1.4充分條件與必要條件1.理解充分條件、必要條件的概念.2.了解充分條件與判定定理，必要條件與性質定理的關系.3.能通過充分性、必要性解決簡單的問題．4.理解充要條件的意義.5.會判斷一些簡單的充要條件問題.3.能對充要條件進行證明．重點：充分與必要條件的概念及判斷難點：已知充分、必要條件求參數閱讀課本內容，自主完成下列內容。知識點一充分條件與必要條件1.1命題：用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句.開語句、疑問句、祈使句都不是命題.1.2命題的真假：判斷為真的語句是真命題；判斷為假的語句是假命題.判斷下列是否為命題，判定命題的真假(1)若x,y是無理數，則x+y是無理數.(2)若x+y是有理數，則x,y都是有理數.(3)3≥3．(4)3能被2整除嗎？【答案】（1）假（2）假（3）真（4）不是命題1.3命題的形式：可寫成“若p，則q”“如果p，那么q”.其中p稱為命題的條件,q稱為命題的結論.充分條件與必要條件命題真假“若p，則q”是真命題“若p，則q”是假命題推出關系由p可以推出q，記為：________由p不能推出q，記為：________條件關系p是q的____________p不是q的____________q是p的_____________q不是p的___________對的理解：指當成立時，一定成立，即由通過推理可以得到．①“若，則”為真命題；②是的充分條件；③是的必要條件以上三種形式均為“”這一邏輯關系的表達．判定定理、性質定理與充分條件、必要條件的關系（1）數學中的每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件．（2）數學中的每一條_性質定理__都給出了相應數學結論成立的一個必要條件．知識點二充要條件1．如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，就記作p?q，此時，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件．2．如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件．概括地說，如果p?q，那么p與q互為充要條件．充要條件的判斷通常有四種結論：充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件．判斷方法通常按以下步驟進行：①確定哪是條件，哪是結論；②嘗試用條件推結論，③再嘗試用結論推條件，④最后判斷條件是結論的什么條件．1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)p是q的充分條件與q是p的必要條件表述的是同一個邏輯關系，只是說法不同．()(2)p是q的必要條件的含義是：如果p不成立，則q一定不成立．()(3)p是q的充分條件只反映了p?q，與q能否推出p沒有任何關系．()(4)若A∈B，則“x∈A”是“x∈B”的充分條件．()2．“三角形是等邊三角形”是“三角形是等腰三角形”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】1．(1)√(2)√(3)√(4)√2．A考點一充分條件與必要條件的判斷角度1定義法例1“且”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】充分性:且，則，充分性成立;必要性:若，則且，或且，必要性不成立.故“且”是“”的充分而不必要條件.故選:A.【對點演練1】“a+b是偶數”是“a和b都是偶數”的（）A．充分條件B．必要條件C．充要條件D．既不是充分條件也不是必要條件【答案】B【對點演練2】設全集，在下列條件中，是的充要條件的有①；②③；④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D角度2集合法例2（2023·河南駐馬店·高一?？茧A段練習）“”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】若，則為假命題，所以“”是“”的不充分條件；若，則為真命題，所以“”是“”的必要條件；所以“”是“”的必要不充分條件；故選：B【對點演練1】設集合，集合，那么“”是“”的（

）A．充分條件B．必要條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件【答案】D【詳解】∵集合，集合，∴由“”推不出“”，反之由“”推不出“”，故“”是“”的既不充分又不必要條件.故選：D.【對點演練2】（2022·湖南·永州市第二中學高一階段練習）“a<－1”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個實數根”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當時，方程即為，解得；當時，，得，；所以“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個實數根”等價于“”“”能推出“方程至少有一個實數根”，反之不成立；所以“”是“方程至少有一個實數根”的充分不必要條件.故選：B.【對點演練3】（多選）（2022·重慶巴蜀中學高二期末）已知是實數集，集合，，則下列說法正確的是（

