/專題13一元一次方程中的難點【思維導圖】1.絕對值方程例．（2021·河南·南陽市第三中學七年級階段練習）根據絕對值定義，若有|x|＝4，則x＝4或﹣4，若|y|＝a，則y＝±a，我們可以根據這樣的結論，解一些簡單的絕對值方程，例如：|2x+4|＝5解：方程|2x+4|＝5可化為：2x+4＝5或2x+4＝﹣5當2x+4＝5時，則有：2x＝1，所以x＝當2x+4＝﹣5時，則有：2x＝﹣9；所以x＝﹣故，方程|2x+4|＝5的解為x＝或x＝﹣(1)解方程：|3x﹣2|＝4；(2)已知|a+b+4|＝16，求|a+b|的值；(3)在（2）的條件下，若a，b都是整數，則a?b的最大值是（直接寫出結果）．【答案】(1)x=2或x=(2)12或20(3)100【解析】【分析】（1）根據題干步驟解方程|3x﹣2|＝4即可；（2）將a+b看作一個整體，根據題干步驟解方程|a+b+4|＝16即可求解；（3）再（2）的條件下，根據有理數的乘法法則即可求解；(1)解：方程|3x﹣2|=4可化為：3x﹣2=4或3x﹣2=-4當3x﹣2＝4時，則有：3x=6，所以x=2當3x﹣2=-4時，則有：3x＝﹣2；所以x=故，方程|3x﹣2|=4的解為x=2或x=(2)方程|a+b+4|＝16可化為：a+b+4＝16或a+b+4=-16當a+b+4＝16時，則有：a+b＝12，所以|a+b|＝12當a+b+4=-16時，則有：a+b=-20；所以|a+b|＝20故，方程|a+b|的值為12或20(3)在（2）的條件下，若a，b都是整數，a+b＝12或a+b=-20；根據有理數乘法法則可知：當a=-10，b=-10時，取最大值，最大值為100；故答案為：100．【點睛】本題主要考查含絕對值符號的一元一次方程、等式的性質，解決本題的關鍵是理解絕對值的含義．變式．（2021·福建·晉江市季延中學七年級期中）數軸上表示數的點與原點的距離叫做數的絕對值，記作．數軸上表示數的點與表示數的點距離記作，如表示數軸上表示數3的點與表示數5的點的距離，表示數軸上表示數3的點與表示數的點的距離，表示數軸上表示數的點與表示數3的點的距離．根據以上材料回答一列問題：(1)若，則______．若，則_____．(2)若，則能取到的最小值是______，最大值是______．(3)當，求的最大值和最小值．【答案】(1)0；或0；(2)；；(3)最大值是15；最小值是；【解析】【分析】（1）根據絕對值表示的意義和中點計算方法得出答案；（2）根據數軸的定義和絕對值的意義進行計算，即可得到答案；（3）由絕對值意義和數軸的定義，先求出，，，然后分解求出最大值和最小值即可(1)解：∵表示數軸上表示x的點到表示1和1的距離相等，∴到1和1距離相等的點表示的數為：；∵，表示數軸上表示x的點到表示和1的距離的和等于5，∴或；故答案為：0；或0；(2)解：∵，表示數軸上表示x的點到表示和1的距離的和等于4，又∵，∴能取到的數在和1之間，即，∴能取到的最小值是，最大值是；故答案為：；；(3)解：根據題意，∵，，，∴，∵，∴，，，∴，，，∴當，，時，有最大值，∴最大值為：；∴當，，時，有最小值，∴最小值為：；【點睛】本題考查了絕對值意義、最值、數軸、兩點間的距離及相反數的知識，綜合的知識點較多，難度一般，注意理解絕對值的幾何意義是關鍵．2.數軸上的動點問題例．（2022·江蘇·七年級專題練習）已知數軸上兩點A，B對應的數分別為﹣8和4，點P為數軸上一動點，若規定：點P到A的距離是點P到B的距離的3倍時，我們就稱點P是關于A→B的“好點”．（1）若點P到點A的距離等于點P到點B的距離時，求點P表示的數是多少；（2）①若點P運動到原點O時，此時點P關于A→B的“好點”（填是或者不是）；②若點P以每秒1個單位的速度從原點O開始向右運動，當點P是關于A→B的“好點”時，求點P的運動時間；（3）若點P在原點的左邊（即點P對應的數為負數），且點P，A，B中，其中有一個點是關于其它任意兩個點的“好點”，請直接寫出所有符合條件的點P表示的數．