不確定下的選擇2012.11申明本課件僅用于本課程教師（以下簡稱“課程教師”）對軟件與微電子學院選修《微觀經濟學》課程的同學（以下簡稱“選課同學”）教授微觀經濟學課程時進行課堂演示，并不完全涵蓋課程教師在課堂上講述的內容，也不完全代表課程教師的學術見解本課件中可能包含一定錯誤的內容，課程教師有權對本課件的內容隨時進行修正，故選課同學未來不能引用本課件的任何內容作為證明自己正確的證據本課件雖由課程教師制作，但課程教師不保留對本課件的版權；課程教師允許選課同學以任何方式復制本課件，然而，請選課同學注意的是，課程教師亦不對本課件的任何內容負責，謬誤之處，敬請自行辨別，切勿以課件內容作為質疑課程教師學術水平的佐證內容概覽Topic1.期望效用理論Topic2.風險規避Topic3.隨機占優Topic4.擴展模型Topic5.主觀概率Topic1期望效用理論風險備選項我們之前研究過的消費理論與生產理論中，消費者或者廠商面對的是一個確定性的狀態。當一個人面對風險備選項（選擇一個風險備選項意味著選擇一個以某種概率獲得一個消費向量的可能性）時如何選擇？在進行更多研究前，對風險備選項進行描述是有必要的。很顯然，一個風險備選項中每一種可能的消費向量都是消費者可能達到的消費向量。對于風險備選項中每種可能的消費向量的概率，假設是客觀且已知的；如果不知道客觀概率，要主觀上賦予概率，否則也就無法進行分析了。風險備選項是分析不確定性的一種規范性的描述工具，彩票用來代表風險備選項：1.可能結果之一，2.概率客觀已知簡單彩票N=3的情況復合彩票復合彩票是由簡單彩票復合而成的彩票顯然，對于任何一個復合彩票，都能找到一個與之等價的簡單彩票，只需要令這個簡單彩票的概率滿足：我們將這種簡單彩票稱作這個復合彩票的約簡彩票在以后進行分析的時候，就可以只分析約簡彩票的性質，從而使分析得到簡化（這種想法對嗎？）結果主義假設：結果主義假設：決策者僅關心定義在最終結果上的約簡彩票，只要約簡彩票相同，兩個復雜彩票就相同——在以后的討論中，只要存在客觀概率已知，這一假設就成立。備選項集合備選項集合：在結果集合C上所有簡單彩票的集合，用L表示進一步的，假定L上存在某種偏好關系，且偏好關系滿足完備性、傳遞性，那么，我們就可以對所有的備選項做出比較，即我們可以比較所有的簡單彩票，且在結果主義假設下，我們就可以比較出所有符合彩票的偏好關系——這樣我們似乎已經解決了在不確定性條件下做出選擇的問題：只要我們能夠知道1.復合彩票最終的約簡彩票、2.知道備選項集合上的偏好關系為了保證效用函數的存在，假設偏好關系具有連續性；為了保證選擇者對于某種彩票的選擇不會受到選擇過程中其他彩票的影響，假設偏好關系具有獨立性備選項集合的偏好關系：連續性開集：設A是度量空間X的一個子集。如果A中的每一個點都有一個以該點為球心的小球包含于A，則稱A是度量空間X中的一個開集閉集：是指其補集為開集的集合。由此可以引申在度量空間中，如果一個集合所有的極限點都是這個集合中的點，那么這個集合是閉集。獨立性獨立性獨立性其實是一種很特殊的假定：金融經濟學中對于投資對象的選擇，嚴格的執行了這一假設，請思考，對沖和獨立性假設之間的關系牛肉比羊肉好但牛肉＋泡饃一定比羊肉+泡饃好嗎？期望效用函數在命題6.b.1中說明，效用函數的形態（是否是線性的）與其是否具有期望效用形式等價期望效用函數期望效用函數的線性變化期望效用函數的線性變化這個命題的意義在于：對于一個有期望效用函數的效用而言，效用的差異不會隨著期望效用函數發生遞增的線性變化而變化。