第二章線性系統動態分析電氣工程、自動化專業系列教材現代控制理論基礎01引言PARTONE在第1章中我們學習了控制系統的狀態空間表達式，接下來開始討論利用狀態空間表達式進行系統分析的方法。本章將首先介紹線性定常連續系統齊次狀態空間表達式的求解，并進一步討論狀態空間表達式解對應狀態轉移矩陣的定義與性質；然后針對非齊次、時變、離散狀態等更為復雜情況中的狀態空間表達式求解方法進行討論；最后介紹利用MATLAB進行線性系統動態分析的方法。連續系統狀態空間表達式的數學本質是系統狀態關于時間的微分方程組，其求解過程本質上是對一類微分方程組的求解。對狀態空間表達式求解的學習與討論有助于加深對狀態空間表達式含義的理解。01引言02線性定常齊次狀態空間表達式的解PARTTWO其中，A為常數矩陣。為求解上述微分方程組，考慮一個一維的狀態空間表達式：對式(2.3)求導，可得線性定常齊次狀態空間表達式是狀態空間表達式最基本的一種類型，可以寫成如下矩陣方程其中，a為常數標量。很容易求得上述一階微分方程的通解為02線性定常齊次狀態空間表達式的解矩陣方程(2.1)也存在關于At的類似形式矩陣函數eAt,滿足如果將系統的初始狀態標記為x0,即x(0)=x0,那么上式可以寫為則式(2.1)的解為02線性定常齊次狀態空間表達式的解與標量函數eat的定義類似，矩陣函數eAt的定義為02線性定常齊次狀態空間表達式的解如果給定初始狀態不是t=0,而是t=t0,即x(t0)=x0,那么可以類似解得02線性定常齊次狀態空間表達式的解至此就完成了對線性定常齊次狀態空間表達式的求解。式(2.10)描述的是系統在零輸入條件下，由初始狀態x,開始狀態變化過程，因此又稱為狀態空間表達式的自由解。03線性定常系統的狀態轉移矩陣PARTTHREE由2.2節得到了狀態空間表達式(2.1)的自由解03線性定常系統的狀態轉移矩陣線性定常系統狀態轉移矩陣的定義1綜上所述，利用狀態轉移矩陣可以將t時刻的系統狀態向量x(t)描述為由初始t0時刻的系統狀態向量x0經過與時間間隔相關的系統狀態轉移矩陣φ(t-t0)轉移得到。這種描述方式可以將系統本身特性與系統初始狀態對系統狀態向量的影響分開表示，這是狀態轉移矩陣的一大優點。同時，狀態轉移矩陣的其他性質也為系統的分析和計算提供了便利，下一節將對這些性質做統一介紹03線性定常系統的狀態轉移矩陣01性質2.1：φ(t-t)=I。證明：將t=0代入eAt的展開式(2.8),即可得到φ(t-t)=I。02性質2.2：φ(t?)φ(t?)=φ(t?+t?)。這一性質也被稱為狀態轉移矩陣的“組合性質”。這表明系統狀態由一時刻轉移到0時刻(即φ(一(-t?))=φ(t?)),再由0時刻轉移到t?時刻這一過程與狀態從一t?時刻直接轉移到t?時刻在結果上是等價的。03線性定常系統的狀態轉移矩陣線性定常系統狀態轉移矩陣的運算性質203線性定常系統的狀態轉移矩陣性質2.3:φ(t)-1=φ(一t)證明：因為φ(t-t)=I,且φ(t—t)=φ(t)φ(一t)，所以φ(t)φ(一t)=I。由此可以得到更(t)可逆，且更(t)-1=φ(一t)。03線性定常系統的狀態轉移矩陣03線性定常系統的狀態轉移矩陣1.特殊矩陣的矩陣指數在介紹如何求解任意矩陣At的矩陣指數之前，首先介紹幾種特殊矩陣的矩陣指數。(1)對角矩陣的矩陣指數一般情況下，矩陣At={aijt}的矩陣指數并不滿足eAt={eaijt}(如例2.1中的φ3(t)并非系統的狀態轉移矩陣),所以本節將討論如何求解eAt。03線性定常系統的狀態轉移矩陣線性定常系統狀態轉移矩陣的計算方法3證明：由A的形式可知03線性定常系統的狀態轉移矩陣(2)約當(Jordan)矩陣的矩陣指數若矩陣A滿足如下形式則稱A為約當矩陣，一般記為A=J,其對應的矩陣指數為03線性定常系統的狀態轉移矩陣請讀者自行完成式(2.25)的證明(提示：先求約當矩陣J的n階導數，再代入式(2.8)進行化簡)。