觀形象地展示預(yù)測(cè)成果的隨機(jī)性和規(guī)律性.二、教學(xué)目的1.通過(guò)收集現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)認(rèn)識(shí)變量間的有關(guān)關(guān)系.2.明確事物間的互相聯(lián)系.認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中變量間除了存在擬定的關(guān)系外,仍存在大量的非擬定性的有關(guān)關(guān)系,并運(yùn)用散點(diǎn)圖直觀體會(huì)這種有關(guān)關(guān)系.3.經(jīng)歷用不同估算辦法描述兩個(gè)變量線性有關(guān)的過(guò)程．懂得最小二乘法的思想,能根據(jù)給出的線性回歸方程的系數(shù)公式建立線性回歸方程．三、重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：通過(guò)收集現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)直觀認(rèn)識(shí)變量間的有關(guān)關(guān)系；運(yùn)用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識(shí)兩個(gè)變量之間的線性關(guān)系；根據(jù)給出的線性回歸方程的系數(shù)公式建立線性回歸方程．教學(xué)難點(diǎn)：變量之間有關(guān)關(guān)系的理解；作散點(diǎn)圖和理解兩個(gè)變量的正有關(guān)和負(fù)有關(guān)；理解最小二乘法的思想.四、學(xué)時(shí)安排2學(xué)時(shí)五、教學(xué)設(shè)計(jì)第1學(xué)時(shí)（一）導(dǎo)入新課思路1在學(xué)校里,老師對(duì)學(xué)生經(jīng)常這樣說(shuō)：“如果你的數(shù)學(xué)成績(jī)好，那么你的物理學(xué)習(xí)就不會(huì)有什么大問(wèn)題.”按照這種說(shuō)法，似乎學(xué)生的物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)之間存在著一種有關(guān)關(guān)系.這種說(shuō)法有無(wú)根據(jù)呢?請(qǐng)同窗們?nèi)鐚?shí)填寫下表（在空格中打“√”）:好中差你的數(shù)學(xué)成績(jī)你的物理成績(jī)學(xué)生討論：我們能夠發(fā)現(xiàn)自己的數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)存在某種關(guān)系.（似乎就是數(shù)學(xué)好的,物理也好；數(shù)學(xué)差的,物理也差,但又不全對(duì).）物理成績(jī)和數(shù)學(xué)成績(jī)是兩個(gè)變量,從經(jīng)驗(yàn)看,由于物理學(xué)習(xí)要用到比較多的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)辦法.數(shù)學(xué)成績(jī)的高低對(duì)物理成績(jī)的高低是有一定影響的.但決非唯一因素,尚有其它因素,如與否喜歡物理,用在物理學(xué)習(xí)上的時(shí)間等等.（總結(jié)：不能通過(guò)一種人的數(shù)學(xué)成績(jī)是多少就精確地?cái)喽ㄋ奈锢沓煽?jī)能達(dá)成多少.但這兩個(gè)變量是有一定關(guān)系的,它們之間是一種不擬定性的關(guān)系.如何通過(guò)數(shù)學(xué)成績(jī)的成果對(duì)物理成績(jī)進(jìn)行合理預(yù)計(jì)有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義.）為較好地闡明上述問(wèn)題,我們開始學(xué)習(xí)變量之間的有關(guān)關(guān)系和兩個(gè)變量的線性有關(guān).(教師板書課題)思路2某地區(qū)的環(huán)境條件適合天鵝棲息繁衍，有人經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象，如果村莊附近棲息的天鵝多，那么這個(gè)村莊的嬰兒出生率也高，天鵝少的地方嬰兒的出生率低，于是，他就得出一種結(jié)論：天鵝能夠帶來(lái)孩子.你認(rèn)為這樣得到的結(jié)論可靠嗎？如何證明這個(gè)結(jié)論的可靠性？（二）推動(dòng)新課、新知探究、提出問(wèn)題（1）糧食產(chǎn)量與施肥量有關(guān)系嗎？“名師出高徒”能夠解釋為教師的水平越高,學(xué)生的水平也越高.教師的水平與學(xué)生的水平有什么關(guān)系？你能舉出更多的描述生活中兩個(gè)變量的有關(guān)關(guān)系的成語(yǔ)嗎？（2）兩個(gè)變量間的有關(guān)關(guān)系是什么？有幾個(gè)？（3）兩個(gè)變量間的有關(guān)關(guān)系的判斷.