）A．是的充分不必要條件 B．是的必要不充分條件C．是的充分不必要條件 D．是的必要不充分條件【答案】AD【解析】【分析】根據題意得到，且，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，集合，，可得，且，所以是的充分不必要條件，且是的必要不充分條件成立.故選：AD.角度3遞推法例3（2023·上海浦東新·高一上海市進才中學校考階段練習）已知是的充分不必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件，現有下列命題：①是的充要條件；②是的充分不必要條件；③是的必要不充分條件；④是的充分不必要條件；正確的命題序號是（

）A．①④ B．①② C．②③ D．③④【答案】B【解析】因為是的充分不必要條件，所以，，因為是的充分條件，所以，因為是的必要條件，所以，因為是的必要條件，所以，因為，，所以，又，所以是的充要條件；命題①正確，因為，，，所以，若，則，，，故，與矛盾，所以，所以是的充分不必要條件，命題②正確；因為，，所以，是的充分條件，命題③錯誤；因為，，所以，又，所以是的充要條件，命題④錯誤；故選：B.【對點演練1】若M是N的充分不必要條件，N是P的充要條件，Q是P的必要不充分條件，則M是Q的________條件.【答案】充分不必要【對點演練2】已知是的必要不充分條件，是的充分且必要條件，那么是成立的（

）A．必要不充分條件 B．充要條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據充分，必要條件的關系，即可判斷選項.【詳解】由條件可知，，所以，，所以是的充分不必要條件.故選：C判斷充分條件、必要條件及充要條件的四種方法(1)定義法：直接判斷“若p，則q”以及“若q，則p”的真假．(2)集合法：利用集合的包含關系判斷．(3)等價法：利用p?q與q?p的等價關系，對于條件和結論是否定形式的命題，一般運用等價法．(4)傳遞法：充分條件和必要條件具有傳遞性，即由p1?p2?…?pn，可得p1?pn；充要條件也有傳遞性．考點二充分、必要條件的選擇例4（多選）（2023高一限時訓練）“”的一個充分不必要條件可以是（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】設,選項對應的集合為,因為選項是“”的一個充分不必要條件，所以是的真子集.故選：BC【對點演練1】（2023·湖南·高一課時練習）使“0＜x＜4”成立的一個必要不充分條件是（

）A．x＞0B．x＜0或x＞4C．0＜x＜3D．x＜0【答案】A【對點演練2】（2023黑龍江大慶外國語學校高一考試）“”成立的一個必要不充分條件的是（

）A． B． C． D．【答案】D考點三根據充分條件求參數取值范圍例5（1）是否存在實數，使得“”是“或”的充分條件？（2）是否存在實數，使得“”是“或”的必要條件？（3）（2023·云南大理·高一統考期末）若“不等式成立”的充要條件為“”，求實數的值.【詳解】（1）欲使是或的充分條件，則只要或，即只需，所以.故存在實數，使得“”是“或”的充分條件；欲使是或的必要條件，則只要或，使得“”是“或”的必要條件.（3)解不等式得，因為“不等式成立”的充要條件為“”，所以，解得，所以，.【對點演練1】已知，．是否存在實數，使得是的充要條件？若存在，求實數的取值范圍．【答案】不存在實數，使得是的充要條件【解析】解：因為是的充要條件，則，由，，知要使，則，無解，故不存在實數，使得是的充要條件．【對點演練2】（多選題）（2022山東煙臺二中高一階段練習）若不等式成立的充分條件是，則實數的取值可以是（

