解工程問題的方法工程問題是研究工作量、工作效率和工作時間三者之間關(guān)系的問題。這三者之間的關(guān)系是：工作效率×工作時間=工作量工作量÷工作時間=工作效率工作量÷工作效率=工作時間根據(jù)上面的數(shù)量關(guān)系，只要知道三者中的任意兩種量，就可求出第三種量。由于工作量的已知情況不同，工程問題可分為整數(shù)工程問題和分?jǐn)?shù)工程問題兩類。在整數(shù)工程問題中，工作量是已知的具體數(shù)量。解答這類問題時，只要按照上面介紹的數(shù)量關(guān)系計算就可解題，計算過程中一般不涉及分率。在分?jǐn)?shù)工程問題中，工作量是未知數(shù)量。解這類題時，也要根據(jù)上面介紹的數(shù)量關(guān)系計算，但在計算過程中要涉及到分率。（一）工作總量是具體數(shù)量的工程問題例1建筑工地需要1200噸水泥，用甲車隊運需要15天，用乙車隊運需要10天。兩隊合運需要多少天？（適于四年級程度）解：這是一道整數(shù)工程問題，題中給出了總工作量是具體的數(shù)量1200噸，還給出了甲、乙兩隊完成總工作量的具體時間。先根據(jù)“工作量÷工作時間=工作效率”，分別求出甲、乙兩隊的工作效率。再根據(jù)兩隊工作效率的和及總工作量，利用公式“工作量÷工作效率=工作時間”，求出兩隊合運需用多少天。甲車隊每天運的噸數(shù)：（甲車隊工作效率）1200÷15=80（噸）乙車隊每天運的噸數(shù)：（乙車隊工作效率）1200÷10=120（噸）兩個車隊一天共運的噸數(shù)：80+120=200（噸）兩個車隊合運需用的天數(shù)：1200÷200=6（天）綜合算式：1200÷（1200÷15+1200÷10）=1200÷（80+120）=1200÷200=6（天）答略。*例2生產(chǎn)350個零件，李師傅14小時可以完成。如果李師傅和他的徒弟小王合作，則10小時可以完成。如果小王單獨做這批零件，需多少小時？（適于四年級程度）解：題中工作總量是具體的數(shù)量，李師傅完成工作總量的時間也是具體的。李師傅1小時可完成：350÷14=25（個）由“如果李師傅和他的徒弟小王合作，則10小時可以完成”可知，李師傅和徒弟小王每小時完成：350÷10=35（個）小王單獨工作一小時可完成：35-25=10（個）小王單獨做這批零件需要：350÷10=35（小時）綜合算式：350÷（350÷10-350÷14）=350÷（35-25=350÷10=35（小時）答略。*例3把生產(chǎn)2191打毛巾的任務(wù)，分配給甲、乙兩組。甲組每小時生產(chǎn)毛巾128打，乙組每小時生產(chǎn)毛巾160打。乙組生產(chǎn)2小時后，甲組也開始生產(chǎn)。兩組同時完工時超產(chǎn)1打。乙組生產(chǎn)了多長時間？（適于四年級程度）解：兩組共同生產(chǎn)的總?cè)蝿?wù)是：2191-160×2+1=1872（打）兩組共同生產(chǎn)的時間是：1872÷（160+128）=6.5（小時）乙組生產(chǎn)的時間是：6.5+2=8.5（小時）綜合算式：（2191-160×2+1）÷（160+128）+2=1872÷288+2=6.5+2=8.5（小時）答略。一同生產(chǎn)用了多少小時？（適于六年級程度）解：兩臺機器一同生產(chǎn)的個數(shù)是：108-45=63（個）第一臺機器每小時生產(chǎn)：第二臺機器每小時生產(chǎn)：兩臺機器一同生產(chǎn)用的時間是：63÷（4+5）=7（小時）綜合算式：答略。