討論成果：（1）糧食產(chǎn)量與施肥量有關(guān)系,普通是在原則范疇內(nèi),施肥越多,糧食產(chǎn)量越高；教師的水平與學(xué)生的水平是有關(guān)的,如水滴石穿,三人行必有我?guī)煹?我們還能夠舉出現(xiàn)實(shí)生活中存在的許多有關(guān)關(guān)系的問(wèn)題.例如:商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費(fèi)之間的關(guān)系.商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費(fèi)有著親密的聯(lián)系,但商品銷售收入不僅與廣告支出多少有關(guān),還與商品質(zhì)量、居民收入等因素有關(guān).糧食產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系.在一定范疇內(nèi),施肥量越大,糧食產(chǎn)量就越高.但是,施肥量并不是決定糧食產(chǎn)量的唯一因素.由于糧食產(chǎn)量還要受到土壤質(zhì)量、降雨量、田間管理水平等因素的影響.人體內(nèi)的脂肪含量與年紀(jì)之間的關(guān)系.在一定年紀(jì)段內(nèi),隨著年紀(jì)的增加,人體內(nèi)的脂肪含量會(huì)增加,但人體內(nèi)的脂肪含量還與飲食習(xí)慣、體育鍛煉等有關(guān),可能還與個(gè)人的先天體質(zhì)有關(guān).應(yīng)當(dāng)說(shuō),對(duì)于上述多個(gè)問(wèn)題中的兩個(gè)變量之間的有關(guān)關(guān)系,我們都能夠根據(jù)自己的生活、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)作出對(duì)應(yīng)的判斷,由于“經(jīng)驗(yàn)當(dāng)中有規(guī)律”.但是,不管你的經(jīng)驗(yàn)多么豐富,如果只憑經(jīng)驗(yàn)辦事,還是很容易出錯(cuò)的.因此,在分析兩個(gè)變量之間的有關(guān)關(guān)系時(shí),我們需要某些有說(shuō)服力的辦法.在尋找變量之間有關(guān)關(guān)系的過(guò)程中,統(tǒng)計(jì)同樣發(fā)揮著非常重要的作用.由于上面提到的這種關(guān)系,并不像勻速直線運(yùn)動(dòng)中時(shí)間與路程的關(guān)系那樣是完全擬定的,而是帶有不擬定性.這就需要通過(guò)收集大量的數(shù)據(jù)(有時(shí)通過(guò)調(diào)查,有時(shí)通過(guò)實(shí)驗(yàn)),在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)上,發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律,才干對(duì)它們之間的關(guān)系作出判斷.(2)有關(guān)關(guān)系的概念：自變量取值一定時(shí),因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系,叫做有關(guān)關(guān)系.兩個(gè)變量之間的關(guān)系分兩類：①擬定性的函數(shù)關(guān)系,例如我們以前學(xué)習(xí)過(guò)的一次函數(shù)、二次函數(shù)等；②帶有隨機(jī)性的變量間的有關(guān)關(guān)系,例如“身高者,體重也重”,我們就說(shuō)身高與體重這兩個(gè)變量含有有關(guān)關(guān)系.有關(guān)關(guān)系是一種非擬定性關(guān)系.如商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費(fèi)之間的關(guān)系.（還與商品質(zhì)量、居民收入、生活環(huán)境等有關(guān)）(3)兩個(gè)變量間的有關(guān)關(guān)系的判斷：①散點(diǎn)圖.②根據(jù)散點(diǎn)圖中變量的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的離散程度,能夠精確地判斷兩個(gè)變量與否含有有關(guān)關(guān)系.③正有關(guān)、負(fù)有關(guān)的概念.①教學(xué)散點(diǎn)圖出示例題：在一次對(duì)人體脂肪含量和年紀(jì)關(guān)系的研究中,研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)：年紀(jì)23273841454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年紀(jì)53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6分析數(shù)據(jù)：大致上來(lái)看,隨著年紀(jì)的增加,人體中脂肪的比例也在增加.我們能夠作散點(diǎn)圖來(lái)進(jìn)一步分析.②散點(diǎn)圖的概念：將各數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)畫出來(lái),得到表達(dá)兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形,這樣的圖形叫做散點(diǎn)圖，以下圖.