這一性質說明期望效用性質是定義在彩票空間上效用函數的基數性質期望效用定理我們可以想象N=3的情況：不是直線的無差異曲線是直線但不平行的無差異曲線平行直線的無差異曲線意味著期望效用函數形式證明參考教材證明期望效用定理證明期望效用定理證明期望效用定理證明期望效用定理證明期望效用定理期望效用理論的價值技術上便于處理：一個很規范的分析工具，很多關于不確定性的理論即是基于期望效用理論產生和發展的能夠提供一個有價值的行動指導能夠幫助人們分析不確定性情況，如果人們相信這些定理，就會對自己所處的情況作出判斷L與L’差異很小，但如果在L與L’連線上有L“，那么就能判斷L與L’間存在一條無差異曲線，那么就能判別兩者之間的優劣（例1：內省的可能）阿萊斯悖論：阿萊斯悖論阿萊斯悖論意味著獨立性公理不存在，期望效用函數理論自然也不存在解釋期望效用理論是一種理性的理論，而阿萊斯悖論的情況僅僅是人們不理性的結果，在這種情況下應該用理論來修正個人的決策錯誤，而非用個人的錯誤證明理論是錯的阿萊斯悖論的情況僅僅是一種不合常規且概率接近0，1的特殊情況，不具備一般的意義（所以，作為一般性的理論不需要考慮這些特例）認為人對不確定性的決策其實很復雜，期望效用理論描述了一部分情況，而最終的決策卻是多種情況混合后的結果。通過引入“懊悔”的概念就可以解釋阿萊斯悖論（前一種情形選到0時懊悔會更大，所以綜合期望效用和懊悔兩個因素后，就會做出阿萊斯悖論中的選擇）放棄獨立性公理，代之以更一般的假設馬金納悖論假設人們可以面對三種情況，去威尼斯，看關于威尼斯的電影，呆在家里正常的選擇順序是：去威尼斯，看電影，呆在家里如果有兩個彩票：1.0.99去威尼斯+0.01去看關于威尼斯的電影2.0.99去威尼斯+0.01呆在家里顯然，獨立性公理意味著第一種彩票是更好的，但是，如果引入“失望”的概念，就會發現，如果去不成威尼斯，看關于威尼斯的電影可能會引發失望的情緒，以至于不如呆在家里，所以，選擇第二種彩票也是很正常的。在這里，“失望”跟阿萊斯悖論中的“懊悔”一樣，都讓人可能做出不符合獨立性公理的選擇不依賴獨立性公理會怎么樣？市場會淘汰不按照獨立性公理選擇的人？如果市場上存在荷式交易，那么不按照獨立性公理選擇的人就會輸錢假設有彩票，但有，那么，最初如果消費者有簡單彩票，為了獲得復合彩票，消費者會支付一些錢，但在復合彩票的一部分被兌現后，消費者又會支付一些錢，把彩票換成簡單彩票，但實際上消費者除了多付了一些錢之外，沒有任何的改善，因此，這樣的消費者會被淘汰理論上，試圖用凸性劣集合代替獨立性公理這種替代要比獨立性公理更普遍，而且也能得到一定的結論引致偏好引致偏好指的是由事前的行動而導致的偏好，比如，如果吃魚就偏好白葡萄酒，如果吃肉就偏好紅葡萄酒。很顯然，對紅葡萄酒和白葡萄酒的偏好實際上是根據吃什么而產生的，那么如果不知道吃什么，實際上也就不知道對兩種葡萄酒偏好哪一個。但問題是，我們假設中的偏好本不應該是依賴事前行動的結果的，否則很多問題就難以解釋事前行動結果的不確定性可能會導致選擇的不確定性（這也是不確定性分析的一個重要組成部分）Topic2風險規避風險規避定義在確定數量的貨幣上的效用函數u(·)為伯努利效用函數（其實就是馬斯克萊爾教材中對這一類特殊的期望效用函數的叫法）詹森不等式風險規避意味著：（詹森不等式）風險規避風險中性滿足詹森不等式意味著伯努利效用函數為凹函數，即風險規避者的效用函數為凹函數，嚴格風險規避意味著嚴格凹函數。這也意味著貨幣的邊際效用是遞減的。（如果是線性的，則消費者是風險中性的）分析風險規避程度的方法風險規避的等價形式風險規避概念應用：保險假設消費者為風險規避者，初始財富為w，面臨的損失為D，損失概率為π；消費者可以選擇投保，1單位保險的保費為q，如果出險，提供補償1，消費者可以選擇投保α單位如果不出險，消費者的財富為w-αq；

如果出險，消費者財富為w-αq-D+α消費者實際上面對著這樣一個問題：如果保費價格是精算公平的（保費等于保險預期成本q=π）這個問題的結果是α*=D，即消費者會全額投保應用2：風險資產假設一個風險規避的消費者初始財富為w，可以投資兩種資產，其中，無風險資產投資收益為0，即1單位投資最終收益為1，另一種投資有風險，收益隨機為z，且z具有F(z)的分布，假設該分布滿足消費者可以將α的財富投資在風險資產上，將β的財富投資在無風險資產上，那么，消費者將獲得收益為αz+β，且需要滿足約束α+β=w此時消費者面臨問題：通過庫恩塔克條件研究此問題可以發現α>0，換言之，如果一種風險資產精算有利，那么即使消費者是風險規避者，也會持有一定的風險資產風險規避的度量