(3)可通過非奇異變換轉化03線性定常系統的狀態轉移矩陣03線性定常系統的狀態轉移矩陣03線性定常系統的狀態轉移矩陣03線性定常系統的狀態轉移矩陣2.幾種求解矩陣指數的方法前面介紹了幾種特殊形式矩陣的矩陣指數計算方法，下面介紹一些更為普遍的矩陣指數計算方法。(1)公式法根據式(2.8)矩陣指數的定義直接計算此方法實現簡單、直觀，適于借助計算機求解。但是由于式(2.33)為無窮級數，只能得到一定精度的近似結果，難以得到解析解。03線性定常系統的狀態轉移矩陣03線性定常系統的狀態轉移矩陣03線性定常系統的狀態轉移矩陣【例2.3】使用拉普拉斯反變換法求解例2.2。03線性定常系統的狀態轉移矩陣03線性定常系統的狀態轉移矩陣03線性定常系統的狀態轉移矩陣0103線性定常系統的狀態轉移矩陣0103線性定常系統的狀態轉移矩陣03線性定常系統的狀態轉移矩陣03線性定常系統的狀態轉移矩陣03線性定常系統的狀態轉移矩陣03線性定常系統的狀態轉移矩陣03線性定常系統的狀態轉移矩陣03線性定常系統的狀態轉移矩陣03線性定常系統的狀態轉移矩陣04線性定常非齊次狀態方程的解PARTFOUR0104線性定常非齊次狀態方程的解0104線性定常非齊次狀態方程的解04線性定常非齊次狀態方程的解05線性時變系統狀態方程的解PARTFIVE05線性時變系統狀態方程的解時變特性在實際系統中普遍存在，系統自身參數、參考目標等都可能隨時間的變化而變化，如汽車跟蹤一個時變軌跡時，位置誤差系統就是一個時變系統。定常系統在一定程度上是時變系統的簡化和特例。本節將在前述線性定常系統的基礎上，進一步對線性時變系統進行分析和討論。針對線性時變系統的齊次狀態方程線性時變系統狀態轉移矩陣的求解105線性時變系統狀態方程的解05線性時變系統狀態方程的解05線性時變系統狀態方程的解線性時變系統狀態轉移矩陣的性質205線性時變系統狀態方程的解進一步對帶有輸入的線性時變系統進行分析，即線性時變非齊次狀態方程的求解問題。線性時變非齊次狀態方程可以寫成線性時變非齊次狀態方程的解305線性時變系統狀態方程的解05線性時變系統狀態方程的解06連續狀態方程的離散化PARTSIX06線性時變系統狀態方程的解隨著數字控制與計算機控制的日益發展，對離散系統的研究和分析逐漸成為現在科學技術發展的一個重要方向。在本章的前述內容中，我們主要針對連續系統進行了分析和討論，本節開始討論離散狀態方程的相關內容，首先學習如何把一個連續的狀態方程轉化為離散狀態方程，即連續狀態方程的離散化。線性定常連續狀態方程的離散化106線性時變系統狀態方程的解06線性時變系統狀態方程的解06線性時變系統狀態方程的解06線性時變系統狀態方程的解06線性時變系統狀態方程的解06線性時變系統狀態方程的解最終得到離散化結果為06線性時變系統狀態方程的解相較于典型的定常系統，時變系統的離散化更為復雜，通常假設在一個采樣周期T內A(t)、B(t)、C(t)和D(t)可以看作定值。對于連續時變系統若其狀態方程解為線性時變連續狀態方程的離散化206線性時變系統狀態方程的解則那么，式(2.99)離散化的狀態方程為其中與線性定常系統的離散化結果相似，C(kT)和D(kT)可以直接將kT=t代入C(t)和D(t)得到。