分類計數原理與分布計數原理一、分類計數原理問題1.從甲地到乙地，能夠乘飛機、乘火車，也能夠乘汽車，還能夠乘輪船。一天中，飛機有1班，火車有4班,汽車有2班，輪船有3班。那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法?分析:從甲地到乙地有4類措施,第一類措施,乘火車，有4種措施;第二類措施,乘汽車，有2種措施;第三類措施,乘輪船,有3種措施;第三類措施，乘飛機，有1種措施所以從甲地到乙地共有4+2+3+1=10種措施。··甲乙飛機火車汽車輪船一、分類計數原理完畢一件事，有n類措施.在第1類措施中有m1種不同的措施，在第2類措施中有m2種不同的措施，……，在第n類措施中有mn種不同的措施，則完畢這件事共有

2）首先要根據詳細的問題擬定一種分類原則，在分類原則下進行分類，然后對每類措施計數.1）各類措施之間相互獨立,都能獨立的完畢這件事，要計算措施種數,只需將各類措施數相加,所以分類計數原理又稱加法原理闡明N=m1+m2+…+mn種不同的措施例1在填寫高考志愿表時，一名高中畢業生了解到A、B兩所大學各有一些自己感興趣的強項專業，具體情況如下：A大學B大學生物學化學醫學物理學工程學數學會計學信息技術學法學如果這名同學只能選一個專業，那么他共有多少種選擇呢？解：這名同學在A大學中有5種專業選擇，在B大學中有4種專業選擇。根據分類計數原理：這名同學可能的專業選擇共有5+4＝9種。分析:從A村經B村去C村有2步,第一步,由A村去B村有3種措施,第二步,由B村去C村有2種措施,所以從A村經B村去C村共有3×2=6種不同的措施。二、分步計數原理

問題2.如圖,由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條。從A村經B村去C村，共有多少種不同的走法?A村B村C村北南中北南二、分步計數原理完畢一件事，需要提成n個環節。做第1步有m1種不同的措施，做第2步有m2種不同的措施，……，做第n步有mn種不同的措施，則完畢這件事共有

2）首先要根據詳細問題的特點擬定一種分步的原則，然后對每步措施計數.1）各個環節相互依存,只有各個環節都完畢了,這件事才算完畢,將各個環節的措施數相乘得到完畢這件事的措施總數,又稱乘法原理闡明N=m1×m2×…×mn種不同的措施

例2.

書架的第一層放有4本不同的計算機書,第二層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育書.(1)從書架上任取1本書,有多少種不同的取法?(2)從書架的第1,2,3層各取一本書,有多少種不同的取法?例題講解例3.一種號碼鎖有4個撥號盤,每個盤上有0到9共10個數字,這4個撥號盤能夠構成多少個4位數字號碼?

例4.要從甲乙丙3名工人種選出2名分別上日班和晚班,有多少種不同的選法?例5：如圖，從甲地到乙地有2條路，從乙地到丁地有3條路；從甲地到丙地有4條路能夠走，從丙地到丁地有2條路。從甲地到丁地共有多少種不同地走法？甲地丙地丁地乙地N1=2×3=6N2=4×2=8N=N1+N2=14課堂練習1.如圖,用5種不同顏色給圖中的A、B、C、D四個區域涂色,要求一種區域只涂一種顏色,相鄰區域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有種。ABCD分析：如圖，A、B、C三個區域兩兩相鄰，A與D不相鄰，所以A、B、C三個區域的顏色兩兩不同，A、D兩個區域能夠同色，也能夠不同色，但D與B、C不同色。由此可見我們需根據A與D同色與不同色提成兩大類。解：先提成兩類：第一類，D與A不同色，可提成四步完畢。第一步涂A有5種措施，第二步涂B有4種措施；第三步涂C有3種措施；第四步涂D有2種措施。根據分步計數原理，共有5×4×3×2＝120種措施。根據分類計數原理，共有120+60＝180種措施。第二類，A、D同色，分三步完畢，第一步涂A和D有5種措施，第二步涂B有4種措施；第三步涂C有3種措施。根據分步計數原理，共有5×4×3＝60種措施。2.如圖,一螞蟻沿著長方體的棱,從的一種頂點爬到相正確另一種頂點的近來路線共有多少條？A1B1C1D1ACDB3．現由某校高一年級四個班學生34人，其中一、二、三、四班分別為7人、8人、9人、10人，他們自愿構成數學課外小組．（1）選其中一人為責任人，有多少種不同的選法？（2）每班選一名組長，有多少種不同的選法？（3）推選二人做中心講話，這二人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？課堂小結分類計數原理與分步計數原理的異同:分類計數原理