）A．2 B．1 C．0 D．1【答案】CD【詳解】，則，．故選：CD．【對點演練3】（2022·黑龍江·哈師大附中高一期末）已知非空集合，．(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實數的取值范圍．【解析】(1)由已知，或，所以或；(2)“”是“”的充分不必要條件，則，解得，所以的范圍是．【對點演練4】（2023·湖北十堰·高一?？茧A段練習）已知集合或，．（1）求實數的取值范圍，使它成為的充要條件；（2）求實數的一個值，使它成為的一個充分不必要條件；（3）求實數的取值范圍，使它成為的一個必要不充分條件．【解析】（1）的充要條件是，所以實數的取值范圍是．(2)由(1)知,的充要條件是,則當時,是的一個充分但不必要條件;比如是所求的一個充分但不必要條件.(答案不唯一)(3)求實數a的取值范圍,使它成為的一個必要但不充分條件就是另求一個集合,故是它的一個真子集.如果時,未必有,但是時,必有,故是所求的一個必要但不充分條件.(答案不唯一)應用充分不必要條件、必要不充分條件及充要條件求參數值(范圍)的一般步驟(1)根據已知將充分不必要條件、必要不充分條件或充要條件轉化為集合間的關系．(2)根據集合間的關系構建關于參數的方程(組)或不等式(組)求解．考點四充要條件的證明例2．已知m，n∈R，證明:m4n4=2n2+1成立的充要條件是m2n2=1.【解析】①(必要性)∵m2n2=1，∴m2=n2+1，∴m4n4=(m2+n2)(m2n2)=m2+n2=n2+1+n2=2n2+1，∴m4n4=2n2+1成立;②(充分性)∵m4n4=2n2+1，∴m4=n4+2n2+1=，∴m2=n2+1，即m2n2=1，∴m2n2=1成立.綜上，m4n4=2n2+1成立的充要條件是m2n2=1.1．根據充要條件的定義，證明充要條件時要從充分性和必要性兩個方面分別證明．一般地，證明“p成立的充要條件為q”；(1)充分性：把q當作已知條件，結合命題的前提條件，推出p；(2)必要性：把p當作已知條件，結合命題的前提條件，推出q.解題的關鍵是分清哪個是條件，哪個是結論，然后確定推出方向，至于先證明充分性還是先證明必要性則無硬性要求．2．在證明過程中，若能保證每一步推理都有等價性(?)，也可以直接證明充要性．【對點演練1】求證：是一元二次方程的一個根的充要條件是.【解析】證明：（1）充分性：由得.即滿足方程.是方程的一個根（2）必要性：是方程的一個根，將代入方程得.故是一元二次方程的一個根的充要條件是【對點演練2】設a，b，，求關于x的方程有一個根為的一個充要條件.【解析】解:因為關于x的方程有一個根為，所以代入得，下證明充要性.充分性：，，代入方程得，即．關于的方程有一個根為；必要性：方程有一個根為，滿足方程，，即．故關于的方程有一個根是的充要條件為．一、單選題1.設，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由充分條件和必要條件的定義分析判斷即可【詳解】當時，，則成立，而當時，或，所以“”是“”的充分而不必要條件，故選：A2．集合，的關系如圖所示，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據韋恩圖判斷集合間的包含關系，進而判斷題設條件的充分、必要關系.由韋恩圖知：A是B的真子集，∴是的充分不必要條件.故選：A3.（2023·高一課時練習）王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽為“七絕圣手”，其《從軍行》傳誦至今，“青海長云暗雪山，孤城遙望玉門關.黃沙百戰穿金甲，不破樓蘭終不還”，由此推斷，其中最后一句“攻破樓蘭”是“返回家鄉”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】根據詩意，作者想表達的思想感情是“返回家鄉”就一定要“攻破樓蘭”，但是并沒有表明“攻破樓蘭”后就會“返回家鄉”，所以“攻破樓蘭”是“返回家鄉”的必要不充分條件.故選：B.4．已知，若是的必要而不充分條件，則可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據集合的包含關系判斷可得出合適的選項.若是的必要而不充分條件，只需找一個集合，使是其真子集，因為是的一個真子集，故選：C．5．設P?Q是非空集合，命題甲為：P∩Q=P∪Q；命題乙為：P?Q，那么甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由P∩Q=P∪Q?P=Q?P?Q，反之不成立，即可得結論.解：∵P∩Q=P∪Q?P=Q?P?Q，反之P?Q時，P∩Q≠P∪Q，∴甲是乙的充分不必要條件，故選：A.6．若命題：，：，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據充分條件、必要條件的定義判斷即可；解：由得或，即或，所以由能夠得到，由得不到，即推不出，推得出，所以是的必要不充分條件；故選：B7．設，已知兩個非空集合，，滿足，則下列說法正確的是（

