第2講概率、隨機變量及其分布列考點一古典概型與幾何概型——構建模型，合理分類1．古典概型的概率公式P(A)＝mn＝事件A中所含的基本事件數(shù)2．幾何概型的概率公式P(A)＝JP3構成事件A的區(qū)域長度例1(1)[2022·全國甲卷]從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為()A．15B．13C．25(2)[2022·河南省杞縣高中]在區(qū)間[0，1]上隨機取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)差的絕對值大于12的概率為(A．34B．12C．14歸納總結1．求古典概型的兩個關鍵點一是會利用排列、組合與兩個基本計數(shù)原理求樣本空間所含的基本事件數(shù)n以及事件A所含的基本事件數(shù)m；二是會運用古典概型的概率公式P(A)＝mn求事件A2．解幾何概型的步驟(1)“定變量”，根據(jù)事件發(fā)生的過程確定事件中的相關變量，確定變量的取值范圍；(2)“觀圖形”，根據(jù)變量的取值范圍，畫出基本事件所包含的圖形和所求事件對應的圖形；(3)“求度量”，根據(jù)圖形的直觀性，結合變量的取值范圍，求出相應圖形的幾何度量；(4)“求概率”，把所求得的幾何度量代入幾何概型的概率計算公式，即可求出概率．提醒對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件．對點訓練1.[2021·全國甲卷]將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為()A．13B．25C．232．[2021·全國乙卷]在區(qū)間(0，1)與(1，2)中各隨機取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于74的概率為(A．79B．2332C．932考點二相互獨立事件和獨立重復試驗——正難則反1．條件概率在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率：P(B|A)＝PAB2．相互獨立事件同時發(fā)生的概率P(AB)＝P(A)P(B)．3．獨立重復試驗、二項分布如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是p，那么它在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2…例211分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10∶10平后，每球交換發(fā)球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束．甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結果相互獨立．在某局雙方10∶10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結束．(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲獲勝”的概率．歸納總結求相互獨立事件的概率的兩種方法直接法正確分析復雜事件的構成，將復雜事件轉化為幾個彼此互斥事件的和事件或幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件或獨立重復試驗問題，然后用相應概率公式求解．間接法當復雜事件正面情況較多，反面情況較少時，可利用其對立事件進行求解．對于“至少”“至多”等問題往往也用這種方法求解．對點訓練[2022·山東濟寧聯(lián)考]為吸引顧客，某商場舉辦購物抽獎活動．抽獎規(guī)則是：從裝有2個白球和3個紅球(小球除顏色外，完全相同)的抽獎箱中，每次摸出一個球，不放回地依次摸取兩次，記為一次抽獎．若摸出的2個球顏色相同則為中獎，否則為不中獎．下列隨機事件的概率錯誤的是()A．某顧客抽獎一次中獎的概率是2B．某顧客抽獎三次，至少有一次中獎的概率是98C．在一次抽獎過程中，若已知顧客第一次抽出了紅球，則該顧客中獎的概率是3D．在一次抽獎過程中，若已知顧客第一次抽出了紅球，則該顧客中獎的概率是1考點三離散型隨機變量的分布列、均值與方差——綜合各類概率，活用分布模型離散型隨機變量的均值與方差(1)均值與方差的性質①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；②D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為實數(shù))．(2)兩點分布與二項分布的均值、方差①若X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；②若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．例3[2022·遼寧大連測試]某校辯論隊計劃在周六、周日各參加一場辯論賽，分別由正、副隊長負責，已知該校辯論隊共有10位成員(包含正、副隊長)，每場比賽除負責人外均另需3位隊員(同一隊員可同時參加兩天的比賽，正、副隊長只能參加一場比賽)．假設正、副隊長分別將各自比賽通知的信息獨立、隨機地發(fā)給辯論隊8名隊員中的3位，且所發(fā)信息都能收到．