2024屆佛山市普通高中高一數學第一學期期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．中國傳統文化中很多內容體現了數學的“對稱美”．如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分體現了相互變化、對稱統一的形式美、和諧美．給出定義：能夠將圓(為坐標原點)的周長和面積同時平分的函數稱為這個圓的“優美函數”．給出下列命題：①對于任意一個圓，其“優美函數”有無數個；②函數可以是某個圓的“優美函數”；③正弦函數可以同時是無數個圓的“優美函數”；④函數是“優美函數”的充要條件為函數的圖象是中心對稱圖形A.①④ B.①③④C.②③ D.①③2．如果命題“使得”是假命題，那么實數的取值范圍是（）A. B.C. D.3．函數（，）在一個周期內的圖象如圖所示，為了得到正弦曲線，只需把圖象上所有的點（）A.向左平移個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變B.向右平移個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變C.向左平移個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變D.向右平移個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變4．已知圓與圓相離，則的取值范圍（）A. B.C. D.5．將函數的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移個單位，所得函數圖象的一條對稱軸是（）A. B.C. D.6．命題“，有”的否定是（）A.，使 B.，有C.，使 D.，使7．復利是一種計算利息的方法.即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息.某同學有壓歲錢1000元，存入銀行，年利率為2.25%；若放入微信零錢通或者支付寶的余額寶，年利率可達4.01%.如果將這1000元選擇合適方式存滿5年，可以多獲利息()元.（參考數據：）A.176 B.100C.77 D.888．定義在上的函數滿足，當時,,當時,.則=（）A.338 B.337C.1678 D.20139．下列四個函數中，在整個定義域內單調遞減是A. B.C. D.10．下列不等關系中正確的是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設函數，若函數在上的最大值為M，最小值為m，則______12．的單調增區間為________.13．函數（且）的定義域為__________14．若，則的值為___________.15．計算的值為__________16．若函數在區間上單調遞減，在上單調遞增，則實數的取值范圍是_________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，且，（1）求，的值；（2），求的值18．已知函數，（，且）.（1）求的定義域，并判斷函數的奇偶性；（2）對于，恒成立，求實數的取值范圍.19．已知若，求方程的解；若關于x的方程在區間上有兩個不相等的實根、：求實數k的取值范圍；證明：20．已知函數是定義在上的增函數，且.（1）求的值；（2）若，解不等式.21．已知函數，（1）求函數最小正周期以及函數在區間上的最大值和最小值；（2）將函數圖象的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，若，求實數的取值范圍

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】根據定義分析，優美函數具備的特征是，函數關于圓心（即坐標原點）呈中心對稱.【題目詳解】對①，中心對稱圖形有無數個，①正確對②，函數是偶函數，不關于原點成中心對稱.②錯誤對③，正弦函數關于原點成中心對稱圖形，③正確.對④，充要條件應該是關于原點成中心對稱圖形，④錯誤故選D【題目點撥】仔細閱讀新定義問題，理解定義中優美函數的含義，找到中心對稱圖形，即可判斷各項正誤.2、B【解題分析】特稱命題是假命題，則該命題的否定為全稱命題且是真命題，然后根據即可求解.【題目詳解】依題意，命題“使得”是假命題，則該命題的否定為“”，且是真命題；所以，.故選：B3、B【解題分析】先利用圖像求出函數的解析式，在對四個選項，利用圖像變換一一驗證即可.【題目詳解】由圖像可知：，所以,所以，解得：.所以.又圖像經過，所以，解得：，所以對于A：把圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到，再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變得到.故A錯誤；對于B：把圖象上所有點向右平移個單位長度，得到，再把所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變.故B正確；對于C：把圖象上所有點向左平移個單位長度，得到，再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變.故C錯誤；對于D：把圖象上所有的點向右平移個單位長度，得到，再把所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變得到.故D錯誤；故選：B4、D【解題分析】∵圓的圓心為，半徑為，圓的標準方程為，則又兩圓相離，則：，本題選擇D選項.點睛：判斷兩圓的位置關系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關系，一般不采用代數法5、D【解題分析】根據三角形函數圖像變換和解析式的關系即可求出變換后函數解析式，從而根據余弦函數圖像的性質可求其對稱軸.