物理學中的對稱性與守恒定律

現代音樂家充分運用類比原則，探索未知的基本原理。作為大學物理教學,應當把對稱性原理及對稱性與守恒定律的關系介紹給學生,使他們學會從普通物理的對稱性理論去思考問題,充分利用守衡量,提出問題和分析問題,以達到對問題的一個總體估計和理解。所以,如何引入“對稱性”概念,給工科物理以新的視野,成為許多人關心的問題。一、變性、對稱和堅守對稱性是人們在觀察和認識自然過程中所形成的一種觀念。它最早是一個幾何學上的概念,其實就是某種不變性。比如,說某個圖形具有旋轉對稱性,就意味著該圖形繞某一個固定的軸轉某一角度后,圖形保持不變。因此對稱性可概括為:如果某一系統(或現象)在某一變換下不改變,則說該系統(或現象)具有該變換條件下所對應的某種對稱性(不變性)。在物理學中,對稱性具有深刻的含義,它指的是物理規律在某種變化下的不變性。比如力學規律在勻速坐標系下的不變性,即伽里略變換下的不變性,它是牛頓力學的基礎之一。對稱性原理則是對稱性理論的概括,它是由皮埃爾·居里(Pierrecunie)首先提出的。它的內容是:原因中的對稱性必然反映在結果中,即結果中的對稱性至少有原因中對稱性那樣多。反過來說,結果中的不對稱性必然在原因中有所反映,即原因中的不對稱性至少有結果中的不對稱性那樣多。一般來說,自然界千變萬化的運動,都會從一些方面顯現出各式各樣的對稱性,同時又通過對稱性的演化和破缺來反映運動演化的特點。在實際中人們對某一規律的認識,更多地是先認識其中所包含的對稱性,并且對這些對稱性的認識往往在進一步認識物理規律中起著重要作用。所以對稱性的研究是物理學規律探索的重要方面。對稱性制約作用量的形式,然而物理學家并不可能先驗地知道我們這個世界所涉及到的全部對稱性,而已經確實知道的對稱性又不足以完全確定作用量的形式。盡管作用量可能具有的形式已經大大受到限制,但他們仍然可以具有許許多多種可能的對稱形式。物理學家們不得不采用試探性的方法,根據物理上的可能性依次考察每一個作用量的候選者,這種試探性的方法艱巨而繁難,而且很難說是有成效的。1916年諾特(A·E·Noether)提出一個著名定理,給探尋作用量的形式帶來了曙光。諾特定理是說,作用量的每一種對稱性都對應一個守恒定律,有一個守恒量。對稱和守恒這兩個概念是緊密地聯系在一起的。而且,當代物理學已證明,每一種對稱性就相應地存在一個守恒定律,這是一個普遍的物理學原理。二、學以十分困難描述對稱性的數學工具是群論,這對于工科物理教學是十分困難的。那么如何用普物的方法介紹對稱性原理在大學物理中的應用呢?力學中的三大守恒定律與時空對稱性的密切關系就是一個很好的例子。1.u3000能量的守恒性只要實驗條件相同,任何一個物理實驗的過程和結果都與它在什么時間做的沒有關系。因此,物理規律具有時間平移不變性。它要求物理定律不隨時間變化,即昨天、今天和明天的物理定律都應該是相同的。時間平移不變性又稱時間均勻性或時間平移對稱性。此對稱性與能量守恒對應。質量為m的一個粒子,在勢能V(x,t)場中作一維運動,其受力為F(x)則F做功AA=∫x2x1Fdx=-∫x2x1?V?xdx(1)?V?xdx(1)一般情況dV=?V?xdx+?V?tdt(2)dV=?V?xdx+?V?tdt(2)將(2)代入(1)得A=∫x2x1?dV+?V?tdt(3)-dV+?V?tdt(3)再由動能定理A=E2-E1,(3)式變為(E為動能)(E2+V2)-(E1+V1)=∫x2x1?V?tdt?V?tdt若熱能函數不隨時間t變化時即?V?t=0?V?t=0,則E2+V2=E1+V1=恒量。這說明當勢能函數對時間平移具有不變性時,能量具有守恒性。用對稱性原理可表述為,有勢能對時間平移的不變性,就必有能量的守恒性。