(1)求辯論隊員甲收到正隊長或副隊長所發(fā)比賽通知信息的概率；(2)記辯論隊收到正隊長或副隊長所發(fā)比賽通知信息的隊員人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列及其數(shù)學期望．歸納總結計算期望與方差的基本方法(1)已知隨機變量的概率分布求它的期望、方差和標準差，可直接用定義或公式求．(2)已知隨機變量X的期望、方差，求X的線性函數(shù)Y＝aX＋b的期望、方差和標準差，可直接用期望及方差的性質求．(3)若能分析出所給隨機變量服從常用的分布(如兩點分布、二項分布等)，則可直接利用它們的期望、方差公式來求．對點訓練[2022·福建漳州一模]北京冬奧會某個項目招募志愿者需進行有關專業(yè)、禮儀及服務等方面知識的測試，測試合格者錄用為志愿者．現(xiàn)有備選題10道，規(guī)定每次測試都從備選題中隨機抽出3道題進行測試，至少答對2道題者視為合格，已知每位參加筆試的人員測試能否合格是相互獨立的．若甲能答對其中的6道題，乙能答對其中的8道題．求：(1)甲、乙兩人至多一人測試合格的概率；(2)甲答對的試題數(shù)X的分布列和數(shù)學期望．考點四概率與統(tǒng)計的綜合應用——準確審題，數(shù)據(jù)分析概率與統(tǒng)計問題在近幾年的高考中背景取自現(xiàn)實，題型新穎，綜合性增強，難度加深，掌握此類問題的解題策略，在高考中才能游刃有余．角度1概率與統(tǒng)計圖表的交匯問題例4[2022·福建漳州三模]漳州布袋木偶戲是傳統(tǒng)民俗藝術，2006年被列入首批國家非物質文化遺產保護，據(jù)《漳州府志》記載，漳州地區(qū)在宋代就已經(jīng)有布袋木偶戲了，清朝中葉后，布袋木偶戲開始進入興盛時期，一直到抗日戰(zhàn)爭前，漳州的龍溪、漳浦、海澄、長泰等縣，幾乎鄉(xiāng)鄉(xiāng)都有布袋木偶戲，在傳承的基礎上，不斷創(chuàng)新和發(fā)展壯大，走向更廣闊的世界，為了了解民眾對布袋木偶戲的了解程度，某單位隨機抽取了漳州地區(qū)男女各100名市民進行問卷調查，根據(jù)調查結果繪制出得分條形圖，如圖所示(1)若被調查者得分低于60分，則認為是不夠了解布袋木偶戲，否則認為是相對了解布袋木偶戲．根據(jù)條形圖，完成2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷能否有90%的把握認為對布袋木偶戲的了解程度與性別有關？不夠了解相對了解合計男女合計(2)恰逢三八婦女節(jié)，該單位對參與調查問卷的女市民制定如下抽獎方案：得分低于60分的可以獲得1次抽獎機會，得分不低于60分的可以獲得2次抽獎機會，每次抽獎結果相互獨立，在一次抽獎中，獲得一個木偶紀念品的概率為13，獲得兩個木偶紀念品的概率為16，不獲得木偶紀念品的概率為12，在這100名女市民中任選一人．記X參考公式：K2＝n參考數(shù)據(jù)：P(K2≥k0)0.10.050.010.001k02.7063.8416.63510.828歸納總結破解頻率分布直方圖與概率相交匯問題的步驟角度2概率與統(tǒng)計案例的交匯問題例5[2022·河南開封]大豆是我國重要的農作物，種植歷史悠久．某種子實驗基地培育出某大豆新品種，為檢驗其最佳播種日期，在A，B兩塊試驗田上進行實驗(兩地塊的土質等情況一致).6月25日在A試驗田播種該品種大豆，7月10日在B試驗田播種該品種大豆．收獲大豆時，從中各隨機抽取20份(每份1千粒)，并測量出每份的質量(單位：克)，按照[100，150)，[150，200)，[200，250]進行分組，得到如下表格：[100，150)[150，200)[200，250]A試驗田/份3611B試驗田/份6104把千粒質量不低于200克的大豆視為籽粒飽滿，否則視為籽粒不飽滿．(1)判斷是否有97.5%的把握認為大豆籽粒飽滿與播種日期有關？(2)從A，B兩塊實驗田中各抽取一份大豆，求抽取的大豆中至少有一份籽粒飽滿的概率；(3)用樣本估計總體，從A試驗田隨機抽取100份(每份千粒)大豆，記籽粒飽滿的份數(shù)為X，求X的數(shù)學期望和方差．參考公式：K2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d，其中n＝aP(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.001k02.0722.7063.8415.0246.63510.828歸納總結解決概率、統(tǒng)計與其他知識的綜合角度3概率、統(tǒng)計與數(shù)列的交匯例6第24屆冬奧會于2022年在中國北京和張家口舉行，屆時，北京將成為第一個舉辦過夏季奧林匹克運動會和冬季奧林匹克運動會以及亞洲運動會三項國際賽事的城市．在某次滑雪表演比賽中，抽取部分參賽隊員的分數(shù)(得分取正整數(shù)，滿分為100分)作為樣本(樣本容量為n)進行統(tǒng)計，并按照[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100](已知分數(shù)在[90，100]內的人數(shù)為3)的分組作出如圖所示的頻率分布直方圖．據(jù)此解答如下問題：(1)求樣本容量n及頻率分布直方圖中a的值．(2)滑雪場館內的一銷售網(wǎng)點為了吸引游客，增加營業(yè)收入，開展“參加游戲贏獎券”促銷活動，購物滿200元可以參加1次游戲，游戲規(guī)則如下：有一張共7格的方格圖，依次編號為第1格、第2格、第3格、…、第7格，游戲開始時“跳子”在第1格，參與者需從一個口袋(裝有除顏色外完全相同的2個黑球和2個白球)中任取兩個球，若兩個球顏色不同，則“跳子”前進1格(即從第1格到第2格)，若兩個球顏色相同，則“跳子”前進2格(即從第1格到第3格)，當“跳子”前進到第6格或者第7格時，游戲結束．