簡諧地震動作用下單自由度體系反應譜特性研究

1976年唐山地震、1989年潘基蒂拉地震、1994年北科周期地震、1995年kober地震和1999年聯合地震發生在人口相對集中的城市和附近城市。然而，在地震振動模式中，關于近地地震的規定很少。對近場地震動的研究表明,地震應力波沿斷層運動方向傳播時產生的速度和位移脈沖,將導致斷層沿滑移方向產生不可恢復的位移變形。圖1為美國1992年Landers地震中LucerneValley臺站記錄到的水平分量地震記錄。從圖中可以看出,加速度時程中所包含的長周期分量在速度時程中明顯地表現了出來。通常認為,斷層滑移時產生的地震動長周期分量會對長周期結構造成嚴重的破壞。而地震波是一種十分復雜的波,實際地震波可以看成是由許多頻率不同的簡諧波分量組成的,因此,對最簡單的地震波——簡諧地震波反應譜的研究不僅有助于認識一般地震動反應譜的特性,而且對認識近場地震動及其反應譜的特性有著重要意義。近場地震動長周期分量使長周期結構產生類共振現象,從而引起這類結構的破壞。而有關近場地震動高頻分量對長周期結構作用的研究尚不可見。事實上,高頻簡諧加速度產生的速度脈沖也會引起長周期結構產生很大的位移,而在對單自由度體系的簡諧作用動力分析中,往往只考慮體系的穩態響應,忽略其瞬態反應,這也就忽略了高頻簡諧加速度分量作用下長周期結構產生的位移反應。本文基于結構動力學的基本理論,詳細分析了簡諧地震動作用下單自由度體系的動力反應,討論了簡諧地震動反應譜的特性以及影響諧波地震動反應譜的因素。研究結果表明:輸入的高頻簡諧加速度會引起長周期結構產生很大的位移,這種位移可能超過高頻激勵引起的結構共振產生的位移,而高頻波引起長周期結構產生的最大位移反應發生在結構體系的瞬態響應階段。因此,近場地震動情況下,結構的抗震設計不僅要考慮共振,還應充分考慮到結構的瞬態位移反應。1振動方程的理論解圖2所示為一在地面加速度üg0sinθt作用下的單自由度振動體系。üg0、θ和t分別為簡諧地面加速度的幅值、頻率和作用時間;m、k和h分別為體系的質量、彈簧剛度和阻尼系數。根據牛頓第二定律,單自由度體系的運動方程為:式中:ü、、u分別為體系隨時間t變化的相對加速度、相對速度和相對位移;ω為不考慮阻尼時體系的自振頻率。方程(1)的理論解為:其中為考慮阻尼時體系的自振頻率。在零初始條件u=u()0=0,情況下,系數A、B、C和D分別為:可見方程(1)的理論解由瞬態自由振動解與穩態受迫振動解組成。研究表明[3～5],地震動持時是影響反應譜形狀的因素之一。本文對簡諧地震動反應譜的討論中,在考慮地震動持時這一影響因素時,為了反映更一般的情況,對簡諧地震動的加速度、速度與位移反應譜進行了雙標準化(或雙規準化)處理,即:用它們的縱坐標值分別除以üg0,üg0/θ與üg0/θ2得到相應反應譜的標準化幅值;用它們的橫坐標值除以簡諧波的振動周期Tg,從而用作用循環周期數i=t/Tg來反映簡諧地震動的作用持時。本文采用的地震波是理想情況下的簡諧波,因此其速度、位移時程可以通過分別對加速度時程的一次、二次積分并考慮零初始條件得到。以下的討論中體系的阻尼比都按ξ=0.05考慮。2簡單地震法震源的反應譜2.1加速度譜的分析在給定簡諧地面運動加速度時程的情況下,根據式(2)、(3),可求得自振頻率為ω,阻尼比為ξ的單自由度體系的最大位移反應為:相應地,體系的偽速度PSV與偽加速度PSA可以根據關系式:求出。圖3給出了不同簡諧波作用循環周期數(i=t/Tg=10,4,2和1)情況下的雙標準化反應譜。從圖3中可以看出:(1)受阻尼和持時的影響,加速度譜的峰值發生在T/Tg<1的位置,而速度譜與位移譜的峰值出現在T/Tg>1的位置,隨阻尼比系數的減小和作用循環周期數的增大,反應譜的峰值位置T/Tg→1。(2)相同作用循環周期數的加速度譜值的大小只與地面簡諧波的加速度幅值有關,速度和位移譜的譜值不僅與地面加速度幅值有關,還與波的振動頻率有關。(3)簡諧地震波的速度譜值在峰值與峰值以前的部分略小于偽速度譜值,在峰值以后的部分明顯大于偽速度譜值,速度譜值在長周期段(θ>>ω)趨于地面運動速度的幅值。(4)簡諧地震波的反應譜在共振區出現峰值,峰值隨作用循環周期數的增加明顯增大。在位移譜中,長周期段(θ>>ω)的譜值隨作用循環周期數的增加呈階梯狀上升的趨勢,當作用循環周期數一定時,位移譜值逐漸趨于地面位移的幅值。作用循環周期數越多,長周期體系的位移反應也越大,其譜值可能遠遠超過引起共振體系的最大位移反應。2.2加速度、速度和絕對加速度實際工程中通常認為瞬態自由振動很快衰減掉從而可以忽略不計。