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文檔簡介

1高等數學

第二十一講2第四章微分法:積分法:互逆運算不定積分3二、基本積分表三、不定積分的性質一、原函數與不定積分的概念第一節不定積分的概念與性質

第四章4一、原函數與不定積分的概念引例:求質點的運動規律試求質點在時刻t

的瞬時速度定義1.

滿足在區間

I

上的一個原函數

.則稱F(x)為f(x)即已知某一函數的導數或微分要求出原來的函數。為了便于研究這類問題，已知作直線運動的質點的運動規律是則逆問題：速度的概念。已知作直線運動的質點在任一時刻的瞬時我們引進原函數與不定積分若在區間I

上定義的兩個函數F(x)及f(x)5例：是的一個原函數。是的一個原函數。是是的一個原函數。的一個原函數。是的一個原函數。6問題:1.在什么條件下,一個函數的原函數存在?2.若原函數存在,它如何表示?

定理1.

存在原函數.(下章證明)初等函數在定義區間上連續初等函數在定義區間上有原函數7定理2.原函數都在函數族(C為任意常數)內.證:1)又知故屬于函數族定理3：設和是的兩個不同的原函數，則它們之間只差一個常數。8定義2.在區間

I上的全體原函數稱為上的不定積分,其中—積分號;—被積函數;—被積表達式.—積分變量;(P185)若則(C為任意常數)C

稱為積分常數體現了全體原函數不可丟!例如,記作9不定積分的幾何意義:的原函數的圖形稱為的圖形的所有積分曲線組成的平行曲線族.的積分曲線

.10例1.

設曲線通過點(1,2),

且其上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標的兩倍,求此曲線的方程.解:設曲線為所求曲線過點(1,2),故有因此所求曲線為11例2.

質點在距地面處以初速力,求它的運動規律.解:

取質點運動軌跡為坐標軸,原點在地面,指向朝上,質點拋出時刻為此時質點位置為初速為設時刻

t

質點所在位置為則(運動速度)(加速度)垂直上拋,不計阻

先由此求

再由此求12先求由知再求于是所求運動規律為由知故13二、基本積分表(P188)從不定積分定義可知:或或利用逆向思維(k

為常數)可見，微分法和積分法是互逆運算，當積分運算記號與微分運算記號連在一起時，或相互抵消，或抵消后只差一個常數。即“先積后微，形式不變；先微后積，差個常數。”14或或1516例3.求解:

原式=例4.

求解:

原式=17三、不定積分的性質推論:

若則18注：在分項積分后，別

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