引言

數學建模競賽，就是一項數學應用題比賽。大家都做過數學應用題吧，比如說“樹上有十只鳥，開槍打死一只，還剩幾只”，這樣的問題就是一道數學應用題(應該是小學生的吧)，正確答案應該是9只，是吧？這樣的題照樣是數學建模題，不過答案就不重要了，重要的是過程。真正的數學建模高手應該這樣回答這道題：

“樹上有十只鳥，開槍打死一只，還剩幾只？”“是無聲手槍或別的無聲的槍嗎？”“不是。”“槍聲有多大？”“80－100分貝。”“那就是說會震的耳朵疼？”“是。”“在這個城市里打鳥犯不犯法？”“不犯。”“您確定那只鳥真的被打死啦？”“確定。”“OK，樹上的鳥里有沒有聾子？”“沒有。”“有沒有關在籠子里的？”“沒有。”“邊上還有沒有其他的樹，樹上還有沒有其他鳥？”“沒有。”“有沒有殘疾的或餓的飛不動的鳥？”“沒有。”“算不算懷孕肚子里的小鳥？”“不算。”“打鳥的人眼有沒有花？保證是十只？”“沒有花，就十只。”“有沒有傻的不怕死的？”“都怕死。”“會不會一槍打死兩只？”“不會。”“所有的鳥都可以自由活動嗎？”“完全可以。”“如果您的回答沒有騙人，打死的鳥要是掛在樹上沒掉下來，那么就剩一只，如果掉下來，就一只不剩。”不是開玩笑，這就是數學建模。從不同的角度思考一個問題，想盡所有的可能，正所謂的智者千慮，絕無一失，這，才是數學建模的高手。

第一講建立數學模型1.1從現實對象到數學模型1.2數學建模的重要意義1.3數學建模示例1.4數學建模的方法和步驟1.5數學模型的特點和分類1.6怎樣學習數學建模玩具、照片、飛機、火箭模型……~實物模型水箱中的艦艇、風洞中的飛機……~物理模型地圖、電路圖、分子結構圖……~符號模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征1.1從現實對象到數學模型我們常見的模型你碰到過的數學模型——“航行問題”用x表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米/小時.甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x=20y=5求解航行問題建立數學模型的基本步驟作出簡化假設（船速、水速為常數）；

用符號表示有關量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數學式子（二元一次方程）；

求解得到數學解答（x=20,y=5）；

回答原問題（船速每小時20千米/小時）。數學模型和數學建模數學模型(MathematicalModel)

對于現實中的原型(現實對象)，為了某個特定目的，根據其內在規律，作出一些必要的簡化和假設，運用適當的數學工具得到的一個數學結構。也可以說，數學建模是利用數學語言（符號、式子與圖象）模擬現實的模型。把現實模型抽象、簡化為某種數學結構是數學模型的基本特征。它或者能解釋特定現象的現實狀態，或者能預測到對象的未來狀況，或者能提供處理對象的最優決策或控制。數學建模（MathematicalModeling)數學模型和數學建模把現實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數學模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該數學模型所提供的解答來解釋現實問題，我們把數學知識的這一應用過程稱為數學建模。數學模型的全過程包括表述、求解、解釋、檢驗等。

數學競賽給人的印象是高深莫測的數學難題，和一個人、一支筆、一張紙，關在屋子里的冥思苦想，它訓練嚴密的邏輯推理和準確的計算能力，而數學建模競賽從內容到形式與此都有明顯的不同。數學建模競賽的題目由日常生活、工程技術和管理科學中的實際問題簡化加工而成，大家可以從網上找到歷年的賽題，它們對數學知識要求不深，一般沒有事先設定的標準答案，但留有充分余地供參賽者發揮其聰明才智和創造精神。數學建模競賽

——什么是數學建模競賽

大學生數學模型競賽是全球范圍內數學界最重要的競賽之一，1994年以來全國大學生數學建模競賽已為少數幾項大學生課外活動和競賽活動之一。大學生數學建模競賽培養學生什么樣的能力?經過10多年來廣大參賽同學,和指導教師的總結，至少有以下幾方面是值得提出的：一、應用數學進行分析、推理、計算能力，特別是雙向翻譯的能力大大提高。二、應用計算機、數學軟件以及因特網的能力大大提高。三、獲得應變能力的培養。四、培養和發展同學們的創造力、想象力、聯想力和洞察力。五、培養學生組織、管理、協調合作以及儀式妥協的能力。六、培養了交流、表達和寫作能力。數學建模競賽

——數學建模競賽的意義數學建模競賽以通訊形式進行，三名大學生組成一隊，可以自由地收集資料、調查研究，使用計算機和任何軟件，甚至上網查詢，但不得與隊外任何人討論。在三天時間內，完成一篇包括模型的假設、建立和求解，計算方法的設計和計算機實現，結果的分析和檢驗，模型的改進等方面的論文。競賽評獎以假設的合理性、建模的創造性、結果的正確性和文字表述的清晰程度為主要標準。可以看出，這項競賽與學生畢業以后工作時的條件非常相近，是對學生業務、能力和素質的全面培養，特別是開放性思維和創新意識。數學建模競賽