前述的理論只是指出消費者風險偏好的類型，沒有提及風險偏好的度量問題，需要找到新的指標，對風險偏好進行度量想來用u(·)在某點的曲率來描述在改點的風險厭惡程度，是一個可行的辦法，但u的二階導數會因為u的線性變化而變化，所以用u的一階導數來單位化（其實用u也可以），因為二階導數為負，取負號之后，就可以通過對比該系數大小來進行對比了絕對風險規避系數的另一個解釋考慮概率溢價的定義：對此等式中的進行兩次微分，當趨近于0的時候，有：即：這意味著：x點的風險規避系數越大，在x點發生微小不確定性所產生的概率溢價變動速度越快，這也意味著對于同樣的，消費者要求的概率溢價也就越大，這就表明，消費者在x點的風險厭惡程度也就越大不同個體之間的比較下述表述都表明u2比u1具有更大的風險規避態度（i）和（ii）的證明根據（ii）的描述，令，其中是遞增的凹函數等式兩邊對x求導，可以得到：由于，這樣，可以得到：由于是遞增的（一階導數為正）凹函數（二階導數為負），所以不同財富水平的比較

比較不同財富水平的風險規避，可以通過考慮在不同財富水平上變化同樣大小的財富，相當于是比較u1(z)=u(x1+z)和u2(z)=u(x2+z)的風險規避程度

遞減絕對風險規避意味著隨財富增加，消費者的風險規避程度將下降關于遞減絕對風險規避的等價表述遞減絕對風險規避的等價表述是：相對風險規避系數在關于不同財富水平下風險規避程度的討論中，我們對于財富發生同比例變化時產生的風險規避態度會感興趣（百萬和億的身家的人對于五十萬的不確定性所抱有的風險規避態度不一定說明兩種情況下的真實情形，但五十萬的變動與五千萬的變動，就能充分說明不同財富水平下真實的風險規避態度）為做到這一點，假設，令t=1，此時，我們從絕對風險規避中知道，在t=1這一點上，風險規避態度可以用刻畫，這樣，在t=1附近的微小變動下有顯然，相對風險規避系數是一種更強的概念，遞減相對風險規避系數意味著遞減絕對風險規避系數遞減相對風險規避的等價表述討論時間：你如何安排你的養老資金收入估計社會保險及估計子女商業保險不動產及投資……？？？Topic3隨機占優隨機占優與期望效用函數在上一節內容中介紹的風險規避系數、確定性等價、概率溢價等內容實際上是在討論期望效用函數（U(·)）的差異問題隨機占優實際上比較的是不同彩票支付的分布函數（F(·)），并以此作為依據，在不同彩票間進行選擇：如果一種彩票收益的分布函數F(·)毫無疑問的給出了比另一個G(·)更高的收益，那么，就可以在兩種彩票之間做出區分如果一種彩票收益的分布函數F(·)比G(·)風險更小，也可以以此作為理由對彩票進行區分想想馬克維茨的資產組合理論在本節的討論中，我們假定F(0)=0，且對于某一個x，有F(x)=1一階隨機占優什么是分布F(·)比分布G(·)有更高的收益？每一個認為多比少好的期望最大化者均認為分布F(·)比分布G(·)好對于任一單位的貨幣，在分布F(·)下比分布G(·)下獲得該單位貨幣的概率大兩者意味著同樣的情況嗎？一階隨機占優定義是從數量的角度（多比少好）做出定義令u(x)=x，可見F下預期更多命題6.b.1意味著兩者代表相同情況關于命題6.D.1的理解命題證明從略一階隨機占優并不意味著：優分布的每個可能收益均大于劣分布的每個可能收益，在右圖中，優分布與劣分布的可能收益是完全相同的分布F(·)一階隨機占優于分布G(·)，意味著在分布F(·)下，x的期望值要大于分布G(·)，但這并不意味著如果在分布F(·)下，x的期望值要大于分布G(·)，分布F(·)一階隨機占優于分布G(·)，根據定義，一階隨機占優意味著優分布的位置要全面的低于劣分布從劣分布導出一個優分布例6.D.1