（二）工作總量不是具體數(shù)量的工程問題例1一項工程，甲隊單獨做24天完成，乙隊單獨做16天完成。甲、乙兩隊合做，多少天可以完成？（適于六年級程度）解：把這項工程的工作總量看作1。甲隊單獨做24天完成，做1天完成答略。例2一項工程，由甲工程隊修建需要20天，由乙工程隊修建需要30解：把這項工程的工作總量看作1，由甲工程隊修建需要20天，知甲工答略。例3一項工程，甲、乙合做5天可以完成，甲單獨做15天可以完成。乙單獨做多少天可以完成？（適于六年級程度）解：把這項工程的工作量看作1。甲、乙合做5天可以完成，甲、乙合需要多長的時間。=7.5（天）答：乙單獨做7.5天可以完成。例4有一個水箱，用甲水管注水10分鐘可以注滿，用乙水管注水8分鐘可以注滿。甲、乙兩管同時開放2分鐘后，注入水箱中的水占水箱容量的幾分之幾？（適于六年級程度）解：把水箱的容量看作1。用甲水管注水10分鐘可以注滿，則甲水管1的：答略。例5一項工程，由甲、乙、丙三人各自單獨做分別要用6天、3天、2天完成任務(wù)。如果三人合作需要幾天完成任務(wù)？（適于六年級程度）解：甲、乙、丙三人各自單獨做分別要用6天、3天、2天完成任務(wù)，=1（天）答略。所以，乙單獨做可以完成的時間是：綜合算式：=6（天）答略。以完成？（適于六年級程度）解：甲隊獨做3天，乙隊獨做5天所完成的工作量，相當(dāng)于甲乙兩隊合做3天，乙隊再獨做2天所完成的工作量。這時完成了全工程的：乙隊單獨做完成的時間是：答略。*例8加工一批零件，甲獨做需要3天完成，乙獨做需要4天完成。兩人同時加工完成任務(wù)時，甲比乙多做24個。這批零件有多少個？（適于六年級程度）解：解這道題的關(guān)鍵是，求出24個零件相當(dāng)于零件總數(shù)的幾分之幾。完成任務(wù)時甲比乙多做：綜合算式：答略。*例9一項工程，甲單獨做20天完成，乙單獨做30天完成。甲、乙合做了數(shù)天后，乙因事請假，甲繼續(xù)做，從開工到完成任務(wù)共用了14天。乙請假幾天？（適于六年級程度）解：根據(jù)“甲單獨做20天完成”和“從開工到完成任務(wù)共用了14天”，可知甲做了全工程的：乙做了全工程的：乙請假的天數(shù)是：14-9=5（天）綜合算式：答略。*例10一項工程，乙隊單獨做需要15天完成。甲、乙兩隊合做，比乙隊單獨做可提前6天完成。如果甲、乙兩隊合做5天后，再由甲隊單獨做，甲隊還需要多少天才能完成？（適于六年級程度）解：設(shè)這項工程為1，則乙隊每天做：兩隊合做時每天做：甲隊每天做：兩隊合做5天后剩下的工作量是：甲隊做剩的工作還需要的時間是：綜合算式：答略。（三）用解工程問題的方法解其他類型的應(yīng)用題例1甲、乙兩地相距487千米。李華駕駛摩托車從甲地到乙地，需要1小時；王明騎自行車從乙地到甲地需要3小時。照這樣的速度，兩人分別從兩地同時相向出發(fā)，經(jīng)過幾小時在途中相遇？一般解法：（適于四年級程度）用解工程問題的方法解：（適于六年級程度）把全程看作1。李華駕駛摩托車從甲地到乙地需要1小時，李華的速度就是1；王明騎自行車從乙地到甲地需要3小時，王明每1小時要行全程的例2某學(xué)校食堂購進(jìn)一車煤，原計劃燒60天。由于改進(jìn)了爐灶的構(gòu)造，實際每天比原來少燒10千克，這樣這車煤燒了70天。這車煤重多少千克？*一般解法：（適于四年級程度）10×60÷（70-60）×70=4200（千克）答：這車煤重4200千克。用解工程問題的方法解：（適于六年級程度）答略。一般解法：（適于六年級程度）答略。用解工程問題的方法解：（適于六年級程度）如果把這批零件的總數(shù)作為一項“工程”，以1表示，則這個工廠計劃因此，實際需要的天數(shù)是：答略。