第3部分反應堆臨界理論核電廠管理類員工核電基礎理論培訓——《核反應堆物理》主要內容3.1均勻裸堆的單群理論3.2有反射層的均勻堆3.3非均勻反應堆3.1均勻裸堆的單群理論均勻：由于嚴格按實際的非均勻堆進行中子擴散或輸運方程求解，非常復雜。實際計算都作“均勻化”處理，即認為：堆內的燃料、慢化劑、冷卻劑及結構材料等是均勻混合的。裸堆：沒有反射層的反應堆；中子源：有增殖介質；單群理論：把熱中子反應堆內的所有中子都看成是熱中子，忽略中子能量的影響。雙群理論：比單群更精確的模型，把熱中子劃為一群，快中子為一群?；靖拍顔稳簲U散方程在由燃料-慢化劑構成的有限大小的均勻裸堆系統的芯部，單位時間、單位體積內產生的中子數為：得到：

根據無限介質增殖系數的定義：考慮啟動過程的獨立的外中子源并利用斐克定律，得單群擴散方程：根據前面章節所得單群中子擴散方程：無限平板堆的單群擴散方程解用D除上式各項，并注意到L2=D/∑a，得到：這是一個二階偏微分方程，通常用分離變量法求解：左端是x的函數，右端是t的函數，兩端必須均等于某一常數，令為-B2,得方程組：擴散方程：無限平板堆的單群擴散方程解所得方程可改寫為：容易得出其通解為：由于初始通量密度關于x=0平面對稱，所以：由邊界條件:要求:A不能為零,所以：或Bn2稱為特征值，對應一系列滿足方程的特征函數。n=1的稱為基波本征函數，n>1的統稱為諧波本征函數。所以：典型的波動方程！無限平板堆的單群擴散方程解討論時間相關項方程的解：對應一確定Bn，有一確定的Tn(t)，用L2/(1+Bn2L2)乘以上式，有：其中：方程的解：對應每個n：是滿足方程的解，其線性組合也是原問題的解：無限平板堆的單群擴散方程解其中Cn和An為待定系數，利用余旋函數系的正交關系可求得：代入上式，得：隨時間變化項知:n=1時，B1最小，k1最大。由：無限平板堆的單群擴散方程解（1）當k1<1,所有kn-1都小于1，通量密度按指數規律衰減，無法維持一個恒定中子通量密度分布.（3）k1等于1，這時只有對應n=1的一項不隨時間變化，其余隨時間衰減.（2）當k1>1,這時所有kn-1中至少有一項大于1，通量密度按指數規律增加，反應堆也無法維持一個恒定中子通量密度分布.上面三種情況分別對應次臨界、超臨界和臨界，如圖所示。無限平板臨界理論對于臨界的反應堆，隨著時間變大，除去第一個模態(n=1)外的所有模態(n>1)都衰減了。漸進的（或持久的）中子通量密度取決于n=1的模態。于是有：臨界系統中的中子通量密度分布為：幾何曲率：系數A由功率條件決定。無限長平板堆單位面積所對應的體積所發出的功率為：重要結果兩個重要結果：裸堆單群近似的臨界方程：當反應堆處于臨界狀態時，中子通量密度按最小特征值所對應的基波特征函數分布，即穩態反應堆的中子通量密度空間分布滿足波動方程：重要結果分析由臨界方程：滿足臨界方程。顯然，給定系統的材料組成，即給定：另一方面，若尺寸給定，必須調整堆芯燃料成分，使可以得到臨界尺寸，對無限平板堆，臨界方程為：則只有唯一的尺寸a0滿足臨界方程。重要結果分析來討論臨界方程中各項的物理意義：是熱中子在擴散過程中的不泄漏幾率。不泄漏幾率PL定義為：中子泄漏率=根據于是：和前一章的臨界條件完全一樣，即k1就是前面定義的的反應堆有效增殖系數k。

