描述函數法一．本質非線性特性的諧波線性化1．諧波線性化具有本質非線性的非線性元件在正弦輸入作用下在其非正弦周期函數的輸出響應中假設只有基波分量有意義從而將本質非線性特性在這種假設下視為線性特性的一種近似3．應用描述函數法分析非線性系統的前提a非線性特性具有奇對稱心b非線性系統具有圖a所時的典型結構c非線性部分輸出xt中的基波分量最強d非線性部分Gs的低通濾波效應較好b非線性特性的描述函數的求取方法二．典型非線性特性的描述函數1飽和特性的描述函數2死區特性描述函數3間隙特性的描述函數1引言第七章非線性控制系統分析非線性指元件或環節的靜特性不是按線性規律變化非線性系統如果一個控制系統包含一個或一個以上具有非線性靜特性的元件或環節則稱這類系統為非線性系統其特性不能用線性微分方程來描述一．控制系統中的典型非線性特性下面介紹的這些特性中一些是組成控制系統的元件所固有的如飽和特性死區特性和滯環特性等這些特性一般來說對控制系統的性能是不利的另一些特性則是為了改善系統的性能而人為加入的如繼電器特性變增益特性在控制系統中加入這類特性一般來說能使系統具有比線性系統更為優良的動態特性非線性系統分析飽和特性2死區特性危害使系統輸出信號在相位上產生滯后從而降低系統的相對穩定性使系統產生自持振蕩危害使系統輸出信號在相位上產生滯后從而降低系統的相對穩定性使系統產生自持振蕩4繼電器特性功能改善系統性能的切換元件4繼電器特性特點使系統在大誤差信號時具有較大的增益從而使系統響應迅速而在小誤差信號時具有較小的增益從而提高系統的相對穩定性同時抑制高頻低振幅噪聲提高系統響應控制信號的準確度質非線性不能應用小偏差線性化概念將其線性化 非本質非線性可以進行小偏差線性化的非線性特二?非線性控制系統的特性1對于線性系統描述其運動狀態的數學模型量線性微分方程它的根本標志就在于能使用疊加原理而非線性系統其數學模型為非線性微分方程不能使用疊加原理由于兩種系統特性上的這種差別所以它的運動規律是很不相同的目前還沒有像求解線 性微分方程那樣求解非線性微分方程的通用方法而對非線性系統一般并不需要求解其輸出響應過程通常是把討論問題的重點放在系統是否穩定系統是否產生自持振蕩計算機自持振蕩的振幅和頻率消除自持振蕩等有關穩定性的分析上 2在線性系統中系統的穩定性只與其結構和參數有關而與初始條件無關對于線性定常系統穩定性僅取決于特征根在s平面的分布但非線性系統的穩定性除和系統的結構形式及參數有關外還和初始條件有關在不同的初始條件下運動的最終狀態可能完全不同如有的系統初始值處于較小區域內時是穩定的而當初始值處于較大區域內時則變為不穩定反之也町能初始值大時系統穩定而初始值小畢低撤炊晃定甚至述會出現更為復雜的情況3在非線性系統中除了從平衡狀態發散或收斂于平衡狀態兩種運動形式外往往即使無外作用存在系統也可能產生具有一定振幅和頻率的穩定的等幅振蕩自持振蕩無外作用時非線性系統內部產生的穩定的等幅振蕩稱為自持振蕩簡稱自振蕩 改變非系統的結構和參數可以改變自持振蕩的振幅和頻率或消除自持振蕩 對線性系統圍繞其平衡狀態只有發散和收斂兩種運動形式其中不可能產生穩定的自持振蕩 4在線性系統中輸入為正弦函數時其輸出的穩態分量也是同頻率的正弦函數輸入和穩態輸出之間僅在振幅和相位上有所不同因此可以用頻率響應來描述系統的固有特性而非線性系統輸出的穩態分量在一般情況下并不具有與輸入相同的函數形式 三?非線性系統的研究方法現在尚無一般的通用方法來分析和設計非線性控制系統對非本質非線性系統基于小偏差線性化概念來處理對本質非線性系統二階系統相平面法高階系統描述函數法2相平面法相平面法是一種通過圖解法求解二階非線性系統的準確方法一．基本概念二．線性系統的相軌跡奇點相軌跡的斜率不能由該點的坐標值單值地確定的點稱為奇點6三相軌跡的繪制b直接積分法2圖解法a等傾線法等傾線在相平面內對應相軌跡上具有等斜率點的連線四由相軌跡求時間解五．非線性系統的相平面分析1．