（四）用份數(shù)法解工程問題例1一項工程，甲隊單獨做9天完成，乙隊單獨做18天完成。甲、乙兩隊合做4天后，剩下的任務(wù)由乙隊單獨做。乙隊還需要幾天才能完成？（適于六年級程度）解：把整個工程的工作量平均分成9×18=162（份）甲隊每天可以完成：162÷9=18（份）乙隊每天可以完成：162÷18=9（份）甲、乙兩隊合做每天共完成：18+9=27（份）兩隊4天共完成：27×4=108（份）兩隊合做4天后，剩下的工程是：162-108=54（份）剩下的任務(wù)由乙隊單獨做，需要的天數(shù)是：54÷9=6（天）綜合算式：[9×18-(9×18÷18+9×18÷9)×4]÷9=[162-108]÷9=6（天）答略。例2一項工程，甲隊單獨做16天完成，乙隊單獨做20天完成。甲隊先做7天，然后由甲、乙兩隊合做。甲、乙兩隊合做還要多少天才能完成？（適于六年級程度）解：把這項工程的總工作量看做16×20份，則甲隊每天做20份，乙隊每天做16份。甲隊先做7天，完成的工作量是：20×7=140（份）甲隊做7天后，剩下的工作量是：16×20-140=180（份）甲、乙兩隊合做，一天可以完成：20+16=36（份）甲、乙兩隊合做還需要的天數(shù)是：180÷36=5（天）答略。例3一個水池裝有進(jìn)、出水管各一個。單開進(jìn)水管10分鐘可將空池注滿，單開出水管12分鐘可將滿池水放完。若兩管齊開多少分鐘可將空池注滿？（適于六年級程度）解：把注滿全池水所用的時間看作10×12份，當(dāng)進(jìn)水管進(jìn)12份的水量時，出水管可放出10份的水量，進(jìn)出水相差的水量是：12-10=2（份）甲、乙兩管齊開注滿水池所用的時間是：10×12÷2=60（分鐘）答：若兩管齊開60分鐘可將空池注滿。（五）根據(jù)時間差解工程問題例1師、徒二人共同加工一批零件，需要4小時完成。師傅單獨加工這批零件需要5小時完成。師、徒二人共同加工完這批零件時，徒弟加工了30個。這批零件有多少個？（適于六年級程度）解：從時間差考慮，師、徒共同加工完的時間與師傅單獨加工完的時間相差5-4=1（小時）。這說明師傅1小時加工的零件數(shù)等于徒弟4小時加工的零件數(shù)。所以，師傅5小時加工的零件就是這批零件的總數(shù)：30×5=150（個）答略。例2一份稿件需要打字，甲、乙兩人合打10天可以完成。甲單獨打15天可以完成。乙單獨打需要幾天完成？（適于六年級程度）解：從時間差考慮，甲、乙兩人合打完成與甲單獨打完，兩者的時間差是15-10=5（天），這說明甲5天的工作量相當(dāng)于乙10天的工作量。那么，甲15天的工作量，乙要工作：10÷5×15=30（天）答：乙單獨打需要30天完成。例3一輛快車和慢車同時分別從A、B兩站相對開出，經(jīng)過12小時相遇。已知快車行完全程需要20小時。求兩車相遇后慢車還要行多少小時才能到達(dá)A站？（適于六年級程度）解：從時間差考慮，兩車相遇與快車行完全程的時間差是20-12=8（小時）。這說明快車8小時行的路程相當(dāng)于慢車12小時行的路程。那么快車行12小時的路程，慢車要行多長時間？也就是兩車相遇后慢車還要行駛而到達(dá)A點的時間。12÷8×12=18（小時）答略。第三十七講、解流水問題的方法流水問題是研究船在流水中的行程問題，因此，又叫行船問題。在小學(xué)數(shù)學(xué)中涉及到的題目，一般是勻速運動的問題。這類問題的主要特點是，水速在船逆行和順行中的作用不同。流水問題有如下兩個基本公式：順?biāo)俣?船速+水速