06線性時變系統狀態方程的解回顧導數的定義此時再將t=kT代入式(2.104),可以得到將△t換成采樣周期T,當T足夠小時，有連續狀態方程離散化的近似解306線性時變系統狀態方程的解上述結論對于矩陣方程同樣成立，則由x(t)=Ax(t)+Bu(t)可得所以，當離散系統的采樣周期T足夠小時，可以近似地得到離散化結果對于時變系統，也可以得到類似結論07離散狀態方程的解PARTSEVEV07離散狀態方程的解對式(2.109)進行迭代得遞推法求解線性離散狀態方程107離散狀態方程的解由此可以推導出式(2.111)就是離散狀態方程(2.109)的解。采用迭代法也可以求得離散時變狀態方程的解，方法與上述過程相似。但是由于G(kT)和H(kT)的時變特點，最終結果將更為復雜。07離散狀態方程的解07離散狀態方程的解07離散狀態方程的解則有為簡化分析，不妨設ko=0,首先對式(2.109)進行Z變換，可得對式(2.117)兩邊同時進行Z反變換，得變換法求解線性定常離散狀態方程207離散狀態方程的解需要注意的是，與遞推法不同，Z變換法只適用于線性定常系統。盡管有此不同，對于線性定常離散系統兩種方法得到的解是等價的。對比式(2.111)與式(2.118)可以發現，與連續線性非齊次狀態空間表達式的解(2.64)相似，離散狀態空間表達式的解也可以分成兩部分：其中，φ(k)為離散狀態空間表達式的狀態轉移矩陣。07離散狀態方程的解則07離散狀態方程的解07離散狀態方程的解最后08MATLAB在線性系統動態分析中的應用PARTEIGHT08MATLAB在線性系統動態分析中的應用使用函數expm()可以計算輸入矩陣的矩陣指數。在線性系統的動態分析中，MATLAB有著廣泛的應用，借助這一數學工具可以大大簡化此過程。應用MATLAB計算線性定常系統的狀態轉移矩陣108MATLAB在線性系統動態分析中的應用求狀態轉移矩陣時，我們通常想要得到的是關于時間的矩陣Ar的矩陣指數，使用MAT-LAB也能做到。除expm()函數外，可以計算eAt的函數還有expmdemo1()、expmdemo2()、expmdemo3(),它們的區別只是逼近eAt的數學方法不同而已。08MATLAB在線性系統動態分析中的應用應用MATLAB求線性定常系統的時間響應208MATLAB在線性系統動態分析中的應用08MATLAB在線性系統動態分析中的應用除上述方法外，lsim()函數可以更方便地計算特定輸入下的線性系統時間響應。08MATLAB在線性系統動態分析中的應用繪制該系統零輸入條件下、單位正弦信號輸入下的系統輸出時間響應曲線。解：首先定義線性系統：之后定義系統輸入與初值：08MATLAB在線性系統動態分析中的應用狀態初值為[0,0],應用gensig()函數生成單位正弦函數，即周期為2π、時間間隔為0.01、總時長為50s的sin函數。最后輸入指令：就得到了系統狀態時間響應曲線，如圖2.1所示。08MATLAB在線性系統動態分析中的應用狀態初值為[0,0],應用gensig()函數生成單位正弦函數，即周期為2π、時間間隔為0.01、總時長為50s的sin函數。最后輸入指令：就得到了系統狀態時間響應曲線，如圖2.1所示。08MATLAB在線性系統動態分析中的應用MATLAB中的c2d()函數可以實現連續狀態空間模型的離散化。之后調用c2d()函數：函數變量中的“1”表示采樣周期為1,'zoh'表示采用零階保持方式計算離散空間模型，函數c2d()中還給出了'foh'等多種離散化的方法，感興趣的讀者可以調用helpc2d查看學習。應用MATLAB變連續狀態空間模型為離散狀態空間模型308MATLAB在線性系統動態分析中的應用前述指令最終顯示如下結果：08MATLAB在線性系統動態分析中的應用函數lsim()除可以分析連續系統外，對離散時間系統同樣適用。【例2.18】對例2.16中系統以采樣周期為1s進行離散化，并繪制在相同初始狀態與輸人下系統輸出的時間響應曲線。函數lsim()除可以分析連續系統外，對離散時間系統同樣