）A．“”是“”的充分條件B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充要條件D．“”既不是“”的充分條件也不是“”的必要條件【答案】A【解析】【分析】根據題意，可以判斷是的子集，從而得出是的充分條件.解：因為，非空集合，滿足，所以是的子集，即，所以是的充分條件，故選：A.8．已知a>0，設p：a≤x≤3a；q：1<x<6．若p是q的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是（

）A．{a|1<a<2} B．{a|1≤a≤2}C．{a|0<a<1} D．{a|0<a≤2}【答案】C【解析】【分析】根據充分不必要條件的定義求得參數取值范圍即可.因為p是q的充分不必要條件，所以解得0<a<1，所以實數a的取值范圍是{a|0<a<1}．故選：C多選題9.9．下列選項中p是q的必要不充分條件的有（）A．p：a≤1，q：a＜1B．p：A∩B＝A，q：A∪B＝BC．p：兩個三角形全等，q：兩個三角形面積相等D．p：x2+y2＝1，q：x＝1，y＝0【答案】AD【分析】根據充分必要條件的定義分別判斷即可．【詳解】解：A：∵a＜1?a≤1，而當a≤1時，不一定有a＜1，∴p是q的必要不充分條件，∴A正確，B：∵p：A∩B＝A，∴A?B，∵q：A∪B＝B，∴A?B，∴p是q的充要條件，∴B錯誤，C：∵兩個三角形全等?兩個三角形面積相等，但兩個三角形面積相等不一定推出兩個三角形全等，∴p是q的充分不必要條件，∴C錯誤，D：當x＝1，y＝0時，則x2+y2＝1，反之，當x2+y2＝1時，x＝1，y＝0不一定成立，∴p是q的必要不充分條件，∴D正確，故選：AD．10．已知是實數集，集合，，則下列說法正確的是（

）A．是的充分不必要條件 B．是的必要不充分條件C．是的充分不必要條件 D．是的必要不充分條件【答案】AD【解析】【分析】根據題意得到，且，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.由題意，集合，，可得，且，所以是的充分不必要條件，且是的必要不充分條件成立.故選：AD.11．已知是的充分條件而不是必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件.下列命題中正確的是（

）A．是的充要條件B．是的充分條件而不是必要條件C．是的必要條件而不是充分條件D．是的必要條件而不是充分條件【答案】ABD【解析】【分析】根據充分不必要條件、充分條件、必要條件的定義進行求解即可.將四個條件寫成：，且不能推出；；；，所以，所以，故正確；不能推出，故B正確；，又，故是的充要條件，故C錯誤；由，可得，由不能推出，可得不能推出，故D正確.故選：ABD12．已知關于x的方程，則下列結論中正確的是（

）A．方程有一個正根一個負根的充要條件是B．方程有兩個正實數根的充要條件是C．方程無實數根的充要條件是D．當m=3時，方程的兩個實數根之和為0【答案】AB【解析】由根與系數的關系可得每個選項的等價條件，即可得的取值范圍，進而判斷正誤.解：對A，當時，函數的值為，由二次函數的圖象知，方程有一正一負根的充要條件是，故A正確；對B，若方程有兩個正實數根，，即解得：，故B正確；對C，方程無實數根，即，解得：，方程無實數根的充要條件是，故C錯誤；對D，當時，方程為，無實數根，故D錯誤.故答案為：AB.填空題13．（2023·甘肅蘭州·高一?？奸_學考試）設甲、乙、丙、丁是四個命題，甲是乙的