【答案】（1）-2；（2）①不是；②1秒或10秒；（3）﹣4，﹣5，﹣12，﹣14，﹣32，﹣44【解析】【分析】（1）根據點P到點A的距離等于點P到點B的距離即可得到結論；（2）①先根據數軸上兩點的距離表示出PA和PB的長，再根據好點的定義即可求解；②根據題意可得PA＝t+8，PB＝|4﹣t|，再根據好點的定義即可求解；（3）分五種情況進行討論：當點A是關于P→B的“好點”時；當點A是關于B→P的“好點”時；當點P是關于A→B的“好點”時；當點P是關于B→A的“好點”時；當點B是關于P→A的“好點”時，分別代入計算即可．【詳解】解：（1）∵數軸上兩點A，B對應的數分別為﹣8和4，∴AB＝4﹣（﹣8）＝12，∵點P到點A、點B的距離相等，∴P為AB的中點，∴BP＝PA＝AB＝6，∴點P表示的數是﹣2；（2）①當點P運動到原點O時，PA＝8，PB＝4，∵PA≠3PB，∴點P不是關于A→B的“好點”；故答案為：不是；②根據題意可知：設點P運動的時間為t秒，PA＝t+8，PB＝|4﹣t|，∴t+8＝3|4﹣t|，解得t＝1或t＝10，所以點P的運動時間為1秒或10秒；（3）根據題意可知：設點P表示的數為n，PA＝n+8或﹣n﹣8，PB＝4﹣n，AB＝12，分五種情況進行討論：①當點A是關于P→B的“好點”時，|PA|＝3|AB|，即﹣n﹣8＝36，解得n＝﹣44；②當點A是關于B→P的“好點”時，|AB|＝3|AP|，即3（﹣n﹣8）＝12，解得n＝﹣12；或3（n+8）＝12，解得n＝﹣4；③當點P是關于A→B的“好點”時，|PA|＝3|PB|，即﹣n﹣8＝3（4﹣n）或n+8＝3（4﹣n），解得n＝10或1（不符合題意，舍去）；④當點P是關于B→A的“好點”時，|PB|＝3|AP|，即4﹣n＝3（n+8），解得n＝﹣5；或4﹣n＝3（﹣n﹣8），解得n＝﹣14；⑤當點B是關于P→A的“好點”時，|PB|＝3|AB|，即4﹣n＝36，解得n＝﹣32．綜上所述：所有符合條件的點P表示的數是：﹣4，﹣5，﹣12，﹣14，﹣32，﹣44．【點睛】本題考查了數軸，好點的定義，一元一次方程的應用，掌握數軸上兩點間距離公式，若點A表示的數a，點B表示的數b，則AB=|a?b|是解決本題的關鍵．3.工程問題例．（2022·河南信陽·七年級期末）為推進我國“碳達峰、碳中和”雙碳目標的實現，各地大力推廣分布式光伏發電項目．某公司計劃建設一座光伏發電站，若由甲工程隊單獨施工需要3周，每周耗資8萬元，若由乙工程隊單獨施工需要6周，每周耗資3萬元．(1)若甲、乙兩工程隊合作施工，需要幾周完成?共需耗資多少萬元?(2)若需要最遲4周完成工程，請你設計一種方案，既保證按時完成任務，又最大限度節省資金．（時間按整周計算）【答案】(1)甲、乙兩工程隊合作施工，需要2周完成，共耗資22萬元(2)選擇先由甲和乙兩工程隊合作施工1周，剩下的由乙單獨施工3周最節省資金【解析】【分析】（1）設甲、乙兩工程隊合作施工，需要x周完成，根據“甲工程隊單獨施工需要3周”、“由乙工程隊單獨施工需要6周”可列方程求解；（2）設先由甲和乙兩工程隊合作施工y周，剩下的由乙單獨完成，根據“甲的工作量+乙的工作量=1”列出方程并解答；然后根據甲、乙兩隊的每周耗資作出方案的選擇．（1）解：設甲、乙兩工程隊合作施工，需要x周完成．根據題意，得(+)x=1．解得x=2．所以（8+3）×2=22（萬元）．答：甲、乙兩工程隊合作施工，需要2周完成，共耗資22萬元；（2）解：設先由甲和乙兩工程隊合作施工y周，剩下的由乙單獨完成．根據題意，得，解得y=1，所以4-1=3，所以（8+3）×1+3×3=20（萬元）．