1第二章抽樣分布及若干準備知識§2.1引言§2.2正態總體樣本均值和樣本方差的分布§2.3次序統計量的分布§2.4§2.5統計量的極限分布§2.7充分統計量2極限分布:精確分布:

在研究數理統計的問題時，往往需要知道所討論的統計量的分布.

從理論上而言,只要知道了總體X的分布,統計量的分布即可求出,但實際操作起來并不容易.

何謂抽樣分布?統計量的分布稱為抽樣分布.§2.1引言抽樣分布正態總體樣本均值和樣本方差的分布，樣本容量足夠大時,作為精確分布的近似3§2.2正態總體均值和樣本方差的分布

性質：樣本均值與樣本方差的無偏性證明:(ii)4§2.2.1正態變量線性函數的分布定理2.2.1正態分布5推論1推論26定理2.2.2i.i.d.N(0,σ2)r.v.經過正交變換仍為i.i.d.N(0,σ2)r.v.7證明:8§2.2.2正態變量樣本均值和樣本方差的分布設X1,X2,…,Xn是來自正態總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有定理2.2.3★9證明:1011注：12§2.3次序統計量的分布§2.3.1單個次序統計量的分布證明:定理13

14練習

設總體密度函數為

p(x)=3x2,0

x1.

從該總體抽得一個容量為5的樣本，試計算

P(x(2)1/2)。15

大家很快會看到，有很多統計推斷是基于正態分布的假設的，以標準正態變量為基石而構造的三個著名統計量在實際中有廣泛的應用，這是因為這三個統計量不僅有明確背景，而且其抽樣分布的密度函數有明顯表達式，它們被稱為統計中的“三大抽樣分布”。16定義:

設，則隨機變量

服從自由度為

n

的分布，記為§2.4三大抽樣分布：§2.4.1分布分布是由正態分布派生出來的一種分布.定理2.4.1(證明略)17其中伽瑪函數為

隨著n的增大,密度曲線逐漸趨于平緩,對稱.18當隨機變量

2

2(n)時，對給定

(0

1)，稱滿足P(

2

2(n)=

的

2(n)是自由度為n的卡方分布的下側

分位數.分位數

2(n)可以從附表中查到。19

證明:分布的可加性證明:2021定義:

設X～N(0,1),Y～，且X與Y相互獨立，則稱變量所服從的分布為自由度為n的t分布，記為t~tn.§2.4.2t分布定理2.4.2Gosset1908年以筆名student提出22-3-2-11230.10.20.30.4n=1n=20厚尾分布

23分位數設t～t(n)，若對0<

<1,存在t

(n)>0，滿足

P{t

t

(n)}=

則稱t

(n)為

t(n)的下側

分位數.24

25服從自由度為m和n

的F分布，記作注:§2.4.3F分布定義:定理2.4.326m=10,n=4m=10,n=10m=10,n=15m=4,n=10m=10,n=10m=15,n=1027

上側分位數3.9;3.2228

F—分布的分位數

對于

0<

<1，若存在F

(m,n)>0滿足

P{F

F

(m,n)}=

，則稱F

(m,n)為F(m,n)的下側

分位數29即它的數學期望并不依賴于第一自由度m.

30§2.4.4幾個重要結論推論1推論2推論331

例題例1解32例2解3334課堂練習35解136解2373.

設r.v.X與Y相互獨立，X~N(0,16),

Y~N(0,9),X1,X2,…,X9

與Y1,Y2,…,Y16

分別是取自X與Y的簡單隨機樣本,求統計量所服從的分布.解38從而394

設總體

的樣本,為總體

X

試確定常數c,

使cY服從分布.解故因此4041證明：故，且

與獨立,所以426、設X1,X2,…,X2n

是來