可見,如果物理定律隨時間變化,例如重力法則隨時間變化,那就可以利用重力隨時間的可變性,在重力變弱時把水提升到蓄水池中去,所需做的功較少;在重力變強時把蓄水池中的水泄放出來,利用水力發電,釋放出較多的能量。這是一架不折不扣的能創造出能量的第一類永動機,這是與能量守恒定律相違背的。這就清楚地說明時間平移對稱性與能量守恒之間的聯系。2.把握各奏動量函數的運動規律一個物理實驗與它所處的空間位置沒有關系。只要實驗條件相同,在兩個不同地方所做的實驗結果都相同。因此,物理規律具有空間平移不變性。空間平移不變性也稱空間均勻性或空間平移對稱性。此對稱性與動量守恒對應。質量為m的一個粒子,在勢能V(x,t)的場中作一維運動,若P為粒子的動量函數,其運動由下面方程所決定。dpdt=F=??V?xdpdt=F=-?V?x若空間勢能函數V不隨位置x變化,即?V?x=0?V?x=0,則p=恒量。這說明,當勢能函數對空間平移具有不變性時,動量具有守恒性。即有勢能對空間平移的不變性,必有動量的守恒性。例如,考慮兩個質點組成的系統,它們的相互作用能為U,U是這兩個質點位置r1、r2的函數U(r1、r2),由于物理定律具有空間平移對稱性,質點的絕對位置是一個不可觀測量,質點間的相互作用勢能只能依賴質點間的相對位置,即U(r1-r2)。將質點1和質點2移動相同的小量,相互作用能U不變,則相互作用力做功的總和為零。由于位移相同,因此系統相互作用力之和為零,即兩個質點之間的作用力與反作用力大小相等,方向相反,且在一條直線上,這正是牛頓每三定律。而我們知道,在力學范圍內牛頓第三定律與動量守恒是互為因果的。可見空間平移對稱性與能量守恒之間的聯系。3.時空對稱結構的分布和作用原理只要實驗條件相同,物理實驗與空間的取向無關。把實驗裝置轉換一個方向,并不影響實驗過程和結果,因此,物理規律具有空間轉向不變性,空間轉向不變性也叫空間同向性或空間轉向對稱性。此對稱性與角動量守恒對應。一個質量為m的粒子,在勢能V(x,y,t)的場中作二維運動,且繞Z軸轉動如果用極坐標(γ,θ)代替笛卡爾坐標(x,y),則粒子的轉動方程為:dLzdt=γFθ=??V?θdLzdt=γFθ=-?V?θ其中L為角動量,若勢能函數V(x,y,t)不隨空間變化時,即?V?θ=0,?V?θ=0,則Lz=恒量。這說明,當勢能函數對于空間轉向具有不變性時,角動量具有守恒性。即有勢能的空間轉向不變性,必有角動量的守恒性。例如,考慮兩個質點組成的系統,固定質點1,將質點2以質點1為中心移動一小段弧長S,如果相互作用力存在切向力分量,則相互作用能改變為U=f切S。空間各向同性意味著兩個質點相互作用勢能只與它們之間的距離有關,與兩者聯線在空間的取向無關,所以移動操作不改變相互作用能,從而U=0,于是相互用力切向分量f切=0,或者說兩質點的相互作用力沿兩者的聯線,這與“角動量守恒”是等價的,從而空間各向同性與角動量守恒是聯系在一起的。綜上所述,對力學三大守恒定律可以提高到時空對稱性的高度去理解,從而使學生明確三大守恒定律是比牛頓運動定律還要高一個層次的理論,它是物理學中最普遍的規律在經典力學中的反映。當然,如果還要展開講,那么對稱性原理在電磁學中的應用,在量子力學中的應用都可聯系工科物理的內容來介紹。總之,揭示系統所具有的各種對稱性,尋求對應的物理量,或者反過來用守恒量去探求系統所具有的對稱性,已成為當代物理學重要而卓有成效的方法之一。對稱性在物理學中具有深刻的意義。一種對稱性的發現遠比一種物理效應或具體物理規律的發現的意義要重大得多!例如,源于電磁理論的洛侖茲變換變換不變性,導致力學的革命;愛因斯坦為尋找引力理論的不變性而創立了廣義相對論;狄拉克為使微觀粒子的波動方程具有洛侖茲變換不變性,修正了薛定諤方程,并根據方程解的對稱性預言了反電子(正電子)的存在,進而使人們開始了