（1）逆水速度=船速-水速

（2）這里，順?biāo)俣仁侵复標(biāo)叫袝r單位時間里所行的路程；船速是指船本身的速度，也就是船在靜水中單位時間里所行的路程；水速是指水在單位時間里流過的路程。公式（1）表明，船順?biāo)叫袝r的速度等于它在靜水中的速度與水流速度之和。這是因為順?biāo)畷r，船一方面按自己在靜水中的速度在水面上行進(jìn)，同時這艘船又在按著水的流動速度前進(jìn)，因此船相對地面的實際速度等于船速與水速之和。公式（2）表明，船逆水航行時的速度等于船在靜水中的速度與水流速度之差。根據(jù)加減互為逆運算的原理，由公式（1）可得：水速=順?biāo)俣?船速

（3）船速=順?biāo)俣?水速

（4）由公式（2）可得：水速=船速-逆水速度

（5）船速=逆水速度+水速

（6）這就是說，只要知道了船在靜水中的速度、船的實際速度和水速這三者中的任意兩個，就可以求出第三個。另外，已知某船的逆水速度和順?biāo)俣龋€可以求出船速和水速。因為順?biāo)俣染褪谴倥c水速之和，逆水速度就是船速與水速之差，根據(jù)和差問題的算法，可知：船速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2

（7）水速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2

（8）*例1一只漁船順?biāo)?5千米，用了5小時，水流的速度是每小時1千米。此船在靜水中的速度是多少？（適于高年級程度）解：此船的順?biāo)俣仁牵?5÷5=5（千米/小時）因為“順?biāo)俣?船速+水速”，所以，此船在靜水中的速度是“順?biāo)俣?水速”。5-1=4（千米/小時）綜合算式：25÷5-1=4（千米/小時）答：此船在靜水中每小時行4千米。例2一只漁船在靜水中每小時航行4千米，逆水4小時航行12千米。水流的速度是每小時多少千米？（適于高年級程度）解：此船在逆水中的速度是：12÷4=3（千米/小時）因為逆水速度=船速-水速，所以水速=船速-逆水速度，即：4-3=1（千米/小時）答：水流速度是每小時1千米。*例3一只船，順?biāo)啃r行20千米，逆水每小時行12千米。這只船在靜水中的速度和水流的速度各是多少？（適于高年級程度）解：因為船在靜水中的速度=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2，所以，這只船在靜水中的速度是：（20+12）÷2=16（千米/小時）因為水流的速度=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2，所以水流的速度是：（20-12）÷2=4（千米/小時）答略。*例4某船在靜水中每小時行18千米，水流速度是每小時2千米。此船從甲地逆水航行到乙地需要15小時。求甲、乙兩地的路程是多少千米？此船從乙地回到甲地需要多少小時？（適于高年級程度）解：此船逆水航行的速度是：18-2=16（千米/小時）甲乙兩地的路程是：16×15=240（千米）此船順?biāo)叫械乃俣仁牵?8+2=20（千米/小時）此船從乙地回到甲地需要的時間是：240÷20=12（小時）答略。*例5某船在靜水中的速度是每小時15千米，它從上游甲港開往乙港共用8小時。已知水速為每小時3千米。此船從乙港返回甲港需要多少小時？（適于高年級程度）解：此船順?biāo)乃俣仁牵?5+3=18（千米/小時）甲乙兩港之間的路程是：18×8=144（千米）此船逆水航行的速度是：15-3=12（千米/小時）此船從乙港返回甲港需要的時間是：144÷12=12（小時）綜合算式：（15+3）×8÷（15-3）=144÷12=12（小時）答略。*例6甲、乙兩個碼頭相距144千米，一艘汽艇在靜水中每小時行20千米，水流速度是每小時4千米。求由甲碼頭到乙碼頭順?biāo)行枰獛仔r，由乙碼頭到甲碼頭逆水而行需要多少小時？（適于高年級程度）解：順?biāo)械臅r間是：144÷（20+4）=6（小時）逆水而行的時間是：144÷（20-4）=9（小時）答略。*例7一條大河，河中間（主航道）的水流速度是每小時8千米，沿岸邊的水流速度是每小時6千米。一只船在河中間順流而下，6.5小時行駛260千米。求這只船沿岸邊返回原地需要多少小時？（適于高年級程度）解：此船順流而下的速度是：260÷6.5=40（千米/小時）此船在靜水中的速度是：40-8=32（千米/小時）此船沿岸邊逆水而行的速度是：32-6=26（千米/小時）此船沿岸邊返回原地需要的時間是：260÷26=10（小時）綜合算式：260÷（260÷6.5-8-6）=260÷（40-8-6）=260÷26=10（小時）答略。*例8一只船在水流速度是2500米/小時的水中航行，逆水行120千米用24小時。順?biāo)?50千米需要多少小時？（適于高年級程度）解：此船逆水航行的速度是：120000÷24=5000（米/小時）此船在靜水中航行的速度是：5000+2500=7500（米/小時）此船順?biāo)叫械乃俣仁牵?500+2