所以選擇先由甲和乙兩工程隊合作施工1周，剩下的由乙單獨施工3周最節省資金．【點睛】本題考查一元一次方程的應用，關鍵是根據工作量=工作時間×工作效率列方程求解．變式1．（2022·浙江臺州·一模）新農村建設中，某鎮成立了新型農業合作社，擴大了油菜種植面積，今年2000畝油菜喜獲豐收．該合作社計劃租賃5臺油菜收割機機械化收割，一臺收割機每天大約能收割40畝油菜．(1)求該合作社按計劃幾天可收割完這些油菜；(2)該合作社在完成了一半收割任務時，從氣象部門得知三天后有降雨，于是該合作社決定再租賃3臺油菜收割機加入搶收，并把每天的工作時間延長10%，請判斷該合作社能否完成搶收任務，并說明理由．【答案】(1)該合作社按計劃10天可收割完這些油菜(2)該合作社能完成搶收任務，理由見解析【解析】【分析】（1）設該合作社按計劃天可收割完這些油菜，再根據“工作效率工作時間=工作總量”列一元一次方程并解答即可；（2）先求出增加3臺油菜收割機后一天的收割量，再求出三天的收割量，然后和1000畝進行比較即可．(1)解：設該合作社按計劃天可收割完這些油菜解得：答：該合作社按計劃10天可收割完這些油菜；(2)解：原來一天的收割量：（畝），現在一天的收割量：（畝），現在三天可完成的收割量：（畝）畝．答：該合作社能完成搶收任務．【點睛】本題考查了一元一次方程應用中的工程問題，找到等量關系是解答本題的關鍵．變式2．（2022·廣西河池·七年級期末）為優化育人環境，某校需要進行綠化改造，現有甲、乙兩個綠化工程隊可供選擇，已知甲隊每天能完成的綠化改造面積比乙隊多100平方米，甲隊與乙隊合作一天能完成400平方米的綠化改造面積．(1)甲、乙兩工程隊每天各能完成多少平方米的綠化改造面積？(2)該校需要進行綠化改造的區域共有6000平方米，甲隊每天的施工費用為500元，乙隊每天的施工費用為290元，比較以下三種方案：①甲隊單獨完成；②乙隊單獨完成；③甲、乙兩隊全程合作完成．哪一種方案的施工費用最少？【答案】(1)甲工程隊每天能完成250平方米，乙工程隊每天能完成150平方米(2)選擇方案②的施工費用最少．【解析】【分析】（1）設乙工程隊每天能完成平方米的綠化改造面積，則甲工程隊每天能完成平方米的綠化改造面積，然后根據與乙隊合作一天能完成400平方米的綠化改造面積列出方程求解即可；（2）分別計算出三種方案的費用進行比較即可．(1)解：設乙工程隊每天能完成平方米的綠化改造面積，則甲工程隊每天能完成平方米的綠化改造面積，依題意得：，解得：，∴．答：甲工程隊每天能完成250平方米的綠化改造面積，乙工程隊每天能完成150平方米的綠化改造面積．(2)解：選擇方案①所需施工費用為（元）；選擇方案②所需施工費用為（元）；選擇方案③所需施工費用為（元）．∵∴選擇方案②的施工費用最少．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的實際應用，有理數混合計算的實際應用，正確理解題意是解題的關鍵．4.銷售問題例．（2023·江蘇·七年級專題練習）某校七年級社會實踐小組去商場調查商品銷售情況，了解到該商場以每件80元的價格購進了某品牌襯衫500件，并以每件120元的價格銷售了400件，商場準備采取促銷措施，將剩下的襯衫降價銷售．請你幫商場計算一下：(1)降價前每件襯衫的利潤率為多少？(2)每件襯衫降價多少元時，銷售完這批襯衫正好達到盈利45%的預期目標？【答案】(1)50%(2)每件襯衫降價20元時，銷售完這批襯衫正好達到盈利45%的預期目標【解析】【分析】（1）根據利潤公式計算即可求解（2）每件襯衫降價x元時，銷售完這批襯衫正好達到盈利的%的預期目標，根據銷售收入–進貨成本=利潤，即可的出關于x的一元一次方程，解之即可．