若僅考慮方程(1)的穩態解則有:系數C、D見式(3)。式(6)也可寫做:令頻比β=θ/ω,系數Ast和ε分別為:則任意時刻體系的穩態位移、速度、加速度和絕對加速度反應分別為:其中:RD、RV和RA分別為位移、速度和加速度動力放大系數,且它們存在以下關系:系數C1和D1分別為:體系的絕對加速度幅值為:其中TR為加速度傳遞系數,且:于是可求得體系的最大穩態位移、速度和絕對加速度反應分別為:則簡諧地震波的穩態加速度、速度和位移譜(見圖4)之間存在以下關系:從圖4中可以看出:(1)僅考慮穩態解時,忽略阻尼的影響,加速度譜與速度譜之間近似存在關系SAst≈ωSVst,這與全解反應譜中偽加速度譜與偽速度譜之間的關系相同。而速度譜與位移譜之間在譜值上僅一常數θ之差,形狀完全相同。(2)簡諧波的穩態速度譜與位移譜在過峰值以后的長周期段(θ>>ω)都趨于常數。2.3最大瞬態位移約發生時間由式(2)、(3)知,單自由度體系在任意時刻的瞬態位移解為:式(18)也可寫做:其中:由于瞬態解中包含隨時間t變化的衰減項,所以其最大反應與式(19)中的相位角φ有關。但不難看出,當ω<<θ時,相位角φ→0,最大瞬態位移約發生在t=T/4(T為體系的自振周期)時刻。當地面簡諧地震動加速度時程給定后,單自由度體系的最大瞬態位移反應為:對式(19)分別求一次、二次導數,忽略阻尼的影響,可得到瞬態解加速度、速度與位移反應譜之間近似存在以下關系:圖5給出了不同作用循環周期數情況下的簡諧波瞬態解的雙標準化反應譜。從圖5中可以看出:(1)簡諧地震波的瞬態解加速度、速度和位移譜之間與全解偽加速度譜、偽速度譜和位移譜之間有大致相同的關系。(2)簡諧地震波的瞬態解譜與全解譜的其它特征基本相同。2.4全解和瞬態解的比較由本文對單自由度體系的動力反應分析可知,簡諧地震波全解反應譜、穩態解反應譜和瞬態解反應譜之間存在一定的差別。圖6是簡諧地震波三種雙標準化反應譜之間的比較。這里全解譜和瞬態解譜采用的簡諧地震波的作用循環周期數都為i=10。由圖6可以看出:(1)簡諧地震波的全解反應譜、穩態解反應譜和瞬態解反應譜都在共振區出現峰值,且峰值大小都比較接近。(2)在簡諧地震波反應譜峰值以前的高頻段(θ<ω),無論是加速度譜、速度譜還是位移譜,都以全解譜的譜值為最大,瞬態解譜的譜值最小。而在過峰值以后的長周期段(θ>>ω),全解譜譜值近似等于穩態解譜值與瞬態解譜值之和。3列簡諧波的加速度特征工程地震中常用的傅里葉譜是把復雜的地震動時程a(t)展開為N個不同頻率三角級數的組合:式中A(ωj)與?(ωj)分別為頻率分量ωj的幅值和相位,稱為傅里葉幅值譜和傅里葉相位譜,兩者合稱為傅里葉譜,頻域中的傅里葉譜和時域中的時程是完全等價的。為了說明簡諧波與其疊加波之間的關系以及它們反應譜的特性,本文在不考慮頻率分量相位的情況下,以三列振動幅值相同,振動周期分別為0.2s、0.4s和1s,且作用時間都為4s的簡諧波為例,三列簡諧波及其疊加波的加速度時程如圖7所示。圖8(a)、(b)和(c)分別為三列簡諧波及其疊加波的加速度標準化反應譜、速度標準化反應譜和位移標準化反應譜(將它們的加速度、速度和位移反應譜的縱坐標值分別除以疊加波的最大加速度、速度和位移得到標準化幅值)。由圖8可以看出:疊加波的反應譜明顯地表現出其所包含的各簡諧波分量;各簡諧波的反應譜峰值與疊加波反應譜中各對應分量的峰值大小基本接近;疊加波的譜值不小于各組成諧波分量的譜值,在長周期段,疊加波的反應譜值可近似表示為其各組成諧波分量反應譜譜值之和,而在位移反應譜中這一特點表現的更為明顯。眾所周知,在近斷層場地,地面結構主要受來自地震動中產生的體波的影響,而體波中含有豐富的縱波和橫波分量,其中縱波的周期短,振幅小,而橫波的周期較長,振幅較大。盡管振幅較小的縱波本身不會使結構產生較大的位移反應,但如果再與橫波造成的結構位移反應進行疊加,那么高頻分量豐富的體波對地面結構的位移反應影響將是十分顯著的。4反應譜和解析法(1)在簡諧地震波引起的結構體系的自由瞬態振動階段,其最大位移反應與結構的固有振動周期成正比。在高頻簡諧加速度波的作用下,長周期結構的最大位移反應會遠遠超過高頻波引起的共振結構的最大位移反應。因此,近場地震動情況下,自由瞬態振動可以引起結構產生很大的位移反應。(2)抗震設計所關注的主要是結構在地震作用下的最大反應,反應譜恰好表現出了這一要求,而至于最大反應究竟發生在結構的穩態振動階段還是瞬態振動階段卻并不明確。從簡諧波的反應譜來看,結構的最大位移反應不僅可能發生在共振情況下,還可能發生在自由瞬態振動階段,因此,結構抗震不僅要避免共振發生,還須充分考慮到結構瞬態自由振動階段的位移破壞