第一章二、收斂數列的性質三、極限存在準那么一、數列極限的定義第二節數列的極限數學語言描述:一、數列極限的定義引例.設有半徑為

r

的圓,逼近圓面積S.如下圖,可知當

n無限增大時,無限逼近S.當n

>

N時,用其內接正

n

邊形的面積總有劉徽(劉徽割圓術)播放數列的極限問題:當

無限增大時,是否無限接近于某一確定的數值?如果是,如何確定?問題:“無限接近〞意味著什么?如何用數學語言刻劃它.通過上面演示實驗的觀察:“無限接近〞的含義：只要n足夠大，可以小于任意給定的小正數。無論它多么小，定義:自變量取正整數的函數稱為數列,記作或稱為通項(一般項).假設數列及常數a有以下關系:當n>

N

時,總有記作此時也稱數列收斂,否那么稱數列發散.幾何解釋:即或那么稱該數列的極限為a,例如,趨勢不定收斂發散如果數列沒有極限,就說數列是發散的.注意：幾何解釋:其中例1.證明數列的極限為1.

證:欲使即只要因此,取那么當時,就有故例2.證明證:欲使只要即取那么當時,就有故故也可取也可由N

與

有關,但不唯一.不一定取最小的N.說明:

取例3.設證明等比數列證:欲使只要即亦即因此,取,那么當n>N時,就有故的極限為0.例證成立.由極限的定義可知:小結〔1〕用定義證數列極限存在時,關鍵是任意給定>0尋找N,使當n>N時，〔2〕為了找到上述N，常常先將適當放大為再令并從中能方便的解出此時取〔3〕有時為了方便，在不阻礙可以任意小的前提下，可事先設小于某個正數。二、收斂數列的性質證:

用反證法.及且取因故存在N1,從而同理,因故存在N2,使當n>N2時,有1.收斂數列的極限唯一.使當n>N1時,假設從而矛盾,因此收斂數列的極限必唯一.那么當n>N時,故假設不真!滿足的不等式例4.

證明數列是發散的.

證:

用反證法.假設數列收斂,那么有唯一極限a存在.取那么存在N,但因交替取值1與－1,內,而此二數不可能同時落在長度為1的開區間使當n>N

時,有因此該數列發散.2.收斂數列一定有界.證:

設取那么當時,從而有取那么有由此證明收斂數列必有界.說明:

此性質反過來不一定成立.例如,雖有界但不收斂.有數列3.收斂數列具有保號性.假設且有證:對a>0,取推論:假設數列從某項起(用反證法證明)保號性定理的推論2：在極限存在的前提下,對不等式兩邊可以同時取極限,不等號的方向不變,但嚴格不等號也要改為不嚴格不等號子數列的概念

在數列{xn}:x1,x2,

,xn,

中,保持各項原來的先后次序不變,自左往右任意選取無窮多項所構成的新的數列,稱為原數列的一個子數列,記為*********************4.收斂數列的任一子數列收斂于同一極限.證:設數列是數列的任一子數列.假設那么當時,有現取正整數K,使于是當時,有從而有由此證明*********************三、極限存在準那么由此性質可知,假設數列有兩個子數列收斂于不同的極限,例如，

發散!夾逼準那么;單調有界準那么;*柯西審斂準那么.那么原數列一定發散.說明:1.夾逼準那么(準那么1)(P50)證:

由條件(2),當時,當時,令那么當時,有由條件(1)即故例5.證明證:利用夾逼準那么.且由2.單調有界數列必有極限(準那么2)(P52)(證明略)例6.設證明數列極限存在.(P53～P54)證:利用二項式公式,有大大正又比較可知根據準那么2可知數列記此極限為e,e

為無理數,其值為即有極限.又內容小結*3.柯西極限存在準那么(柯西審斂原理)(P55)數列極限存在的充要條件是:存在正整數N,使當時,證:“必要性〞.設那么時,有使當因此“充分性〞證明從略.有柯西內容小結1.數列極限的“–N〞定義及應用2.收斂數列的性質:唯一性;有界性;保號性;任一子數列收斂于同一極限3.極限存在準那么:夾逼準那么;單調有界準那么;*柯西準那么

收斂的數列必有界.

有界的數列不一定收斂.

無界的數列必發散.

發散的數列不一定無界.思考與練習1.如何判斷極限不存在?方法1.

找一個趨于∞的子數列;方法2.

找兩個收斂于不同極限的子數列.2.,求時,下述作法是否正確?說明理由.設由遞推式兩邊取極限得不對!此處作業P301,*3

(2),*4

P564

(1),(3)4

(3)

提示:可用數學歸納法證第三節故極限存在，備用題

1.設,且求解：設那么由遞推公式有∴數列單調遞減有下界，故利用極限存在準那么2.

設證:顯然證明下述數列有極限.即單調增,又存在“拆項相消〞法劉徽(約225–295年)我國古代魏末晉初的杰出數學家.他撰寫的?重差?對?九章算術?中的方法和公式作了全面的評注,指出并糾正了其中的錯誤,在數學方法和數學理論上作出了杰出的奉獻.他的“割圓術〞求圓周率“割之彌細,所失彌小,割之又割,以至于不可割,那么與圓合體而無所失矣〞它包含了“用逼近未知,用近似逼近精確〞的重要極限思想.

的方法:柯西(1789–1857)法國數學家,他對數學的奉獻主要集中在微積分學,?柯西全集?共有27卷.其中