（1）（120﹣80）÷80×100%＝40÷80×100%＝50%．故降價前每件襯衫的利潤率為50%；（2）設每件襯衫降價x元時，銷售完這批襯衫正好達到盈利45%的預期目標，根據題意得：120×400+（120﹣x）×（500﹣400）﹣80×500＝80×500×45%，解得：x＝20．解得：x＝20．∴每件襯衫降價20元時，銷售完這批襯衫正好達到盈利45%的預期目標．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程時解題關鍵．變式1．（2022·河南三門峽·七年級期末）某商場出售甲、乙兩種商品，甲種商品每件進價80元，利潤是75%，乙種商品每件進價100元，利潤是50%．(1)求甲、乙兩種商品的售價分別是多少？(2)“雙11”期間，該商場對甲、乙兩種商品進行如下優惠活動：打折前一次性購物總金額優惠措施不超過800元不優惠超過800元但不超過1300元全部打九折超過1300元全部打八折按上述優惠條件，若小王第一天只購買甲種商品一次性付款560元，第二天只購買乙種商品打折后一次性付款1080元，求這兩天他在該商場購買甲、乙兩種商品一共多少件？【答案】(1)甲種商品的售價是140元，乙種商品的售價是150元(2)12件或13件【解析】【分析】（1）根據公式售價=進價×（1+利潤率），即可得出答案；（2）首先判斷一次性付款額是否是經過打折，判斷方法是與打折后的金額進行比較，然后設未知數，計算出結果即可．（1）（元），（元）答：甲種商品的售價是140元，乙種商品的售價是150元．（2）∵（元），，∴第一天沒有打折，（件），∵（元），（元），∴第二天的1080元可能是打了八折，也可能是打了九折，設第二天買了乙商品x件，則或，解得或8，∴（件）或（件），答：購買甲、乙兩種商品一共12件或13件．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用之打折銷售問題，明白利潤，進價，售價，利潤率之間的關系是本題的關鍵．變式2．（2021·貴州黔東南·七年級期末）某商場經銷的甲、乙兩種商品，甲種商品每件售價60元，盈利50%；乙種商品每件進價50元，售價80元．(1)甲種商品每件的進價為____元，每件乙種商品盈利_____%．(2)該商場同時購進甲、乙兩種商品共50件，若全部銷售完獲得總利潤為1200元，求購進甲種商品多少件？(3)在“元旦”期間，該商場對甲乙兩種商品進行如下圖優惠促銷活動：按原價一次性購物總金額優惠措施少于等于450元不優惠超過450元，但不超過600元按原價的九折超過600元其中600元部分仍按九折優惠，超過600元的部分打八折優惠按上述優惠條件，若小華第一次購買甲商品花了352元，第二次購買乙商品花了682元，請你幫忙計算如果甲、乙兩種商品合超來一次性購買，是否更節省？若更節省請算一算節省多少錢？若不節省，請說明理由．【答案】(1)40，60(2)30件(3)一次性購買更節省，節省了70.4元【解析】【分析】（1）設甲的進價為a元/件，根據甲的利潤率為50%，求出a的值即可，乙的利潤率根據乙的利潤和成本即可求解；（2）設購進甲種商品x件，則購進乙種商品（500-x）件，再由總進價是1200元，列出方程求解即可；（3）根據題意可知：小華第一次購買甲種商品不享受優惠，第二次購買乙商品超過600元，然后根據題意列方程求解即可．（1）解：設每件甲的進價為a元，可得60－a＝50%a解得a＝40每件乙的利潤率為：（80－50）50＝故答案為：40；60（2）設購進甲種商品件，乙商品（）件，由題意得解得答：購進甲種商品30件．（3）由題意知：小華第一次購買甲種商品不享受優惠，第二次購買乙商品超過600元．設乙商品的原價為元，由題意得解得聯合購買應花費：（元）（元）答：一次性購買更節省，節省了70.4元．