從散點(diǎn)圖我們能夠看出，年紀(jì)越大，體內(nèi)脂肪含量越高.圖中點(diǎn)的趨勢(shì)表明兩個(gè)變量之間確實(shí)存在一定的關(guān)系,這個(gè)圖支持了我們從數(shù)據(jù)表中得出的結(jié)論.（a.如果全部的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線上,就用該函數(shù)來(lái)描述變量之間的關(guān)系,即變量之間含有函數(shù)關(guān)系．b.如果全部的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線附近,變量之間就有有關(guān)關(guān)系.c.如果全部的樣本點(diǎn)都落在某始終線附近,變量之間就有線性有關(guān)關(guān)系）③正有關(guān)與負(fù)有關(guān)的概念：如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi),稱為正有關(guān).如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi),稱為負(fù)有關(guān).（注：散點(diǎn)圖的點(diǎn)如果幾乎沒有什么規(guī)則,則這兩個(gè)變量之間不含有有關(guān)關(guān)系）（三）應(yīng)用示例思路1例1下列關(guān)系中,帶有隨機(jī)性有關(guān)關(guān)系的是_____________.①正方形的邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系②水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系③人的身高與年紀(jì)之間的關(guān)系④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系解析：兩變量之間的關(guān)系有兩種：函數(shù)關(guān)系與帶有隨機(jī)性的有關(guān)關(guān)系.①正方形的邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系.②水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系不是嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系,但是含有有關(guān)性,因而是有關(guān)關(guān)系.③人的身高與年紀(jì)之間的關(guān)系既不是函數(shù)關(guān)系,也不是有關(guān)關(guān)系,由于人的年紀(jì)達(dá)成一定時(shí)期身高就不發(fā)生明顯變化了,因而他們不含有有關(guān)關(guān)系.④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間含有有關(guān)關(guān)系,因此填②④.答案：②④例2有關(guān)法律規(guī)定,香煙盒上必須印上“吸煙有害健康”的警示語(yǔ).吸煙與否一定會(huì)引發(fā)健康問(wèn)題?你認(rèn)為“健康問(wèn)題不一定是由吸煙引發(fā)的,因此能夠吸煙”的說(shuō)法對(duì)嗎?分析：學(xué)生思考,然后討論交流,教師及時(shí)評(píng)價(jià).解：從已經(jīng)掌握的知識(shí)來(lái)看,吸煙會(huì)損害身體的健康,但是除了吸煙之外,尚有許多其它的隨機(jī)因素影響身體健康,人體健康是諸多因素共同作用的成果.我們能夠找到長(zhǎng)壽的吸煙者,也更容易發(fā)現(xiàn)由于吸煙而引發(fā)的患病者,因此吸煙不一定引發(fā)健康問(wèn)題.但吸煙引發(fā)健康問(wèn)題的可能性大.因此“健康問(wèn)題不一定是由吸煙引發(fā)的,因此能夠吸煙”的說(shuō)法是不對(duì)的.點(diǎn)評(píng)：在探究研究的過(guò)程中,如果能夠從兩個(gè)變量的觀察數(shù)據(jù)之間發(fā)現(xiàn)有關(guān)關(guān)系是極為故意義的,由此能夠進(jìn)一步研究?jī)烧咧g與否蘊(yùn)涵因果關(guān)系,從而發(fā)現(xiàn)引發(fā)這種有關(guān)關(guān)系的本質(zhì)因素是什么.本題的意義在于引導(dǎo)學(xué)生重視對(duì)統(tǒng)計(jì)成果的解釋,從中發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步研究的問(wèn)題.思路2例1有時(shí)候,某些東西吃起來(lái)口味越好,對(duì)我們的身體越有害.下表給出了不同類型的某種食品的數(shù)據(jù).第二列表達(dá)此種食品所含熱量的比例,第三列數(shù)據(jù)表達(dá)由某些美食家以百分制給出的對(duì)此種食品口味的評(píng)價(jià):品牌所含熱量的比例口味統(tǒng)計(jì)A2589B3489C2080D1978E2675F2071G1965H2462I1960J1352（1）作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖.