2024屆江蘇省無錫市和橋區、張渚區數學九上期末質量跟蹤監視試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數）的圖象如圖所示，則方程ax2+bx+c＝m有實數根的條件是（）A．m≥﹣4 B．m≥0 C．m≥5 D．m≥62．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，E是BC延長線上的一點，已知∠BOD＝130°，則∠DCE的度數為（）A．45° B．50° C．65° D．75°3．已知一次函數與反比例函數的圖象有2個公共點，則的取值范圍是（）A． B． C．或 D．4．一元二次方程的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根C．有一個實數根 D．無實數根5．已知點都在函數的圖象上，則y1、y2、y3的大小關系是（）A．y2＞y1＞y3 B．y1＞y2＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y26．如圖，在邊長為的小正方形網格中，點都在這些小正方形的頂點上，相交于點，則()A． B． C． D．7．如圖，平面直角坐標系中，⊙P經過三點A（8，0），O（0，0），B（0，6），點D是⊙P上的一動點．當點D到弦OB的距離最大時，tan∠BOD的值是（）A．2 B．3 C．4 D．58．下列四種圖案中，不是中心對稱圖形的為（）A． B． C． D．9．如圖，小明為了測量一涼亭的高度AB（頂端A到水平地面BD的距離），在涼亭的旁邊放置一個與涼亭臺階BC等高的臺階DE（，A，C，B三點共線），把一面鏡子水平放置在平臺上的點G處，測得，然后沿直線后退到點E處，這時在鏡子里恰好看到涼亭的頂端A，測得．若小明身高1．6m，則涼亭的高度AB約為（）A．2．5m B．9m C．9.5m D．10m10．如圖，在ABCD中，E為CD上一點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，，則DE：EC=（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：211．如圖，是二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）圖象的一部分，與x軸的交點A在點（2，0）和（3，0）之間，對稱軸是直線x＝1對于下列說法：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④當﹣1＜x＜3時，y＞0；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1），其中正確有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個12．在同一坐標系中，一次函數y=ax+1與二次函數y=x2+a的圖像可能是（）A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．已知，則_____．14．將函數y=5x2的圖象向左平移2個單位，再向上平移3個單位，所得拋物線對應函數的表達式為__________．15．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D為線段AC上一動點，連接BD，過點C作CH⊥BD于H，連接AH，則AH的最小值為_____．16．拋物線y＝（x﹣1）2﹣2與y軸的交點坐標是_____．17．如圖，△ABC中，AD是中線，BC=8，∠B=∠DAC，則線段的長為________．18．如圖，是用卡鉗測量容器內徑的示意圖．量得卡鉗上A，D兩端點的距離為4cm，，則容器的內徑BC的長為_____cm．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖1,在平面內,不在同一條直線上的三點同在以點為圓心的圓上,且的平分線交于點,連接,．（1）求證：；（2）如圖2,過點作,垂足為點,作,垂足為點,延長交于點,連接．若,請判斷直線與的位置關系,并說明理由．20．（8分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，將△ABC繞點B順時針旋轉得到△DBE，使點C的對應點E恰好落在AB上，求線段AE的長．21．（8分）一件商品進價100元，標價160元時，每天可售出200件，根據市場調研，每降價1元，每天可多售出10件，反之，價格每提高1元，每天少售出10件．以160元為基準，標價提高m元后，對應的利潤為w元．（1）求w與m之間的關系式；（2）要想獲得利潤7000元，標價應為多少元？22．（10分）某商場銷售一種電子產品，進價為元/件.根據以往經驗:當銷售單價為元時，每天的銷售量是件；銷售單價每上漲元，每天的銷售量就減少件.（1）銷售該電子產品時每天的銷售量(件)與銷售單價(元)之間的函數關系式為______；（2）商場決定每銷售件該產品，就捐贈元給希望工程，每天扣除捐贈后可獲得最大利潤為元，求的值．23．（10分）如圖所示，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠BCD＜90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，試在邊AB上確定點P的位置，使得以P、C、D為頂點的三角形是直角三角形．24．（10分）如圖，在△ABF中,以AB為直徑的圓分別交邊AF、BF于C、E兩點，CD⊥AF．AC是∠DAB的平分線，(1)求證：直線CD是⊙O的切線．(2)求證：△FEC是等腰三角形25．（12分）我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.如圖1，圖2，圖3中，是的中線，，垂足為點，像這樣的三角形均為“中垂三角形.設.（1）如圖1，當時，則_________，__________；（2）如圖2，當時，則_________，__________；歸納證明（3）請觀察（1）（2）中的計算結果，猜想三者之間的關系，用等式表示出來，并利用圖3證明你發現的關系式；拓展應用（4）如圖4，在中，分別是的中點，且.若，，求的長.26．函數與函數（、為不等于零的常數）的圖像有一個公共點，其中正比例函數的值隨的值增大而減小，求這兩個函數的解析式.