【點睛】本題考查一元一次方程的應用，設出恰當的未知數，準確抓住數量關系列出關系式是解題的關鍵．設未知數時注意一道大題若多次設元，不同的對象用不同的字母表示．◎考點題型5電費水費問題例．（2022·遼寧大連·七年級期末）對節約用水，合理運用水資源，某市規定了如下用水收費標準：每戶每月的用水量不超過18立方米時，按每立方米m元收費；若超過18立方米時，不超過的部分仍按每立方米m元收費，超過的部分每立方米按n元收費．該市一用戶去年10、11月份的用水量和繳水費如下表所示：月份用水量（立方米）繳水費（元）102442111624(1)求出m，n的值；(2)該用戶去年12月份用水量21立方米，需要繳水費多少元？(3)若該用戶今年1月份用水量為x立方米，試用x來表示需要繳水費．【答案】(1)m=1.5；n=2.5(2)該用戶12月份應繳水費34.5元；(3)當時，應繳水費是1.5x（元）；當時，應繳水費是（元）．【解析】【分析】（1）先根據11月份的用水情況列方程求出m，再根據10月份的用水情況列方程求出n即可；（2）根據用水收費標準列式計算即可；（3）分時和時兩種情況，分別根據用水收費標準列式即可；（1）解：該用戶11月份用水16立方米小于18立方米，所以（元/立方米），10月份用水24立方米超過18立方米，所以有：，解得：（元/立方米）；（2），答：該用戶12月份應繳水費34.5元；（3）由題意得：當時，應繳水費是1.5x（元），當時，應繳水費是（元）．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，有理數混合運算的應用以及列代數式，正確理解用水收費標準是解題的關鍵．變式1．（2022·福建福州·七年級期末）為鼓勵居民節約用電，國家發改委發布文件在全國實行“階梯電價”收費，福清市政府為響應節能與循環經濟的號召，決定對居民用電電費調整如下：每戶每月用電量電費價格（單位：元/度）不超過200度（含）0.5超過200度且不超過500度的部分a超過500度的部分0.8(1)小杰家今年2月份用電量是300度，繳費160元，請求出a的值；(2)小杰家今年8月份用電量增大，8月份的平均電價為0.7元/度，請求出他家8月份的月電量是多少度?【答案】(1)a的值為0.6元(2)他家8月份的用電量是1200度【解析】【分析】（1）根據表格中的信息列出關于a的方程，進行計算即可；（2）先根據平均電費超過0.6元/度，得出用電量應該超出500度，設他家8月份的用電量是x度，根據等量關系列出方程，解方程即可．(1)解：，解得：，答：a的值為0.6元．(2)解：∵平均電費超過0.6元，∴用電量應該超出500度，設他家8月份的用電量是x度，由題意得：，解得：，答：他家8月份的用電量是1200度．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，根據題意找出等量關系，列出方程，是解題的關鍵．變式2．（2022·遼寧鐵嶺·七年級期末）甲、乙兩家超市以相同的價格出售相同的商品，為了吸引顧客，各自推出不同的優惠方案：在甲超市累計購買商品超出200元之后，超出部分按8折優惠；在乙超市累計購買商品超出100元之后，超出部分按9折優惠．設顧客預計購買x元（）的商品．(1)請用含x的代數式分別表示顧客在甲、乙兩家超市購物應付的費用；(2)小明準備購買500元的商品，你認為他應該去哪家超市？請說明理由；(3)小明購買多少元的商品時，到兩家超市購物所付的費用一樣？【答案】(1)甲超市元，乙超市元(2)甲超市，理由見解析(3)元【解析】【分析】（1）分別按照甲乙超市的優惠方法：甲：200+超過200元的部分×0.8，乙：100+超過100元的部分×0.9；列代數式即可；（2）把代入（1）中的代數式進行計算，再比較即可；（3）利用兩家超市的費用相等構建方程，再解方程即可．