Page17安徽省合肥市2021-2022學年高一數學下學期期中試題(A卷)考生注意:1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍:人教A版必修第二冊到第八章8.4.一、單項選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數（其中是虛數單位）的虛部是（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接由復數代數形式的乘除運算化簡復數得答案．【詳解】解：，故復數的虛部為，故選：C【點睛】本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的基本概念，屬于基礎題.2.與向量平行的單位向量是（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】與向量平行的單位向量是，即可求解.【詳解】因為與向量平行的單位向量是，,所以,故選：D3.異面直線是指（）A.不同在任何一個平面內的兩條直線B.平面內的一條直線與平面外的一條直線C.分別位于兩個不同平面內的兩條直線D.空間中兩條不相交的直線【答案】A【解析】【分析】利用定義可以判斷選項A正確,借助空間想象力判斷選項BCD錯誤.【詳解】解：A.異面直線是指不同在任何一個平面內的兩條直線，所以該選項正確；B.平面內的一條直線與平面外的一條直線，可能平行、異面和相交，所以該選項錯誤；C.分別位于兩個不同平面內的兩條直線，不一定是異面直線，也有可能平行、異面和相交，所以該選項錯誤；D.空間中兩條不相交的直線，可能異面或者平行，所以該選項錯誤.故選：A4.數學家歐拉通過研究，建立了三角函數和指數函數之間的聯系，得到著名的歐拉公式(為虛數單位)，此公式被譽為“數學中的天橋”.根據歐拉公式，表示的復數在復平面中位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】由題可知對應在復平面的點為，由可判斷和的正負，進而得到答案.【詳解】由題，，其對應點為,因為知，，，所以點第二象限，故選：B5.在中，，，分別是，，的對邊，且，則的大小是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理求解.【詳解】解：因為，所以，即.于是，因為，所以.故選：C6.已知向量，，且與的夾角為鈍角，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由與的夾角為鈍角得，且不共線，再按照向量的坐標運算求解即可.【詳解】因為向量，，且與夾角為鈍角，由上述條件得，，且，不反向，由得，，.當，共線時有，，.此時，反向，因此實數的取值范圍.故選:D7.設直三棱柱的所有頂點都在一個球面上，，，且底面的面積為，則此直三棱柱外接球的表面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三角形面積公式求得，由正弦定理求得底面三角形外接圓半徑，設分別是和的外接圓圓心，則的中點是三棱柱的外接球球心，求球半徑后可得表面積．【詳解】設，因為，所以，，而，所以(于是是外接圓的半徑)，，即，如圖，設分別是和的外接圓圓心，由直棱柱的性質知的中點是三棱柱的外接球球心，，所以外接球為.于是球的表面積為.故選：C.8.的外接圓的圓心為，滿足且，，，則（）．A.36 B.24 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據已知條件，在兩邊分別乘以向量和，可以得到①，②，再根據、①②和①②，得到，聯立兩式即可求出.【詳解】如圖，設中點為，中點為，外接圓圓心為和垂直平分線的交點，則，同理，在兩邊分別乘以向量和，，即①，②，①②得，，即③，①②得，，即④，聯立③④，解得.故選：A【點睛】本題主要考查數量積的計算、三角形外心的概念和向量的運算，考查學生分析轉化能力和計算能力，屬于中檔題.二、多項選擇題；本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.在中，是中線，則下列等式中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】延長至，使，根據平面向量加法的平行四邊形法則，即可判斷A是否正確；由題意可知，結合，根據共線定理即可求出，即可判斷B,D是否正確；由于，同底，以及，結合相似關系，可得，即可判斷C是否正確.【詳解】延長至，使，如下圖所示，則是平行四邊形，所以，故A正確；因為，故B正確，D錯誤；分別故作邊的垂線，垂足分別為，如下圖所示：則，又，所以，所以與高之比為，又，的底均為，所以，故C正確.故選:ABC.10.下列命題中，正確的有（）A.若與是共線向量，則、、、四點共線B.若，則，，三點共線C.對非零向量，若，則D.平面內任意一個向量都可以用另外兩個不共線向量表示【答案】CD【解析】【分析】可以舉反例說明選項AB錯誤，可以利用數乘向量的性質和平面向量基本定理判斷選項CD正確.【詳解】對A，因為共線向量所在直線可以平行，所以選項A錯誤；對B，，，可以組成三角形，所以選項B錯誤；對C，因為，，所以，即，所以選項C正確；對D，根據平面向量基本定理，可以判斷該選項正確，所以選項D正確.故選：CD.11.設，是復數，則下列命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】CD【解析】【分析】舉反例證明選項A，B錯誤；利用一般情況證明選項C，D正確.【詳解】對A，取，，有，但，且，所以A錯誤；對B，取，，且，但，所以B錯誤；對C，設，則，因此，所以C正確；對D，設，，則由得，，，，因此，所以D正確.