可發現：可以看出：從不泄漏幾率：反應堆的中子泄漏與幾何曲率有關。從平板狀反應堆的例子中可以看到，當反應堆體積增大時，就減小，因而正如所預期的那樣，不泄漏幾率也就增大。同樣，擴散長度L愈大，意味著中子自產生到被吸收所穿行的距離也愈大，因而從反應堆中泄漏出去的幾率也就增大，不泄漏幾率PL就要變小。重要結果分析以及設有如圖所示一維石墨慢化反應堆，k∞=1.06，L2=300cm2，試求：（1）臨界時反應堆的厚度H和中子通量密度的分布(設外推距離為2cm)；（2）設取H=250cm，試求反應堆的有效增殖系數k。解：（1）根據臨界條件:可得臨界反應堆的幾何曲率為：所以:Bg=0.01414cm-1,根據Bg=π/a,有:由外推距離d=2cm,可求得臨界時反應堆的厚度為:例題:H=a-2d=222.2-4=218.2cm根據無限平板型均勻裸堆單群擴散方程的解:得臨界時中子通量密度分布為:（2）若H=250cm，則反應堆的幾何曲率：反應堆的不泄漏幾率PL和有效增殖系數k分別等于：例題:第一類問題：給定反應堆材料成分(k∞、L2

給定)，確定臨界尺寸。與臨界方程等價的臨界條件根據臨界方程:等式左端的幾何曲率:只與反應堆的形狀和大小有關.等式右端k∞和L只與反應堆芯部材料特性有關.把右邊記作:稱為反應堆的材料曲率.反應堆臨界條件可表述為：材料曲率等于幾何曲率，即:例題總結:上述例子演示了臨界問題中要解決的兩類問題。第二類問題：給定反應堆形狀尺寸，確定材料成分。由于型狀尺寸給定，為已知條件，例題總結:實際計算中，在反應堆材料成分和幾何尺寸均給定情況下，求有效增殖系數k和反應性ρρ=0，反應堆處于臨界ρ>0，反應堆處于超臨界ρ<0，反應堆處于次臨界這樣，材料成分（一般是燃料的濃縮度）便可確定。

若反應堆的有效增殖系數k=0.90，計算反應堆的反應性。解：核電廠常用反應性單位：PCM1PCM=10-5（△k/k）即:1＄=100￠（1元等于100分）1＄=700PCM討論反應堆動態問題時,反應性常用“元”為單位：＄1元反應性為1個βeff(有效緩發中子產額,若為0.007△k/k)例題總結:有限高圓柱形均勻裸堆設一有限高圓柱形均勻裸堆,高為H,半徑為R,采用圓柱形坐標,坐標原點位于軸線的半高度上.拉普拉氏算符的表達式為:中子通量密度分布是對稱的,與θ無關,有限高圓柱均勻裸堆的波動方程可以寫為:邊界條件：(1)不計外推長度時,反應堆外邊界上中子通量密度為零;(2)中子通量密度分布對稱.代入方程有限高圓柱形均勻裸堆采用分離變量法，令：上式等號左邊只與r有關，等號右邊只與z有關。因為r和z是兩個彼此無關的獨立變量，要使改式保持相等關系，只有兩邊都是常數才行。該常數記為a2，則得到:得到：來看方程：有限高圓柱形均勻裸堆由邊界條件:方程的解為：其中，C1，C2是兩個待定常數。J0(x)，Y0(x)分別是零階第一類及第二類貝塞爾函數，它們隨x的變化見圖所示。有限高圓柱形均勻裸堆再來看方程：令：化為零階貝塞爾方程：該方程的通解為：零階貝塞爾函數圖有限高圓柱形均勻裸堆當x＝0時，J0(0)＝1，而Y0(0)→-∞，而r＝0處堆內中子通量密度有限，所以C2＝0。則上式可寫成：有限高圓柱形均勻裸堆由邊界條件：正如前圖所示，在x＝x1，x2…等處，函數J0(x)為零，即J0(xn)＝0。故必須取如下的本征值：討論方程的解：與此同時，當反應堆達到臨界時，只有n＝1這個本征值才有物理意義。即：因為：所以：臨界時，r向的中子通量密度分布為：綜上分析，有限高圓柱形均勻裸堆的中子通量密度分布公式為：有限高圓柱形均勻裸堆公式中常數A的確定：取環狀體積元

