一、映射的概念及例

定義1

設A，B是兩個非空的集合，A到B的一個映射指的是一個對應法則，通過這個法則，對于集合A中的每一個元素x，有集合B中一個唯一確定的元素y與它對應.

用字母f，g，…表示映射.用記號表示f是A到B的一個映射.

如果通過映射f，與A中元素x對應的B中元素是y，那么就寫作這時y叫做x在f之下的象，記作.1.2映射注意:

①A與B可以是相同的集合，也可以是不同的集合②對于A的每一個元素x，需要B中一個唯一確定的元素與它對應.③一般說來，B中的元素不一定都是A中元素的象.④A中不相同的元素的象可能相同.

二、映射的相等及像

設是一個映射.對于，x的象.一切這樣的象作成B的一個子集，用表示：，叫做A在f之下的象，或者叫做映射f的象.

例令,那么.

設，都是A到B的映射，如果對于每一x，都有，那么就說映射f與g是相等的.記作

設是A到B的一個映射，是B到C的一個映射.那么對于每一個，是C中的一個元素.因此，對于每一，就有C中唯一的確定的元素與它對應，這樣就得到A到C的一個映射，這映射是由和所決定的，稱為f與g的合成（乘積），記作.于是有對于一切,f與g的合成可以用下面的圖示意：fgABC三、映射的合成

設給映射，，，有

.

設A，B是兩個非空集合，用和表示A和B的恒等映射.設是A到B的一個映射.顯然有：，.

設A是非空集合,，稱為A上的恒等映射。但是，一般情況下四單射、滿射、雙射

定義2

設f是A到B的一個映射，如果,那么說稱f是A到B上的一個映射，這時也稱f是一個滿映射，簡稱滿射.

是滿射必要且只要對于B中的每一元素y，都有A中元素x使得.

關于映射，只要求對于A中的每一個元素x，有B中的一個唯一確定的元素y與它對應，但是A中不同的元素可以有相同的象.

定義3

設是一個映射，如果對于A中任意兩個元素和，只要，就有，那么就稱f是A到B的一個單映射，簡稱單射.

定義3：如果f既是滿射，又是單射，即如果f滿足下面兩個條件:①

對于一切，那么就稱f是A到B的一個雙射或一一映射。②

定理1.2.1

令是集合A到B的一個映射.那么以下兩個條件是等價的：①f是一個雙射；②存在B到A的一個映射g，使得，再者，當條件②成立時，映射g是由f唯一確定的.一個有限集合A到自身的雙射叫做A的一個置換.1.3數學歸納法

內容分布

最小數原理

數學歸納法的依據教學目的

掌握最小數原理，并能熟練應用數學歸納法。重點、難點

最小數原理的理解，數學歸納法原理的證明。一、最小數原理

數學歸納法的理論依據——最小數原理（正整數的一個最基本的性質）.最小數原理正整數集的任意一個非空子集S必含有一個最小數，也就是這樣一個數，對任意都有.其中表示全體正整數的集合.1．最小數原理并不是對于任意數集都成立的2．設c是任意一個整數，令注意那么其代替正整數集，最小數原理對于仍然成立.也就是說，的任意一個非空子集必含有一個最小數，特別，N的任意一個非空了集必含有一個最小數.二、數學歸納法原理

定理1.3.1（數學歸納法原理）設有一個與正整數n有關的命題.如果①當n=1時.命題成立；②假設當n=k時命題成立，當n=k+1時命題也成立；那么這個命題對于一切正整數n都成立.

證設命題不對一切正整數都成立.令S表示使命題不成立的正整數所成的集合.那么.于是，由最小數原理，S中有最小數h.因為命題對于n=1成立，所以從而h-1是一個正整數.因為h是S中最小的數，所以.這就是說當n=h-1時，命題成立.于是由②，當n=h時命題也成立.因此.這就導致矛盾.