——數學建模競賽的形式競賽是由教育部高教司和中國工業與應用數學學會共同主辦的，每年9月下旬舉行，今年是9月9日至11日。競賽面向全國大專院校的學生，不分專業。今年我院組成十五隊參加競賽。數學建模競賽

——怎樣參加數學建模競賽2006年全國一等獎獲得者：譚于超：城建學部05級土木曾曉波：城建學部04級土木胡德麗：信息工程學部04級信計2007年省三等獎獲得者：鄧星星：城建學部06級土木彭振庭：信息工程學部05級計科嚴新林：信息工程學部05級信科2008年省三等獎獲得者：王銳：信息工程學部06級信計余魯鑫：城建學部08級土木周崢嶸：城建學部08級土木2008年省二等獎獲得者：邱豐：經管學部06級國貿汪燕霞：信息工程學部06級信計羅強：機電工程學部07級機電2009年省二等獎獲得者：鄧星星：城建學部06級土木陶小娟：經管學部08級工管董麗娜：經管學部08級工管2009年省二等獎獲得者：羅強：機電工程學部07級機電江媛：機電工程學部08級機電王冬：機電工程學部08級機電2010年省三等獎獲得者：張杰俊：08建筑工程1班汪佳亮：08建筑工程2班袁寬：08建筑工程2班

歷年兩院取得的成績1.2數學建模的重要意義

電子計算機的出現及飛速發展；

數學以空前的廣度和深度向一切領域滲透。數學建模作為用數學方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。

在一般工程技術領域數學建模仍然大有用武之地；

在高新技術領域數學建模幾乎是必不可少的工具；

數學進入一些新領域，為數學建模開辟了許多處女地。數學建模的具體應用

分析與設計

預報與決策

控制與優化

規劃與管理數學建模計算機技術知識經濟如虎添翼1.3數學建模示例1.3.1椅子能在不平的地面上放穩嗎問題分析模型假設通常~三只腳著地放穩~四只腳著地四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形;地面高度連續變化，可視為數學上的連續曲面;地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。模型構成用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性xBADCOD′C′B′A′用

(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置四只腳著地距離是

的函數四個距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f(

)B,D兩腳與地面距離之和~g(

)兩個距離

椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉正方形對稱性用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來f(

),g(

)是連續函數對任意,f(

),g(

)至少一個為0數學問題已知：f(

),g(

)是連續函數;對任意

，f(

)?g(

)=0;且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在

0，使f(

0)=g(

0)=0.模型構成地面為連續曲面椅子在任意位置至少三只腳著地模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法將椅子旋轉900，對角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h(

)=f(

)–g(

),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續性知

h為連續函數,據連續函數的基本性質,必存在

0,使h(

0)=0,即f(

0)=g(

0).因為f(

)?g(

)=0,所以f(

0)=g(

0)=0.評注和思考建模的關鍵~假設條件的本質與非本質考察四腳呈長方形的椅子

和f(

),g(

)的確定1.3.2商人們怎樣安全過河問題(智力游戲)3名商人3名隨從隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數比商人多,就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析多步決策過程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數不比商人多),經有限步使全體人員過河.河小船(至多2人)模型構成xk~第k次渡河前此岸的商人數yk~第k次渡河前此岸的隨從數xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,

sk=(xk,yk)~過程的狀態S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態集合uk~第k次渡船上的商人數vk~第k次渡船上的隨從數dk=(uk,vk)~決策D={(u

,v)

u+v=1,2}~允許決策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,

sk+1=sk

dk+(-1)k~狀態轉移律求dk

D(k=1,2,n),使sk

S,并按轉移律由s1=(3,3)到達sn+1=(0,0).多步決策問題模型求解xy3322110窮舉法~編程上機圖解法狀態s=(x,y)~16個格點~10個點允許決策~移動1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,，d11給出安全渡河方案評注和思考規格化方法,易于推廣考慮4名商人各帶一隨從的情況d1d11允許狀態S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規律控制人口過快增長1.3.3如何預報人口的增長指數增長模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計算公式x(t)~時刻t的人口基本假設

:人口增長率r(單位時間內人口的增長量與當時的人口呈正比)是常數今年人口x0,年增長率rk年后人口隨著時間增加，人口按指數規律無限增長指數增長模型的應用及局限性與19世紀以前歐洲一些地區人口統計數據吻合

適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代

可用于短期人口增長預測

不符合19世紀后多數地區人口增長規律

不能預測較長期的人口增長過程19世紀后人口數據人口增長率r不是常數(逐漸下降)阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數量后，增長率下降的原因：資源、環境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數量增加而變大假設r~固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環境能容納的最大數量）r是x的減函數dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)參數估計用指數增長模型或阻滯增長模型作人口預報，必須先估計模型參數r或r,xm

利用統計數據用最小二乘法作擬合例：美國人口數據（單位~百萬）186018701880……196019701980199031.438.650.2