，在(r,z)處該體積元所發出來的功率為：從0到R對r積分，從-H/2到H/2對z積分可得到功率：代入中子通量密度的表達式，上式可化為：有限高圓柱形均勻裸堆裸堆由直徑為2.54cm的天然鈾金屬長棒排列成柵距為0.152m的正方形柵格并懸掛在圓柱形容器內所組成。容器內盛有重水作為慢化劑。堆芯的高度、直徑之比為1.2。由材料的性質已知＝8.6m-2。試估算使這一反應堆剛好臨界的天然鈾質量。例題：解：有限高圓柱堆的幾何曲率為：因為H/(2R)＝1.2,即H＝2.4R代入：對于臨界反應堆：所以：R2=0.8721m2，R=0.93m，H=2.4R=2.4x0.93=2.23m

燃料棒位于柵距為0.152m的正方形柵格節點上。因此每根棒分得的有效面積為0.0231m2。堆芯的橫截面積為：

R2＝

(0.93)2＝2.72m2。所以燃料棒數為：2.72/0.0231≈117.6。每根棒的直徑為2.54cm，其長度和堆芯相同，即2.23m。燃料棒體積V為：例題(續)：金屬鈾的密度＝19.0x103kg/m3，所以燃料總質量為：m＝V＝0.132×19×103＝2.51×103kgm3一般說來，對于無限長有限厚的平板堆，臨界時，其厚度應滿足：或對于有限高圓柱堆，臨界時，其高度H與半徑R須滿足：因為臨界時：該式只給出R與H的關系而不能給出確定的值。但如果再加上一個條件，即要求最小臨界體積，便能從式中解得所謂最佳半徑或最佳高度。反應堆的體積為V＝

R2H，臨界尺寸臨界尺寸將R2值代入體積表達式并求V的極小值，令：具有最小臨界體積的圓柱均勻堆，要求直徑與高大致有0.5的關系。

實際動力堆堆芯尺寸投入運行年電站或核船名稱輸出功率/MWe堆芯高×直徑/m1972施塔德6302.99×3.051972緬茵·楊基7933.6×3.51973哈欽森島18253.5×3.51974勇士11303.66×3.31976比布利斯11803.9×3.61962薩瓦娜號核商船1.7×1.61968奧托·哈恩號核商船1.12×1.151991秦山一期核電廠3002.90×2.4861995大亞灣核電廠9003.65×3.362002秦山三期7005.945×6.2862006田灣10003.53×3.16中子通量密度分布不均勻系數中子通量密度分布不均勻系數定義為堆芯最大熱中子通量密度與堆芯平均熱中子通量密度的比值，即：最大中子通量密度平均中子通量密度對于圓柱堆r=0處，其中子通量密度最大，即:圓柱體積:平均中子通量密度:不均勻系數:有限高圓柱堆的中子通量密度分布不均勻系數:中子通量密度分布不均勻系數中子通量密度分布徑向不均勻系數：中子通量密度分布軸向不均勻系數：不同堆芯幾何形狀的臨界均勻裸堆的曲率、中子通量密度分布與最小體積比較表均勻堆的中子通量密度表堆芯幾何形狀尺寸幾何曲率中子通量密度分布系數A最小體積無限平板厚1.57-長方體3.88無限高圓柱半徑R2.32-有限高圓柱半徑R高H3.64球體半徑R3.29雙群擴散理論

一群擴散理論簡單，只能給出近似結果，采用一群擴散理論來分析將會帶來較大的偏差。能群數越多，計算結果越準確，然而計算量是相當大的。需要結合堆型綜合權衡。對于熱中子堆，利用雙群可得到較好的結果。堆型重水堆壓水堆高溫氣冷堆快中子反應堆能群數1-24