分步計數原理完畢一件事，共有n類措施，關鍵詞“分類”區別1完畢一件事，共分n個環節，關鍵詞“分步”區別2區別3每類措施都能獨立地完畢這件事情，它是獨立的、一次的、且每次得到的是最終成果，只須一種措施就可完畢這件事。每一步得到的只是中間成果，任何一步都不能獨立完畢這件事，缺乏任何一步也不能完畢這件事，只有各個環節都完畢了，才干完畢這件事。各類措施是相互獨立的。各步之間是互有關聯的。即：類類獨立，步步關聯。1、把四封不同的信任意投入三個信箱中,不同投法種數是()A.12B.64C.81D.72、火車上有10名乘客，沿途有5個車站，乘客下車的可能方式有（）種A.510B.105C.50D.以上都不對CA3．如圖：甲---乙，在小朋友公園中有四個圓圈構成的連環道路，從甲走到乙，不同的路線的走法有（）。（A）2種（B）8種（C）12種（D）16種D練習6．某鎮有三家旅店，既有5名旅客住店，則不同的投宿措施有種。7．三位正整數全部印出，“0”這個鉛字需要用個8．直線l上有7個點，直線m上有8個點，則經過這些點中的兩點最多有條直線。9．事件A發生造成事件B發生，若A發生的方式有m種，B發生的方式有n種，則A、B相繼發生的方式有種。243

18058mn4．5個高中應屆畢業生報考3所要點院校，每人報且僅報一所院校，則不同的報名措施共有（）種。（A）35（B）53（C）15（D）6A分類加法計數原理與分步乘法計數原理（二）一、分類計數原理完畢一件事，有n類措施.在第1類措施中有m1種不同的措施，在第2類措施中有m2種不同的措施，……，在第n類措施中有mn種不同的措施，則完畢這件事共有

N=m1+m2+…+mn種不同的措施二、分步計數原理完畢一件事，需要提成n個環節。做第1步有m1種不同的措施，做第2步有m2種不同的措施，……，做第n步有mn種不同的措施，則完畢這件事共有

N=m1×m2×…×mn種不同的措施1.五名學生報名參加四項體育比賽，(1)每人限報一項，報名措施的種數為多少？(2)他們爭奪這四項比賽的冠軍，取得冠軍的可能性有多少種？解：（1）5名學生中任一名均可報其中的任一項，因此每個學生都有4種報名方法，5名學生都報了項目才能算完成這一事件故報名方法種數為4×4×4×4×4=種.（2）每個項目只有一個冠軍，每一名學生都可能獲得其中的一項獲軍，因此每個項目獲冠軍的可能性有5種故有n=5×５×５×５=種.練習2、乘積展開后共有幾項？3、某商場有6個門，假如某人從其中的任意一種門進入商場，而且要求從其他的門出去，共有多少種不同的進出商場的方式？3×3×5=456×5=304.一種口袋內裝有5個小球，另一種口袋裝有4個小球，全部這些小球的顏色互不相同．(1)從兩個口袋內任取一種小球，有多少種不同的取法？(2)從兩個口袋內各取一種小球，有多少種不同的取法？解：(1)從兩個口袋內任取1個小球，有兩類措施：第一類措施是從第一種口袋內任取1個小球，能夠從5個小球中任取1個，有5種措施；第二類措施是從第二個口袋內取小球，能夠從4個小球中任取1個，有4種措施，根據分類計數原理，得到不同的取法的種數是N＝m1＋m2＝5＋4＝9．答：從兩個口袋內任取1個小球，有9種不同的取法．(2)從兩個口袋內各取1個小球，能夠提成兩個環節來完畢：第一步從第一種口袋內取1個小球，有5種措施；第二步從第二個口袋內取1個小球，有4種措施，根據分步計數原理，得到不同的取法的種數是N＝m1×m2＝5×4＝20答：從兩個口袋內各取1個小球，有20種不同的取法．5．某賽季足球比賽的計分規則是，勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，一球隊打完15場，積33分，若不考慮順序，則該隊勝、平、負的情況可能有

種。310.如圖共有大小矩形多少個？6.從1,2,3,4中選三個數字,構成無反復數字的整數,則滿足下列條件的數有多少個？(1)三位數；(2)三位數的偶數．【解】(1)三位數有三個數位,故可分三個環節完畢：第1步