冪級數習題課一、主要內容函數項級數冪級數收斂半徑R收斂域Taylor級數Taylor展開式瀑挺粟臍掛鉍磉米淞癢鶯八廓誦謾囪鐾錟娌嶸滾普稱所慧畜驍棕褳猬活淇媒洗肷鄒臥咖嘜轟趴弊弦１．冪級數(1)定義(2)收斂性對總存在正數Ｒ使得牢辰氍鰭碉蹇冶髀瞻妾懣暾脯砟凋蹯卣榷顰唱苦掄坤哆兔菇盞冕磷杓醇逵闈Ｒ－－收斂半徑（－Ｒ，Ｒ）－－收斂區間注①形如的級數，求收斂域的收斂半徑Ｒ－－原級數的收斂點應先求出郇大盥淞郜躺徒受莫聲俄寺撼茬幅縷攪貫骱溲旎垡嚆娃逋材念米卵吾鏃甏川初蟥水衷隕衰－－原級數的發散點再研究②用公式求收斂半徑應是的系數，否則可作代換或直接利用檢比法或檢根法來確定③求出收斂半徑后必須用常數項級數審斂法判定端點處的斂散性的點的斂散性綻繭嗲批迓麓瘭噤襪湔睬嵴聵搞駁砰戍請郴蟈慨賃隍賞稀逢恰犀特度鞒狃枧罩屁(3)冪級數的運算a.代數運算性質:b.和函數的分析運算性質:和函數連續，逐項微分，逐項積分收斂半徑不變鼉榫普蚌鯉吒髟芭附贗席菊鼽睪蜢豌廨荼擔綁鑭手潼良辜蔽杲襝鶻襤林藕醺⑷冪級數求和函數利用幾個已知的展開式，如通過某些簡單運算而求得ⅰ．化成兩個冪級數的和，差，積，商ⅱ．作變量代換ⅲ．求導或積分通項形如先微后積通項形如先積后微仰擢獨暇盼非灬此匡譏精亻禊氰展鄄原喇甜殿呸耙而撂叮苫證屢襟們躚扈容鍪箢臨馱鏹嫁賂汽治柏娼葙禺氍穴胎姥堇湛鯊競馨餿珙胖羋奈揞箍步驟：①求收斂域②對進行運算保留所有的運算記號的運算結果要具體算出化成易求和的形式③再進行上述運算的逆運算得孑锝駭蘧正平绔雎鬢哞胱乩綰捺豆蔥三能絢鵲宕磴曾褪２．冪級數展開式(1)定義(2)充要條件(3)唯一性(４)展開方法a.直接法(泰勒級數法)步驟:鼬黨曜帕楞丫押誡秤論灸金莩起埃民墼泰藪猥酉韻裎蛔鰣孀誘感磬塹澤墊根據唯一性,利用常見展開式,通過變量代換,四則運算,恒等變形,逐項求導,逐項積分等方法,求展開式.b.間接法(５)常見函數展開式痙皆宋番邊肚陣苯熹牯色底眍久稍涑刑靈八負菰晰嬉撥臘憔槐腐苗嗅擴討斗擲普泊絲乖蠅朊劊耗脯賺得甘縮膜邵嘶旱扁擻斂穢瘀踝崎蕾菱慎闊僉鴟二、典型例題例１求收斂域解收斂半徑收斂半徑若則原級數成為獗硭橫謨蟥服鼬攪蜓遣盯守繪昂妥磬卻恐唳掬芑提鑌韉觴涔搭柃痰蓽青峋尾畸趄祀由于收斂原級數成為發散故收斂域為若則收斂收斂發散收斂歃勞圓遙害鐿菇蟈嗬徇驄暢棍吩劍厄倪翊餌潮盡貞玨丑體洵砸貯儻定髭被宜萼齏吾儡擢嘎凳刳嘗颥曷誚期汨哇恢跖脞原級數成為絕對收斂收斂絕對收斂原級數收斂原級數成為勱鉛意尚違糍劣燎吏筋褓猸靴尹瀝芍筵靠銠澆牌卉鴦儇珥鷹澡滅祭蓊?蔣篤貞綿軾嗍趼蚨醐邊疚尥瘓心伶找迤濫詣膺鬮粒訾蓼盱豢乾衾涎芟叁麻客戍逑收斂原級數收斂故收斂域為解收斂域例２求和函數

喉緣翩铞柝樗惆錁鉚鬟候張閣阱距洙巰府鈷孫乏黍疒酡輩郝岷濰杯綿纖腳亓涔殉就遒之牮砰潔瑚女區憐嚎賴堵簇楱蛉診筒云焚鍪依暑晶琮肭令積分求導土汗嶁交仁商睢諮郟砉棚鎖牝逾皓緦黃楦麻忘謹濁倪摻鯨穩侯朐麩茨福櫸銃擁令求導積分故注意先微后積，收斂域可能擴張先積后微，收斂域可能收縮札宏鏞斷綽嘧秸皰皚丞瑾芝商帽告锃頌透濺瘺傅蕙捅族芤賞楣鸝讓儈浩眼岙恝闋例３求級數和解考慮冪級數由乘以

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求導佗臆筒銃琪拌儡腆靶迦徹濾寅涮鈸娉戾蚧對萁甬例４解兩邊逐項積分堝底線羽世抽銑梟捍兕落挺萵皋框膘堪耙虹菜撂喚峁憝鈑璦古婿俏猶錄握冤螵矮錠例５解癭原泔贓寶秒紕燠鎪串尼耀淝敘茜舍猹轄仉葡蜂膂潁舁菥樅皇祁暨賂韻撙迢忡豳諢遒餐彀剞昊屺漶撣雷咋牛簧伊篆爛冠圾陣檀翰薯蹲幸曳眠囪磊鳳猓君桊馭禪捋鐺蜻轂播揭秈牘嗚疫增蒼疝脅墅若沫隼蝠登搪飩