(2)有關(guān)兩個(gè)變量之間的關(guān)系,你能得出什么結(jié)論?解：(1)散點(diǎn)圖以下：(2)基本成正有關(guān)關(guān)系,即食品所含熱量越高,口味越好.例2案例分析：普通說(shuō)來(lái),一種人的身高越高,他的右手一拃長(zhǎng)就越長(zhǎng),因此,人的身高與右手一拃長(zhǎng)之間存在著一定的關(guān)系.為了對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行調(diào)查,我們收集了北京市某中學(xué)高三年級(jí)96名學(xué)生的身高與右手一拃長(zhǎng)的數(shù)據(jù)以下表.性別身高/cm右手一拃長(zhǎng)/cm性別身高/cm右手一拃長(zhǎng)/cm女15218.5女15316.0女15616.0女15720.0女15817.3女15920.0女16015.0女16016.0女16017.5女16017.5女16019.0女16019.0女16019.0女16019.5女16116.1女16118.0女16218.2女16218.5女16320.0女16321.5女16417.0女16418.5女16419.0女16420.0女16515.0女16516.0女16517.5女16519.5女16619.0女16719.0女16719.0女16816.0女16819.0女16819.5女17021.0女17021.0女17021.0女17119.0女17120.0女17121.5女17218.5女17318.0女17322.0男16219.0男16419.0男16521.0男16818.0男16819.0男16917.0男16920.0男17020.0男17021.0男17021.5男17022.0男17121.5男17121.5男17122.3男17221.5男17223.0男17320.0男17320.0男17320.0男17320.0男17321.0男17422.0男17422.0男17516.0男17520.0男17521.0男17521.2男17522.0男17616.0男17619.0男17620.0男17622.0男17622.0男17721.0男17821.0男17821.0男17822.5男17824.0男17921.5男17921.5男17923.0男18022.5男18121.1男18121.5男18123.0男18218.5男18221.5男18224.0男18321.2男18525.0男18622.0男19121.0男19123.0（1）根據(jù)上表中的數(shù)據(jù),制成散點(diǎn)圖.你能從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)身高與右手一拃長(zhǎng)之間的近似關(guān)系嗎？（2）如果近似成線性關(guān)系,請(qǐng)畫出一條直線來(lái)近似地表達(dá)這種線性關(guān)系.（3）如果一種學(xué)生的身高是188cm,你能預(yù)計(jì)他的一拃大概有多長(zhǎng)嗎？解：根據(jù)上表中的數(shù)據(jù),制成的散點(diǎn)圖以下.從散點(diǎn)圖上能夠發(fā)現(xiàn),身高與右手一拃長(zhǎng)之間的總體趨勢(shì)是成始終線,也就是說(shuō),它們之間是線性有關(guān)的.那么,如何擬定這條直線呢？同窗1：選擇能反映直線變化的兩個(gè)點(diǎn),例如（153,16）,（191,23）兩點(diǎn)擬定一條直線.同窗2：在圖中放上一根細(xì)繩,使得上面和下面點(diǎn)的個(gè)數(shù)相似或基本相似.同窗3：多取幾組點(diǎn)對(duì),擬定幾條直線方程.再分別算出各個(gè)直線方程斜率、截距的算術(shù)平均值,作為所求直線的斜率、截距.同窗4：從左端點(diǎn)開始,取兩條直線,以下圖.再取這兩條直線的“中間位置”作一條直線.同窗5：先求出相似身高同窗右手一拃長(zhǎng)的平均值,畫出散點(diǎn)圖,以下圖,再畫出近似的直線,使得在直線兩側(cè)的點(diǎn)數(shù)盡量同樣多.同窗6：先將全部的點(diǎn)分成兩部分,一部分是身高在170cm下列的,一部分是身高在170cm以上的；然后,每部分的點(diǎn)求一種“平均點(diǎn)”——身高的平均值作為平均身高、右手一拃的平均值作為平均右手一拃長(zhǎng),即（164,19）,（177,21）；最后,將這兩點(diǎn)連接成一條直線.同窗7：先將全部的點(diǎn)按從小到大的次序進(jìn)行排列,盡量地平均分成三等份；每部分的點(diǎn)按照同窗3的辦法求一種“平均點(diǎn)”,最小的點(diǎn)為（161.3,18.2）,中間的點(diǎn)為（170.5,20.1）,最大的點(diǎn)為（179.2,21.3）.求出這三個(gè)點(diǎn)的“平均點(diǎn)”為（170.3,19.9）.我再用直尺連接最大點(diǎn)與最小點(diǎn),然后平行地推,畫出過(guò)點(diǎn)（170.3,19.9）的直線.同窗8：取一條直線,使得在它附