“跳子”落在第6格可以得到30元獎券，“跳子”落在第7格可以得到90元獎券．記“跳子”前進到第n格(1≤n≤7)的概率為Pn.①證明：{Pn－Pn－1}(2≤n≤6)是等比數(shù)列．②求某一位顧客參加一次這樣的游戲獲得的獎券金額的期望．歸納總結破解此題的關鍵是將概率的參數(shù)表達式與數(shù)列的遞推式相結合，可得數(shù)列的通項公式，此種解法新穎獨特．對點訓練[2022·四川省瀘縣第二中學]中國探月工程自2004年立項以來，聚焦“自主創(chuàng)新、重點跨越、支撐發(fā)展、引領未來”的目標，創(chuàng)造了許多項中國首次.2020年12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶“月壤”著陸地球，又首次實現(xiàn)了我國地外天體無人采樣返回．為了了解某中學高三學生對此新聞事件的關注程度，從該校高三學生中隨機抽取了50名學生進行調查，調查樣本中有20名女生．如圖是根據(jù)樣本的調查結果繪制的等高條形圖(陰影區(qū)域表示關注“嫦娥五號”的部分)．關注沒關注合計男女合計(1)完成上面的2×2列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為對“嫦娥五號”的關注程度與性別有關？(2)若將頻率視為概率，現(xiàn)從該中學高三的女生中隨機抽取3人．記被抽取的3名女生中對“嫦娥五號”新聞關注的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列及數(shù)學期望．附：K2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d，其中n＝aP(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0100.005k02.0722.7063.8416.6357.879[高考5個大題]解題研訣竅(四)概率與統(tǒng)計問題重在“辨”——辨析、辨型[思維流程——找突破口][技法指導——遷移搭橋]概率與統(tǒng)計問題辨析、辨型的基本策略(1)準確弄清問題所涉及的事件有什么特點，事件之間有什么關系，如互斥、對立、獨立等．(2)理清事件以什么形式發(fā)生，如同時發(fā)生、至少有幾個發(fā)生、至多有幾個發(fā)生、恰有幾個發(fā)生等．(3)明確抽取方式，如放回還是不放回、抽取有無順序等．(4)準確選擇排列組合的方法來計算基本事件發(fā)生數(shù)和事件總數(shù)，或根據(jù)概率計算公式和性質來計算事件的概率．(5)確定隨機變量取值并求其對應的概率，寫出分布列后再求期望、方差．(6)會套用求b、K2的公式，再作進一步求值與分析．[典例]某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗．設每件產品為不合格品的概率都為p(0<p<1)，且各件產品是否為不合格品相互獨立．(1)記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點p0.(2)現(xiàn)對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值．已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用．①若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求E(X)；②以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？[快審題]求什么想什么求f(p)的最大值點，想到f(p)的表達式．求E(X)的值，想到X的可能取值及所對應的概率、均值的性質．給什么用什么給出檢驗費及賠償費可計算E(X)．差什么找什么計算E(X)，應找出X與不合格產品件數(shù)的關系，利用均值性質求解．[穩(wěn)解題](1)因為20件產品中恰有2件不合格品的概率為f(p)＝C202p2·(1－p)所以f′(p)＝C202[2p(1－p)18－18p2(1－p)＝2C202p(1－p)17(1－10p令f′(p)＝0，得p＝0.1，當p∈(0，0.1)時，f′(p)＞0；當p∈(0.1，1)時，f′(p)＜0.所以f(p)的最大值點為p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1，①令Y表示余下的180件產品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y～B(180，0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490．②若對余下的產品作檢驗，則這一箱產品所需要的檢驗費用為400元，由于E(X)＞400，故應該對余下的產品作檢驗．題后悟道解決概率與統(tǒng)計問題的關鍵點(1)會利用兩個基本計數(shù)原理、排列與組合，以及古典概型的概率公式求隨機變量的概率；能準確判斷隨機變量X的所有可能取值，然后求出隨機變量X取每個值時的概率，即可得隨機變量X的分布列；還需活用定義，即會活用隨機變量的數(shù)學期望的定義進行計算．