第22講定點、定直線問題圓錐曲線的定點、定直線問題就是曲線或直線過定點，或者動點在定直線上，其核心思路就是消參，消參的手段主要用的有兩種：①等式代是消參（前面講過，就是找到兩個參數之間的關系，帶是從而消掉一個參數）．②參數無關性消參：和參數相關的因式為時，和參數的取值沒什么關系，比如，只要因式，就和參數沒什么關系了，或者說參數不起作用．直線過定點直線過定點問題：題設為某直線恒過某個定點．目標：建立出只含斜率一個參數的直線方程，形如，則會恒過這個點，也就是當時，與斜率參數沒有什么關系了，這個我把它稱之為參數無關性．一般解題步驟：（1）斜截式設直線方程：，此時引入了兩個參數，需要消掉一個．（2）找關系：找到和的關系：，等式帶入消參，消掉．（3）參數無關找定點：找到和沒有關系的點．【例1】若點是拋物線上的兩個動點，為坐標原點，且，求證：直線恒過定點．【解析】證明由題意可知直線的斜率存在，設直線方程：，，．將直線的方程代入中，得．∴，，，∴直線恒過定點．【例2】過點作相互垂直的兩條直線，直線與曲線相交于，兩點，直線與曲線相交于，兩點，線段的中點分別為，求證：直線恒過定點，并求出該定點的坐標．【解析】證明由題意可知，直線的斜率均存在．設直線的方程為，，．聯立，消去得，，．∵點是線段的中點，∴．同理，將換成得，當，即時，∴直線的方程為．，即，∴直線恒過定點．當時，直線的方程為，也過點，∴直線恒過定點．【例】3為橢圓上一點，過點作互相垂直的兩條直線分別又交橢圓于點，求證：直線過定點，并求出定點的坐標．【解析】證明（1）當直線的斜率存在時，設直線方程為，與橢圓聯立，消去得．∴．設，，則，．∵，∴，，，∴．解得或．若，則直線的方程為，過點，不符題意．若，則直線的方程為，號過點．（2）當直線的斜率不存在時，設，，聯立：，解得或（舍）．此時直線也過點．綜上，直線恒過定點．動點在定直線上動點在定直線上：題設為某動點在某定直線．目標：需要消掉關于動點橫坐標或者縱坐標的所有參數，從而建立一個無參的直線方程，此時會分為三種情況：（1），即動點恒過直線．（2），即動點恒過直線．（3），即動點恒過直線．【例1】如下圖所示，過點任作一動直線交橢圓于兩點，記．若在線段上取一點，使得，試判斷當直線運動時，點是否在某一定直線上運動？若在，請求出該定直線．若不在，請說明理由．【解析】由已知，直線的斜率必存在，設其直線方程為，，．聯立，消去得，則，，．由得，故．設點的坐標為，則由得．解得．又，，從而，故點在定直線上．【例2】設動直線與橢圓：有且只有一個公共點，過橢圓右焦點作的垂線與直線交于點，求證：點在定直線上，求出定直線的方程．【解析】證明∵直線與橢圓相切，聯立得．∴．∴．切點坐標，，即，∴，．∴方程為．聯立，∴，解得．∴在這條定直線上．【例3】如下圖所示，橢圓的左、右頂點分別為點，上、下頂點分別為點，右焦點為點，，離心率為．（1）求橢圓的標準方程．（2）過點作不與軸重合的直線與橢圓交于點，直線與直線交于點，試討論點是否在某條定直線上，若在，求出該直線方程．若不在，請說明理由．【解析】（1）由題意可得，解得，，∴，因此，橢圓的標準方程為．（2）由題意可知直線的斜率存在，設直線的方程為，設點，．聯立，消去并整理得，，由韋達定理得，．易知點，，直線的斜率為，直線的方程為，直線的斜率為，直線的方程為，由，可得，其中，∴，解得．因此，點在定直線上．圓過定點圓過定點問題：題設以線段為直徑的圓，恒過定點．（1）向量為零法：利用，整體代換消參之后求出點坐標的確定值．（2）參數無關法：設出的中點，求出長度，令，建立出圓的方程，形如，利用參數無關性，可知圓恒過．方法一：向量為零法【例1】已知圓的切線（直線的斜率存在且不為零）與橢圓相交于兩點．證明：以為直徑的圓經過原點．【解析】證明∵直線的斜率存在且不為零，故設直線的方程為．聯立，消去得．設，，則，．．∴．①∵直線和圓相切，∴圓心到直線的距離，整理得．②將②式代入①式得，顯然以為直徑的圓經過原點．【例2】過點任作一直線與曲線交于兩點，直線與直線分別交于點為坐標原點，求證：以線段為直徑的圓經過點．【解析】證明設直線的方程為，，，則直線方程：，直線方程：．聯立，得．同理得，∴，．．聯立得，∴，則．因此，以線段為直徑的圓經過點．【例3】過點且斜率為的動直線交橢圓：于兩點，在軸上是否存在定點，使以為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出的坐標，若不存在，說明理由．【解析】設直線，代入得．設，，則，．若軸上存在定點滿足題設，則，．，如果成立，即對成立．∴，解得．∴在軸上存在定點，使以為直徑的圓恒過點．方法二：參數無關法【例1】若過的直線與曲線：交于兩點，直線與直線分別交于兩點，試判斷以為直徑的圓是否經過定點．若是，求出定點坐標．若不是，請說明理由．【解析】設直線的方程為，，聯立，整理得，，，，直線的方程為．同理，直線的方程為．令得，，設的中點的坐標為，則，，∴．．圓的半徑為．∴以為直徑的圓的方程為．展開可得，令，可得，【解析】得或．從而以為直徑的圓經過定點和．【例2】如下圖所示，在平面直角坐標系中，橢圓的左頂點為，過原點的直線（與坐標軸不重合）與橢圓交于兩點，直線分別與軸交于兩點，試問以為直徑的圓是否過定點（與的斜率無關）？請證明你的結論．