(1)解：顧客在甲超市購物應付的費用為元；在乙超市購物應付的費用為元；(2)他應該去甲超市．理由如下：當時，甲：，乙：．∵，∴他應該去甲超市；(3)根據題意，得，解這個方程，得答：小明購買元的商品時，到兩家超市購物所付的費用一樣．【點睛】本題考查的是分段計費的問題，列代數式，求解代數式的值，一元一次方程的應用，理解題意，正確的列出代數式是解本題的關鍵．◎考點題型6行程問題例．（2022·山東棗莊·七年級期末）數軸是我們進入七年級后研究的一個很重要的數學工具，它讓數變得形象，也讓數軸上的點變得具體，借助數軸可以輕松的解決一些實際問題：已知數軸上的A、B兩點分別對應的數字為a、b，且a，b滿足|3b＋12|＋（a﹣3）2＝0．(1)a＝，b＝；(2)P從B出發，以每秒2個長度的速度沿數軸負方向運動4秒，此時P點與A點之間的距離為；(3)應用：小華家，小明家，學校在一條東西的大街上，小華家在學校的東面距學校500米，小明家在學校的西面距學校300米．①畫出如圖的數軸（學校為原點，小華家為A點，小明家為B點），數軸的單位長度為實際的米．②周末小明自西向東，小華自東向西出去玩，他們每分鐘都走50米，求幾分鐘后兩人相距100米？并直接寫出此時小明在數軸上的位置對應的數．【答案】(1)3，﹣4(2)15(3)①100；②7或9分鐘，0.5或1.5【解析】【分析】(1)根據非負數的性質即可求解；(2)根據B點對應的數字及P點運動時間可得P點表示的數，根據A點對應的數字即可得P點與A點之間的距離；(3)①利用數軸結合實際意義可得答案；②設x分鐘后兩人相遇100米，根據題意分兩種情況，利用等量關系列出方程，再解方程即可求得．(1)解：∵|3b+12|+(a?3)2=0，∴3b+12=0，a?3=0，解得a=3，b=?4；故答案為：3，-4；(2)解：根據題意，得P點表示的數為：?4-2×4=-12，P點與A點之間的距離為：3-(-12)=15，故答案為：15；(3)解：①由題意可知：數軸的單位長度為實際的100米，故答案為：100；②設x分鐘后兩人相遇100米，由題意得：相遇前：50x+50x=300+500?100，解得：x=7，相遇后：50x+50x=300+500+100，解得：x=9，∴7或9分鐘后兩人相距100米；此時小明在數軸上的位置對應的數為：?3+0.5×7=0.5或?3+0.5×9=1.5．【點睛】此題主要考查了一元一次方程的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，設出未知數，列出方程．變式1．（2021·河南·南陽市第三中學七年級階段練習）如圖，點C在線段AB上．點P從點C出發向點B運動，速度為2cm/s；同時，點Q也從點C出發，速度為4cm/s，用1s到達A處，并在A處停留2s，然后按原速度向點B運動．最終，點Q比點P早1s到達B處．設點P運動的時間為ts．(1)線段AC的長為cm；(2)求線段BC的長；(3)從P，Q兩點同時出發至點P到達點B處的這段時間內，t為何值時，P，Q兩點相距1cm？【答案】(1)4(2)BC=20；(3)t為s或s或s或s時，P，Q兩點相距1cm．【解析】【分析】（1）根據路程=速度×時間即可求解；（2）通過點P的運動時間表示出點Q的運動時間，在根據點P和點Q從C-B的距離相等列出方程求出t，即可求出BC的距離；（3）已知點P，Q的速度，根據數軸的特點，分為四種情況下討論PQ的位置特點，在結合兩點之間的距離為1，根據時間×速度=路程，即可求出t的值．(1)解：AC=4×1=4cm；故答案為：4；(2)解：∵點P運動的時間為ts，∴點Q運動的時間是（t-1），點P從C-B所走的路程為：2t，∵點Q先到了A點用時