(2)獨立性檢驗是用來考察兩個分類變量是否有關系，根據(jù)統(tǒng)計量K2的計算公式確定K2的值，K2越大，說明兩個分類變量有關系的可能性越大．第2講概率、隨機變量及其分布列考點一[例1]解析：(1)從6張卡片中任取2張的取法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15種不同取法，其中2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的取法有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，共6種，所以所求概率P＝615＝25.故選(2)設在[0，1]上取的兩數(shù)為x，y，則x-y>12，即x－y>12，或x－y<－1則x－y>12，或x－y<－12所表示的區(qū)域為圖中陰影部分，易求陰影部分的面積為14，故所求概率P＝141＝答案：(1)C(2)C對點訓練1．解析：解法一(將4個1和2個0視為完全不同的元素)4個1分別設為1A，1B，1C，1D，2個0分別設為OA，OB，將4個1和2個0隨機排成一行有A66種排法，將1A，1B，1C，1D排成一行有A44種排法，再將OA，OB插空有A52種排法，所以2個0解法二(含有相同元素的排列)將4個1和2個0安排在6個位置，則選擇2個位置安排0，共有C62種排法；將4個1排成一行，把2個0插空，即在5個位置中選2個位置安排0，共有C52種排法．所以2個0答案：C2．解析：在區(qū)間(0，1)中隨機取一個數(shù)，記為x，在區(qū)間(1，2)中隨機取一個數(shù)，記為y，兩數(shù)之和大于74，即x＋y>74，則0<x<11<y<2x+y>74.在如圖所示的平面直角坐標系中，點(x，y)構成的區(qū)域是邊長為1的正方形區(qū)域(不含邊界)，事件A“兩數(shù)之和大于74”即x＋y>74中，點(x，y)構成的區(qū)域為圖中陰影部分(答案：B考點二[例2]解析：(1)X＝2就是10∶10平后，兩人又打了2個球該局比賽結束，則這2個球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.(2)X＝4且甲獲勝，就是10∶10平后，兩人又打了4個球該局比賽結束，且這4個球的得分情況為前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分．因此所求概率為[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.對點訓練解析：對于A選項，顧客抽獎一次中獎的概率為C22+C32C對于B選項，有如下兩種方法：方法一顧客抽獎三次，至少有一次中獎的概率是C312方法二顧客抽獎三次，至少有一次中獎的概率是1－1-253＝1－353＝1故B選項正確．對于CD選項，由于第一次抽出了紅球，故剩余2個白球和2個紅球，再抽一個，抽到紅球的概率是22+2＝12，故C選項錯誤，D選項正確．故選答案：C考點三[例3]解析：(1)設事件A表示：辯論隊員甲收到正隊長的通知信息．則P(A)＝38，P(A)＝5設事件B表示：辯論隊員甲收到副隊長的通知信息．則P(B)＝38，P(B)＝5設事件C表示：辯論隊員甲收到正隊長或副隊長的通知信息．則P(C)＝1－P(A)P(B)＝1－582＝所以辯論隊員甲收到正隊長或副隊長的通知信息的概率為3964(2)由題意可得，隨機變量X的所有可能取值為3，4，5，6，則P(X＝3)＝C83C83C83＝156，P(X＝4)＝C82C61C51C8所以隨機變量X的分布列為X3456P115155故數(shù)學期望E(X)＝3×156＋4×1556＋5×1528＋6×5對點訓練解析：(1)根據(jù)題意，甲測試合格的概率為C62·C4乙測試合格的概率為C82·C2故甲、乙兩人都測試合格的概率為23×14則甲、乙兩人至多一人測試合格的概率為1－2845＝17(2)由題可知，甲答對的試題數(shù)X可以取0，1，2，3，又P(X＝0)＝C43C103P(X＝1)＝C61·C4P(X＝2)＝C62·C4P(X＝3)＝C63C103故X的分布列如下：X0123P1311則E(X)＝1×310＋2×12＋3×16考點四[例4]解析：(1)2×2列聯(lián)表如下：不夠了解相對了解合計男3565100女2575100合計60140200假設H0：對布袋木偶戲的了解程度與性別無關，根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，可以求得K2＝200×35×75-25×652100×100×60×140＝50故沒有90%的把握認為對布袋木偶戲的了解程度與性別有關．(2)在這100名女市民中任選一人，得分低于60分的概率為25100＝14，得分不低于60分的概率為75100＝34，X的所有取值為0，1，2，P(X＝0)＝14×12+P(X＝1)＝14×13＋2×34P(X＝2)＝14×16+34P(X＝3)＝2×34×1P(X＝4)＝34×1所以X的分布列為X01234P51111故E(X)＝0×516＋1×13＋2×14＋3×112＋4×148[例5]解析：(1)2×2列聯(lián)表為6月25日播種7月10日播種合計飽滿11415不飽滿91625合計202040K2＝nad-bc2a+bc+da+c所以有97.5%的把握認為大豆籽粒飽滿與播種日期有關．(2)A，B兩塊實驗田中各抽取一份大豆，抽取的大豆中有一份籽粒飽滿的概率分別為1120兩份大豆籽粒都不飽滿的概率為1-1120×故抽取的大豆中至少有一