【題目詳解】將函數的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，則函數解析式變為；向左平移個單位得，由余弦函數的性質可知，其對稱軸一定經過圖象的最高點或最低點，故對稱軸為：，k∈Z，k＝1時，.故選：D.6、D【解題分析】全稱命題的否定：將任意改存在并否定原結論，即可知正確選項.【題目詳解】由全稱命題的否定為特稱命題，∴原命題的否定為.故選：D7、B【解題分析】由題意，某同學有壓歲錢1000元，分別計算存入銀行和放入微信零錢通或者支付寶的余額寶所得利息，即可得到答案【題目詳解】由題意，某同學有壓歲錢1000元，存入銀行，年利率為2.25%，若在銀行存放5年，可得金額為元，即利息為元，若放入微信零錢通或者支付寶的余額寶時，利率可達4.01%，若存放5年，可得金額為元，即利息為元，所以將這1000元選擇合適方式存滿5年，可以多獲利息元，故選B【題目點撥】本題主要考查了等比數列的實際應用問題，其中解答中認真審題，準確理解題意，合理利用等比數列的通項公式求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題8、B【解題分析】,,即函數是周期為的周期函數.當時,,當時,.,,故本題正確答案為9、C【解題分析】根據指數函數的性質判斷，利用特殊值判斷，利用對數函數的性質判斷，利用偶函數的性質判斷【題目詳解】對于，，是指數函數，在整個定義域內單調遞增，不符合題意；對于，，有，，不是減函數，不符合題意；對于，為對數函數，整個定義域內單調遞減，符合題意；對于，，為偶函數，整個定義域內不是單調函數，不符合題意，故選C【題目點撥】本題主要考查指數函數的性質、單調性是定義，對數函數的性質以及偶函數的性質，意在考查綜合利用所學知識解答問題的能力，屬于中檔題10、C【解題分析】對于A，作差變形，借助對數函數單調性判斷；對于C，利用均值不等式計算即可判斷；對于B，D，根據不等式的性質及對數函數單調性判斷作答.【題目詳解】對于A，，而函數在單調遞增，顯然，則，A不正確；對于B，因為，所以，故，B不正確；對于C，顯然，，，C正確；對于D，因為，所以，即，D不正確.故選：C二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解題分析】令，證得為奇函數，從而可得在的最大值和最小值之和為0，進而可求出結果.【題目詳解】設，定義域為,則，所以，即，所以為奇函數，所以在的最大值和最小值之和為0，令，則因為，所以函數的最大值為，最小值為，則，∴故答案為：2.12、【解題分析】求出給定函數的定義域，由對數函數、正弦函數單調性結合復合函數單調性求解作答.【題目詳解】依題意，，則，解得，函數中，由得，即函數在上單調遞增，當時，函數在上單調遞增，又函數在上單調遞增，所以函數的單調增區間為.故答案為：【題目點撥】關鍵點睛：函數的單調區間是定義域的子區間，求函數的單調區間，正確求出函數的定義域是解決問題的關鍵.13、【解題分析】根據對數的性質有，即可求函數的定義域.【題目詳解】由題設，，可得，即函數的定義域為.故答案為：14、1或【解題分析】由誘導公式、二倍角公式變形計算【題目詳解】,所以或，時，；時，故答案為：1或15、【解題分析】.16、【解題分析】反比例函數在區間上單調遞減，要使函數在區間上單調遞減，則，還要滿足在上單調遞增，故求出結果【題目詳解】函數根據反比例函數的性質可得：在區間上單調遞減要使函數在區間上單調遞減，則函數在上單調遞增則，解得故實數的取值范圍是【題目點撥】本題主要考查了函數單調性的性質，需要注意反比例函數在每個象限內是單調遞減的，而在定義域內不是單調遞減的三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】(1)首先可通過二倍角公式以及將轉化為，然后帶入即可計算出的值，再然后通過以及即可計算出的值；(2)可將轉化為然后利用兩角差的正弦公式即可得出結果【題目詳解】⑴，因為，，所以；⑵因為，，，所以，【題目點撥】本題考查三角函數的相關性質，主要考查三角恒等變換，考查的公式有、、，在使用計算的時候一定要注意角的取值范圍18、（1）定義域為；奇函數;（2）時，；時，.【解題分析】（1）由對數的真數大于0，解不等式可得定義域；運用奇偶性的定義，即可得到結論；（2）對a討論，，，結合對數函數的單調性，以及參數分離法，二次函數的最值求法，可得m的范圍【題目詳解】（1）由題意，函數，由，可得或，即定義域為；由，即有，可得為奇函數；2對于，恒成立，可得當時，，由可得的最小值，由，可得時，y取得最小值8，則，當時，，由可得的最大值，由，可得時，y取得最大值，則，綜上可得，時，；時，【題目點撥】本題主要考查了函數的奇偶性的判定，以及對數的運算性質和二次函數的圖象與性質的應用，其中解答中熟記函數的奇偶性的定義，以及對數的運算性質和二次函數的圖象與性質的合理應用是解答的關鍵，著重考查了分類討論思想，以及推理與運算能力，試題有一定的綜合性，屬于中檔試題.19、（1）（2），見解析【解題分析】當時，分類討論，去掉絕對值，直接進行求解，即可得到答案討論兩個根、的范圍，結合一元二次方程根與系數之間的關系進行轉化求解【題目詳解】當時，，當時，，由，得，得舍或；當時，，由得舍；故當時，方程的解是不妨設，因為，若、，與矛盾，若、，與是單調函數矛盾，則；則…①…②由①，得：，由②，得：；的取值范圍是；聯立①、②消去k得：，即，即，則，,，即【題目點撥】本題主要考查了函數與方程的應用，根據條件判斷根的范圍，以及利用一元二次方程與一次方程的性質進行轉化是解決本題的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，試題綜合性較強，屬于中檔試題20、（1）0（2）【解題分析】（1）直接利用賦值法，令即可得結果