第1講求通項公式公式法公式法:若判定出數列是等差數列或者等比數列,就直接帶人等差數列或等比數列的通項公式或進行求解.【例1】已知等差數列的前項和為,且滿足,求數列的通項公式.【解析】設數列的公差為,依題意得解得..【例2】已知公比大于0的等比數列的前項和為是和的等差中項,求數列的通項公式.【解析】設數列的公比為.由題意知,即,,,累加法累加法:如果遞推公式的形式為,則可利用累加法求通項公式.使用時要滿足:(1)等號右邊為關于的表達式,且能夠進行求和.(2)的系數同構(結構相同),且為作差的形式.【例1】數列滿足:,且,求.【解析】累加可得【例2】在數列中,已知,求數列的通項公式.【解析】以上各式相加可得.又∵,顯然符合上式,【例3】已知數列滿足:,求數列的通項公式.【解析】∵,將以上個式子相加得,即.∴.當時,也符合上式,∴.累乘法累乘法:如果遞推公式的形式為:,則可利用累乘法求通項公式.【例1】已知數列滿足:,且,求.【解析】【例2】已知數列滿足:1),求數列的通項公式.【解析】【例3】數列滿足:,求的通項公式.【解析】由得.,構造法構造法的核心步驟：第一步:恒等變形.對遞推公式(相鄰幾項的式子)進行恒等式變形,所謂恒等變形就是對等式兩邊的項進行同加、同減、同乘、同除或者拆分合并.第二步:同構式.恒等變形的目的是變形出同構式,所謂同構式就是結構相同的式子,如:和是同構式.第三步:整體代換.將同構式視為一個整體,整體代換后構造出新的等差數列或者等比數列,該數列作為輔助數列.通過求出輔助數列的通項公式,便可算出原數列的通項公式,以下是我們需要重點掌握的幾種常見的構造法的結構.結構一：一次函數結構型遞推公式的結構如同一次函數結構型:均為常數,且.一般方法:設,得到,可得出數列是以為公比的等比數列,從而可求出.【例1】在數列中,2,求數列的通項公式.【解析】設即.對比,可得..注意:在這里,即為同構式,把這個式子作為整體,就能構造出一個新的等比數列,這一種結構的處理方式也是固定的,就是直接設出,求解出即可.【例2】在數列中,1,試求其通項公式.【解析】,兩邊同時加上1,得,因此,數列是以2為首項,以2為公比的等比數列.結構二:一次函數結構變形遞推公式的結構形如為常數.一般方法:此類問題可先處理,兩邊同時除以,得,進而構造成,設,從而變成,從而將問題轉化為一次函數結構型.【例1】在數列中,,求數列的通項公式.【解析】。【例2】已知數列滿足:,求數列的通項公式.【解析】,等式兩邊同時除以得.令,可得,按一次函數結構型處理可得是以為公比,為首項的等比數列.結構三:分式結構型遞推式的結構形如為常數,.一般方法:兩邊取倒數后,得到一個新的特殊(等差或等比)數列或類似于一次函數結構型.【例1】設數列的前列項和為,已知,求數列的通項公式.【解析】由可得,【例2】已知在數列中,,求證:是等比數列,并求數列的通項公式.【解析】將兩邊同時取倒數得3的等比數列.【例3】已知數列滿足,且.證明:數列是等差數列,并求數列的通項公式.【解析】即.數列是以為公差,首項為的等差數列.注意:本題可用后面講的不動點理論解決.結構四:差式結構型遞推式的結構形如.一般方法:可以考慮等式兩邊同時除以,轉化為的形式,進而可設,遞推公式變為,移項變形可得,若,則為等差數列,否則轉變為一次函數結構型求解.已知在數列中,,且.【解析】累加可得.在數列中,,求數列的通項公式.【解析】數列是以3為首項,2為公差的等差數列.結構五:三項遞推結構遞推式的結構形如:.一般方法:可根據兩邊項的系數對中間項拆分變形為:,得到同構式,整體代換后進行求解.【例1】已知在數列中,,且,求.【解析】.設,則,且.數列以2為首項,以4為公差的等差數列.【例2】已知在數列中,,.(1)求證:數列是等比數列.(2)求數列的通項公式.【解析】(1)證明:,.,.數列是首項、公比均為2的等比數列.(2)是等比數列,...當時,符合上式,數列的通項公式為.相減消去法題目中出現關于的關系式,求通項公式,這類題目經常考.利用,一方面可求出首項,另一方面可考慮將等式相減消去或轉化為純或純的遞推式,再利用上一講中遞推式的方法來求解,但這里要注意的是求出通項公式后還要對首項進行驗證.方法一：純通項公式法已知與的關系式為,消去的一般解題步驟如下:第一步:類比出與的關系式,即.第二步:兩式作差,消去,剩下只的遞推公式,即,按照前面所講的方法根據遞推公式,求解通項公式.第三步:一定要注意最后檢驗是否滿足用上面的方法求出的通項.在數列中,已知,證明:數列是等比數列,并求出數列的通項公式.【解析】①式-②式得,即.由且得,.成立.,又,數列是以1為首項,2為公比的等比數列..數列的通項公式是.【例2】設數列的前項和為,已知,且,證明:為等比數列,并求數列的通項公式.【解析】已知令,得,即,由,解得.當時,由得,則.,則成立.數列是以為首項,為公比的等比數列.,即.【例3】在數列中,,求數列的通項公式.【解析】①式減②式得,即數列是從第二項開始的、以3為公比的等比數列,,方法二:純求通項法已知與的關系式為,消去的解題步驟如下:第一步:直接把帶人,從而消去,即.第二步:剩下只含的遞推公式,按照前面所講方法,根據遞推公式,求解前項和公式.第三步:再作差,得通項公式,一定要注意最后檢驗是否滿足求出的通項.已知數列的前項和為,,且當時,,求數列的通項公式.【解析】當時,,代入已知可得,項,2