46-18不同類型反應堆采用的離散化能群的數目能群序號中子能量范圍能區名稱中子譜1(10-0.821)MeV高能區裂變譜20.821MeV-5.53keV中能區1/E譜35.53keV-0.625eV共振能區1/E譜＋修正40.625eV-0eV熱能區麥克斯韋爾譜PWR少群能量劃分堆內中子按能量劃分成兩群：熱中子歸為一群，簡稱熱群；高于熱能的中子歸為一群，簡稱快群；兩群分界能對于水堆約為0.6至1電子伏。在熱中子堆內，快群中子主要是熱中子所引起的裂變產生，它又通過慢化和泄漏而消失；而熱中子則來源于快群中子的慢化，由于吸收和泄漏而消失。因此，根據中子平衡關系可列出反應堆穩態時芯部的快群及熱群的擴散方程為：雙群擴散理論下標1,2代表快群和熱群?！苧為快群的移出截面，∑1→2為快群到熱群的散射截面。擴散系數及所有的中子截面都是經中子能譜平均后的平均值。

求解該方程，可得反應堆內雙群中子通量密度的典型分布曲線，如圖：

突起的原因：反射層的熱中子吸收較小，慢化能力較強。雙群擴散理論用雙群擴散理論，有效增殖系數k為：其中，Ps為快中子在慢化過程中的不泄漏幾率，Pd為熱中子擴散過程的不泄漏幾率。兩者的定義為：雙群理論的臨界方程為：對于大型反應堆，很小，若略去項，則得到：式中，M2=τ+L2，這樣便得到了修正單群理論的臨界方程。來看雙群理論的臨界方程為：雙群擴散理論快群參數慢化劑DF/m

FT/m-1

/10-4m2H2O0.01134.1927D2O0.01290.985131Be0.005620.551102石墨0.010160.276368雙群擴散理論熱群參數慢化劑密度/103kg/m3DT/m

aT/m-1/10-4m2H2O1.00.00161.978.1D2O1.100.00872.9x10-33.0x104Be1.850.0050.104480石墨1.600.00842.4x10-23500雙群擴散理論例題設一輕水冷卻圓柱形反應堆堆芯，其核參數為：求：（1）設堆芯高度H=3.55m，試求堆芯的臨界半徑。（2）如果給定堆芯半徑R=1.56m，求反應堆的有效增殖因數為多少？（1）求出反應堆堆芯的外推距離：m根據修正單群理論，材料曲率為：幾何曲率為：由例題解答m（2）反應堆的有效增殖因數R=1.56m，幾何曲率為有效增殖因數為：例題解答3.2有反射層的均勻堆反射層的定義：包圍在反應堆芯部外面用以反射從芯部泄漏出來的中子的物質稱作反射層。反射層的作用：（1）減少芯部中子的泄漏，使芯部臨界尺寸比無反射層小，節省然料；（2）提高反應堆的平均輸出功率；

反射層材料的要求：（1）散射截面∑s大；（2）吸收截面∑a要?。唬?）慢化能力要強。常用的反射層材料有：水、重水、石墨和鈹等。反射層的作用反射層節省在芯部包有反射層以后，芯部臨界大小的減少量稱為反射層節省，用δ表示。對球形反應堆：δ=R0-R對圓柱形反應堆：徑向反射層節省：軸向反射層節?。河玫刃愣训膸缀吻时硎荆河绊懛瓷鋵庸澥〉囊蛩?？以球形堆為例。球形反應堆的反射層節省δ可以表示為：T為反射層厚度，Lr為反射層中的中子擴散長度。分兩種情況討論:（1）反射層厚度很小，即T<<Lr，反射層節省可以寫成：δ≈T（2）反射層很厚，即T>>Lr，這時于是：δ≈Lr

即反射層厚度增加到一定值后，反射層節省δ就達到一個常數值。反射層節省反射層對中子通量密度分布的影響反射層節省反射層對徑向和軸向中子通量密度分布的影響：反射層節省反照率描述不同物理性質介質在交界面上粒子的入射和反射的情況。是描述出射該介質的中子占入射該介質的中子的份額。是一個中子通過介質表面入射并從此表面返回的幾率。主要用來描述堆芯和反射層交界面處的邊界條件。根據斐克定律，反照率可以表示成：在進行堆芯物理計算時，在堆芯和反射層