第二節二重積分的計算方法第八章一、利用直角坐標計算二重積分二、利用極坐標計算二重積分三、小結與思考練習9/26/20231第二節二重積分的計算方法第八章一、利用直角坐標計算設所給立體垂直于x軸的截面面積為A(x),則對應于小區間的體積元素為因此所求立體體積為上連續,復習:平行截面面積為已知的立體的體積如果一個立體不是旋轉體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.9/26/20232設所給立體垂直于x軸的截面面積為A(x),則對應于小區間牛頓–萊布尼茲公式(牛頓-萊布尼茲公式)

證:根據定理2,故因此得記作定理函數,則9/26/20233牛頓–萊布尼茲公式(牛頓-萊布尼茲公式)證:根據定積分的換元法定理1

設函數函數滿足:1)2)則9/26/20234定積分的換元法定理1設函數函數滿足:1)2)則8/4定積分的分部積分法定理2

則證:9/26/20235定積分的分部積分法定理2則證:8/4/20235一、利用直角坐標計算二重積分曲頂柱體的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的設曲頂柱體的頂為X型區域9/26/20236一、利用直角坐標計算二重積分曲頂柱體的底為任取平面故曲頂柱體同樣,若曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算Y型區域9/26/20237同樣,若曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算Y型區域8為計算方便,可選擇積分序,必要時還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則說明:(1)若積分區域既是X–型區域又是Y–型區域,9/26/20238為計算方便,可選擇積分序,必要時還可以交換積分序.則有(2均非負在D上變號時,因此上面討論的累次積分法仍然有效.由于當被積函數補充說明9/26/20239均非負在D上變號時,因此上面討論的累次積分法仍然有效.由于9/26/2023108/4/202310解法1D是X-型區域，例3.計算其中D是拋物線所圍成的閉區域.及直線9/26/202311解法1D是X-型區域，例3.計算其中D是拋物解法2例3.計算其中D是拋物線所圍成的閉區域.及直線這是Y-區域，畫出積分區域的圖形先對x后對y積分,顯然解法2比解法1好！9/26/202312解法2例3.計算其中D是拋物線所圍成的閉區域.及例4.計算

其中D是直線

所圍成的閉區域.解

畫積分區域圖形，因為則若先對

x

積分，的原函數不能用初等函數表示，因此改用另一種順序的累次積分，于是有說明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.9/26/202313例4.計算其中D是直線所圍成的閉區域.解畫積例5.設

D

是由直線及圍成的區域(圖21-6),試計算:

的值.解若用先對

y、后對

x的積分,則有由于的原函數無法求得,因此改用另一種順序的累次積分來計算:9/26/202314例5.設D是由直線及圍成的區域(圖21-6),9/26/2023158/4/202315解:

積分域由兩部分組成:視為Y–型區域,則例6.

交換下列積分順序9/26/202316解:積分域由兩部分組成:視為Y–型區域,則例6.交換練習.交換下列積分順序⑴(2)9/26/202317練習.交換下列積分順序⑴(2)8/4/202317例7

求兩個底圓半徑為R的直角圓柱面所圍的體積.解:設兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為9/26/202318例7求兩個底圓半徑為R的直角圓柱面所圍的體積.解:設二、利用極坐標計算二重積分對應有在極坐標系下,用同心圓r

=常數則除包含邊界點的小區域外,小區域的面積在內取點及射線

=常數,分劃區域D為9/26/202319二、利用極坐標計算二重積分對應有在極坐標系下,用同心圓r即9/26/202320即8/4/202320二重積分化為二次積分的公式（1）則設區域特征如圖9/26/202321二重積分化為二次積分的公式（1）則設區域特征如圖8/4/20特別地,對若f≡1則可求得D的面積二重積分化為二次積分的公式（2）區域特征如圖9/26/202322特別地,對若f≡1則可求得D的面積二重積分化為二次二重積分化為二次積分的公式（3）區域特征如圖9/26/202323二重積分化為二次積分的公式（3）區域特征如圖8/4/2023思考:下列各圖中域D分別與x,y軸相切于原點,試答:問

的變化范圍是什么?(1)(2)9/26/202324思考:下列各圖中域D分別與x,y軸相切于原點,9/26/2023258/4/2023259/26/2023268/4/202326其中解:在極坐標系下原式的原函數不是初等函數,故本題無法用直角由于故坐標計算.例10

計算9/26/202327其中解:在極坐標系下原式的原函數不是初等函數,故本題無法注:利用例10可得到一個在概率論與數理統計及工程上非常有用的廣義積分公式9/26/202328注:利用例10可得到一個在概率論與數理統計及工程上非常有用的9/26/2023298/4/2023299/26/2023308/4/202330被圓柱面所截得的(含在柱面內的)立體的體積.解:設由對稱性可知例11求球體9/26/202331被圓柱面所截得的(含在柱面內的)立體的體積.解:設由對稱內容小結直角坐標系情形:

若積分區域為則

若積分區域為則9/26/202332內容小結直角坐標系情形:若積分區域為則若積分區域為則8則極坐標系情形:

若積分區域為9/26/202333則極坐標系情形:若積分區域為8/4/202333課外練習P146-147習題8－22(1)(3);4(2)(4);5;6;8(4);10(2);11(3).9/26/202334課外練習P146-147習題8－2其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,1.

計算思考與練習9/26/202335其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,1.計算思考與提示:積分域如圖2.

交換積分順序9/26/202336提示:積分域如圖2.交換積分順序8/4/202336解：原式3.給定的次序.改變積分9/26/202337解：原式3.給定的次序.改變積分8