基本概念實奇點奇點位于對應的線性工作區域內虛奇點奇點位于對應的線性工作區域外極限環極限環是相平面圖上一個孤立的封閉軌跡所有極限環附近的相軌跡都將卷向極限環或從極限環卷出極限環內部或外部的相軌跡總是不可能穿過極限環而進入它的外部或內部1穩定極限環在極限環附近起始于極限環外部或內部的相軌跡均收斂與該極限環這時系統表現為等幅持續振蕩2不穩定極限環在極限環附近的相軌跡是從極限環發散出去在這種情況下如果相軌跡起始于極限環內則該相軌跡收斂于極限環內的奇點如果相軌跡起始于極限環外則該相軌跡發散至無窮遠3半穩定極限環如果起始于極限環外部的相軌跡從極限環發散出去而起始于極限環內部各點的相軌跡收斂于極限環或者相反起始于極限環外部各點的相軌跡收斂于極限環而起始于極限環內部各點的相軌跡收斂于圓點一般非線性系統可用分段線性微分方程來描述在相平面的不同區域內代表該非線性系統運動規律的微分方程是線性的因而每個區域內的相軌跡都是線性系統的相軌跡僅在不同區域的邊界上相軌跡要發生轉換區域的邊界線稱為開關線或轉換線因此一般非線性系統相軌跡實際上就是分段線性系統相軌跡我們只需做好相軌跡在開關線上的銜接工作用相平面法分析非線性系統的一般步驟1將非線性特性用分段的直線特性來表示寫出相應線段的數學表達式2首先在相平面上選擇合適的坐標一般常用誤差及其導數分別為橫縱坐標然后將相平面根據非線性特性分成若干區域使非線性特性在每個區域內都呈線性特性3確定每個區域的奇點類別和在相平面上的位置4在各個區域內分別畫出各自的相軌跡5將相鄰區域的相軌跡根據在相鄰兩區分界線上的點對于相鄰兩區具有相同工作狀態的原則連接起來便得到整個非線性系統的相軌跡6基于該相軌跡全面分析二階非線性系統的動態及穩態特性例2非線性系統方框圖如圖所示試取其系統在輸入信號例3式中線性區寬度線性區特性的斜率式中死區寬度-線性輸出的斜率式中間隙寬度間隙特性斜率變增益特性式中-變增益特性斜率-切換點設一個二階系統可以用下列常微分方程描述 1如果以和作為變量則可有2用第一個方程除第二個方程有3這是一個以為自變量以為因變量的方程如果能解出該方程則可以用2式把的關系計算出來因此對方程1的研究可以用研究方程3來代替如果把方程1看作質點的運動方程則代表質點的位置代表質點的速度因而也代表了質點的動量用和描述方程1的解也就是用質點的狀態如位置和動量來表示質點的運動在物理學中這種不直接用時間變量而用狀態變量表示運動的方法稱為相空間法也稱為狀態空間法在自動控制理論中把具有直角坐標的和的平面稱為相平面相平面是二維的狀態空間設描述系統運動的微分方程為分別取和為相平面的橫坐標和縱坐標上述方程為則上式代表描述二階系統自由運動的相軌跡各點處的斜率在及即坐標原點00處的斜率為由此我們有奇點的定義1無阻尼運動形式積分有2欠阻尼運動形式1解析法繪制相軌跡的關鍵在于找出和的關系用求解微分方程的辦法找出的關系從而可在相平面上繪制相軌跡這種方法稱為解析法解析法分為a消去參變量由直接解出通過求導得到在這兩個解中消去作為參變量的就得到的關系例設描述系統的微分方程為

其中M為常量已知初始條件求其相軌跡解積分有1 再積分一次有2 由12式消去有M1M-1上式可分解為則由 可找出得關系在上式中由可有積分有 可見兩種方法求出的相軌跡是相同的原理因故有式中為相軌跡在某一點的切線的斜率令則I滿足此方程的點出的斜率必為有上式確定的關系曲線稱為等傾線相軌跡必然以的斜率經過等傾線步驟a根據等傾線方程式I做出不同值的等傾線b根軌初始條件確定相軌跡的起始點c從起始點處的等傾線向相鄰的第二條等傾線畫直線它的斜率近似等于這兩條相鄰等傾線斜率的平均值再從該直線與第二條等傾線的交點向相鄰的第三條等傾線畫直線這段直線的斜率等于第二第三等傾線斜率的平均值如此繼續下去即可作出相軌跡b法原理這里是單值連續函數式中適當選擇值以使下面定義的函數值在所討論的取值范圍內既不太大也不太小函數定義如下函數值取決于變量和而當和變化很小時可以看作一個常量 積分有這是一個以為圓心以為半徑的圓弧附近的相軌跡可用這段圓弧來代替 做圖步驟①在平面上根據初始狀態的坐標計算出②以為圓心過初始狀態作一小段圓弧使系統的狀態從轉移到③根據和求出后以為圓心作過的一段圓弧系統狀態又以轉移到1根據求時間解在坐標上在坐標上 由圖可見 從相平面圖上橫坐標上選取從相平面圖上縱坐標上選取但應是對應的的平均值從相平面圖上橫坐標上選取從相平面圖上縱坐標上選取但應是對應的的平均值2．根據求時間解以為橫坐標為縱坐標則有如下軌跡便是陰影部分的面積3．根據圓弧近似求時間解相軌跡上由相軌跡上由A點運動到D點的時間為1 2 作用下的相軌跡并分析該系統的特性初始狀態 解死區特性的數字表達式為線性部分微分IIIII方程為而故有 根據死區特性系統可分為三個區I區II統的特性初始狀態 解死區特性的數字表達式為線性部分微分IIIII方程為而故