故選：CD.12.如圖，用小刀切一塊長方體橡皮的一個角，在棱、、上的截點分別是，，，則截面可以是（）A.等邊三角形 B.鈍角三角形 C.銳角三角形 D.直角三角形【答案】AC【解析】【分析】結合長方體的性質，法1：設，，，由勾股定理可得，，，根據余弦定理可判斷內角均為銳角，而當時，這個銳角三角形是等邊三角形，即可得到答案；法2：由，，根據的正負可判斷是銳角，同理判斷其他內角也為銳角，而當時，這個銳角三角形是等邊三角形，即可得到答案.【詳解】法1(余弦定理)：由題，如圖，設，，，則，，，在中，，所以是銳角，同理得到，，都是銳角，故C對.特別地，當時，是等邊三角形，故A對，故選：AC法2(向量法)：因為，，所以，因此是銳角，同理得到，都是銳角，故C對，特別地，當時，是等邊三角形，故A對，故選：AC三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若向量，，且，則實數的值是______.【答案】1【解析】【分析】由可知，即，進而求解.【詳解】因為，所以，則，即，解得，故答案為：114.設是虛數單位，如果復數的實部與虛部相等，則復數和復數在復平面內對應的兩點之間的距離是______.【答案】【解析】【分析】整理，由實部與虛部相等可得，則，進而求解.【詳解】由題，，則，所以，因此，在復平面內對應的兩點之間的距離是，故答案為：15.用半徑為1的半圓形紙板卷成一個圓錐筒，則該圓錐筒內切球的體積是______.【答案】【解析】【分析】根據題意得圓錐的母線長是1，根據半圓的弧長等于圓錐底面周長，得到圓錐底面的半徑，再利用軸截面的性質，結合三角形的面積等于三角形的周長乘以三角形內切圓半徑的一半，求得圓錐內切球的半徑，利用球的體積公式求得結果.【詳解】圓錐筒的母線長是1.設圓錐筒的底面半徑是，內切球的半徑是，則，.由，.故該圓錐筒內切球的體積是，故答案為：.16.在中，，，若中線的長為，邊的長為，則與的函數關系式是______，中線長的最小值是______.【答案】①.②.【解析】【分析】設，則，利用這兩個角結合余弦定理，整理可得與的函數關系，根據三角形中兩邊之和大于第三邊可得的范圍，進而結合二次函數性質求得的最小值.【詳解】由題，設，則，因為，則，如圖所示，在中，由余弦定理得①在中，②①+②得，，由，解得，因為，所以當時，的最小值為，故答案為：；四、解答題:共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.直角梯形的一個底角為，上底長為下底長的一半.將這個梯形繞下底所在的直線旋轉一周所形成的旋轉體的表面積為（1）求直角梯形的下底長；（2）求這個旋轉體的體積【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）由題畫出梯形，可得出各邊關系，且可知旋轉體為一個圓柱和一個圓錐的組合體，則，進而即可求解；（2）由（1）結合圓錐和圓柱的體積公式即可求解.【小問1詳解】如圖，在直角梯形中，，，，設，，則，，旋轉體是一個圓柱和一個圓錐的組合體，所以，即，解得，故直角梯形的下底長為2.【小問2詳解】由（1），因為圓柱的體積是，圓錐的體積是，所以這個旋轉體的體積為.18.已知復數滿足，其中是數單位，是復數的共軛復數（1）求復數；（2）若復數是純虛數，求實數的值【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）根據復數的相等及乘法運算可求解；（2）由純虛數的概念建立等式求解即可.【小問1詳解】設，，則，就是，即.于是，解得，所以.【小問2詳解】.此為純虛數，所以，即，因此.19.在平面直角坐標系中，為坐標原點，向量，，，（1）當時，試判斷，，三點是否共線，寫出理由；（2）若，，三點構成直角三角形，求實數的值【答案】（1）共線，理由見解析（2）或【解析】【分析】（1）利用向量共線的條件進行運算求解即可；（2）分三種情況分別計算數量積為0時，實數k的值即可.【小問1詳解】因為,,所以，且有公共點A,故，，三點共線.【小問2詳解】由(1)知，，，，若，則，即，.若，則，即，若，則，即，，無實根.故實數的值為或.20.設的內角，，所對的邊分別為，，，向量與向量平行.（1）確定角和角之間的關系；（2）若是銳角三角形，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據向量共線坐標所滿足的關系，建立等量關系式，利用余弦倍角公式，結合角的范圍，得到；（2）結合正弦定理，以及（1）的結論和正弦倍角公式得到，根據銳角三角形，得到，進而求得結果.【小問1詳解】由得，即，因為，，所以，.【小問2詳解】.由是銳角三角形得，解得于是，，故的取值范圍是.【點睛】該題考查的是有關三角和向量的綜合題目，在解題的過程中，注意利用向量共線建立等量關系式，注意根據三角函數值相等得到角的關系時，一定注意角的范圍，最后得范圍時要注意根據銳角三角形正確求得角的范圍.21.一次機器人足球比賽中，甲隊1號機器人在點處，2號機器人在點處，3號機器人在點處，且，，米，如圖所示（1）求1號機器人和2號機器人之間的距離；（2）若2號機器人發現足球在點處向點作勻速直線動，2號機器人則立刻以足球滾動速度的一半作勻速直線運動去攔截足球.若已知米，忽略機器人原地旋轉所需的時間，則2號機器人最快可在何處截住足球？【答案】（1）米（2）可在線段上離點7米的點處截住足球【解析】分析】（1）直接由正弦定理即可得結果；（2）設2號機器人最快可在點處截住足球，利用余弦定理解出即可.小問1詳解】在中，由正弦定理得，即，故1號機器人和2號機器人之間的距離為米【小問2詳解】如圖，設2號機器人最快可在點處截住足球，點在線段上設米.由題意，米.米在中，由余弦定理得，整理得.解得，.所以，或