定理1.3.2（第二數學歸納法）設有一個與正整數n有關的命題.如果①當n=1時命題成立；②假設命題對于一切小于k的自然數來說成立，則命題對于k也成立；那么命題對于一切自然數n來說都成立.1.4整數的一些整除性質一、內容分布

整除與帶余除法

最大公因數

互素

素數的簡單性質二、教學目的

1.理解和掌握整除及其性質。

2.掌握最大公因數性質、求法。

3.理解互素、素數的簡單性質。三、重點、難點整除、最大公因數性質、互素有關的證明。

一、整除與帶余除法

設a，b是兩個整數，如果存在一個整數d，使得b=ad，那么就說a整除b（或者說b被a整除）。用符號a|b表示a整除b。這時a叫作b

的一個因數，而b叫做a的一個倍數。如果a不整除b，那么就記作.①②

③④⑤每一個整數都可以被1和-1整除。每一個整數a都可以被它自己和它的相反數-a整除⑥⑦

定理1.4.1（帶余除法）設a，b

是整數且，那么存在一對整數q和r，使得滿足以上條件整數q和r的唯一確定的。

證令。因為，所以S是N的一個非空子集。根據最小數定理（對于N），S含有一個最小數。也就是說，存在，使得r=b-aq是S中最小數。于是b=aq+r，并且。如果，那么，而所以。這是與r是S中最小數的事實矛盾。因此

.

假設還，使得于是就有。如果那么由此或者，或者。不論是哪一種情形，都將導致矛盾。這樣必須，從而

，也就是說二、最大公因數

設a，b是兩個整數，滿足下列條件的整數d叫作a與b的最大公因數：

；①。

如果②①一般地，設是n個整數。滿足下列條件的整數d叫做的一個最大公因數：②

定理1.4.2

任意個整數都有最大公因數。如果d是的一個最大公因數，那么-d

也是一個最大公因數；的兩個最大公因數至多只相差一個符號。

現證，任意n個整數有最大公因數。如果果，那么0顯然就是的最大公因數。I顯然不是空集，因為對于每一個i

證由最大公因數的定義和整除的基本性質，最后一個論斷是明顯的。設不全為零，考慮Z的子集又因為不全為零，所以I含有非零整數。因此是正整數集的一個非空子集，于是由最小數原理，有一個最小數d.下證明，d就是的一個最大公因數。首先，因為，所以d>0并且d有形式又由帶余除法，有

定理1.4.3設d是的一個最大公因數。那么存在整數，使得。如果某一，如，那么而。這與d是中的最小數的事實矛盾。這樣，必須所有，即。

另一方面，如果。那么

。這就證明了d是的一個最大公因數。三、互素的定義及其性質

設a,b是兩個整數，如果（a,b）=1，那么就說a與

b互素。一般地，是n個整數，如果，那么就說這n個整數互素。

（1）

定理1.4.4

n個整數互素的充分且必要條件是存在整數，使得

證如果互素，那么由定理1.4.2立即得到等式（1）成立。反過來，設等式（1）成立。令

那么c能整除（1）式中的左端。所以c|1，因此c=1,即。四、素數的定義及其簡單性質

定義

一個正整數p>1叫作一個素數，如果除±1和±p外，沒有其它因數。

定理1.4.5

一個素數如果整除兩個整數a

與b的乘積，那么它至少整除a與b中的一個。

證設p是一個素數，如果p|ab，但，由上面所指出的素數的性質，必定有（p,a）=1。于是由定理1.4.4，存在整數s和t使得

sp+ta=1

兩邊同乘以b

：spb+tab=b.左邊的第一項自然能被p整除；又因為p|ab，所以左邊第二項也能被p整除。于是p整除左邊兩項的和，從而p|b.

1.5數環和數域

定義1：設S是復數集C的一個非空子集，如果對于S中任意兩個數a,b

來說，a+b,a–b,ab都在S內，那么就稱S是一個數環。

例1

取定一個整數a，令那么S是一個數環。如取a=2，那么S就是全體偶數所組成的數環。一、數環和數域的定義證明：S顯然不是空集。設，那么所以S是一個數環。定義2

設F是一個數環，如果①F含有一個不等于