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、A【解題分析】利用函數圖象，當m≥﹣1時，直線y＝m與二次函數y＝ax2+bx+c有公共點，從而可判斷方程ax2+bx+c＝m有實數根的條件．【題目詳解】∵拋物線的頂點坐標為（6，﹣1），即x＝6時，二次函數有最小值為﹣1，∴當m≥﹣1時，直線y＝m與二次函數y＝ax2+bx+c有公共點，∴方程ax2+bx+c＝m有實數根的條件是m≥﹣1．故選：A．【題目點撥】本題考查了圖象法求一元二次方程的近似根：作出函數的圖象，并由圖象確定方程的解的個數；由圖象與y＝h的交點位置確定交點橫坐標的范圍；2、C【分析】根據圓周角定理求出∠A，根據圓內接四邊形的性質得出∠DCE=∠A，代入求出即可．【題目詳解】∵∠BOD＝130°，∴∠A＝∠BOD＝65°，∵四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，∴∠DCE＝∠A＝65°，故選：C．【題目點撥】本題考查了圓周角定理，圓內接四邊形的性質的應用，注意：圓內接四邊形的對角互補，并且一個外角等于它的內對角．3、C【分析】將兩個解析式聯立整理成關于x的一元二次方程，根據判別式與根的關系進行解題即可.【題目詳解】將代入到中，得，整理得∵一次函數與反比例函數的圖象有2個公共點∴方程有兩個不相等的實數根所以解得或故選C.【題目點撥】本題考查的是一次函數與反比例函數圖像交點問題，能用函數的思想思考問題是解題的關鍵.4、B【分析】把一元二次方程轉換成一般式：（），再根據求根公式：，將相應的數字代入計算即可．【題目詳解】解：由題得：∴一元二次方程有兩個相等的實數根故選：B．【題目點撥】本題主要考查的是一元二次方程的一般式和求根公式，掌握一般式和求根公式是解題的關鍵．5、A【分析】根據反比例函數圖象上點的坐標特征，將點分別代入函數，求得的，然后比較它們的大小．【題目詳解】解：把分別代入：∵＞＞，∴＞＞故選：A．【題目點撥】本題考查的是反比例函數的性質，考查根據自變量的值判斷函數值的大小，掌握判斷方法是解題的關鍵．6、B【分析】通過添加輔助線構造出后，將問題轉化為求的值，再利用勾股定理、銳角三角函數解即可．【題目詳解】解：連接、，如圖：∵由圖可知：∴，∴∵小正方形的邊長為∴在中，，∴∴．故選：B【題目點撥】本題考查了正方形的性質、直角三角形的判定、勾股定理以及銳角三角函數．此題難度適中，解題的關鍵準確作出輔助線，注意轉化思想與數形結合思想的應用．7、B【解題分析】如圖，連接AB，過點P作PE⊥BO，并延長EP交⊙P于點D，求出⊙P的半徑，進而結合勾股定理得出答案．【題目詳解】解：如圖，連接AB，過點P作PE⊥BO，并延長EP交⊙P于點D，此時點D到弦OB的距離最大，∵A（8，0），B（0，6），∴AO=8，BO=6，∵∠BOA=90°，∴AB==10，則⊙P的半徑為5，∵PE⊥BO，∴BE=EO=3，∴PE==4，∴ED=9，∴tan∠BOD==3，故選B．【題目點撥】本題考查了圓周角定理以及勾股定理、解直角三角形等知識，正確作出輔助線是解題關鍵．8、D【分析】根據中心對稱圖形的定義逐個判斷即可．【題目詳解】解：A、是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

B、是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

C、是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

D、不是中心對稱圖形，故本選項符合題意；故選D．【題目點撥】本題考查了對中心對稱圖形的定義，判斷中心對稱圖形的關鍵是旋轉180°后能夠重合．能熟知中心對稱圖形的定義是解此題的關鍵．9、A【分析】根據光線反射角等于入射角可得，根據可證明，根據相似三角形的性質可求出AC的長，進而求出AB的長即可.【題目詳解】∵光線反射角等于入射角，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故選A．【題目點撥】本題考查相似三角形的應用，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似；如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且對應的夾角相等，那么這兩個三角形相似；如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關鍵.熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關鍵.10、B【題目詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE∴△DEF∽△BAF∴∵，∴DE：AB=2：5∵AB=CD，∴DE：EC=2：3故選B11、C【分析】由拋物線的開口方向判斷a與1的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與1的關系，然后根據對稱軸判定b與1的關系以及2a+b＝1；當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c；然后由圖象確定當x取何值時，y＞1．【題目詳解】解：①∵對稱軸在y軸右側，且拋物線與y軸交點在y軸正半軸，∴a、b異號，c＞1，∴abc＜1，故①正確；②∵對稱軸x＝﹣＝1，∴2a+b＝1；故②正確；③∵2a+b＝1，∴b＝﹣2a，∵當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＜1，∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜1，故③錯誤；④如圖，當﹣1＜x＜3時，y不只是大于1．故④錯誤．⑤根據圖示知，當m＝1時，有最大值；當m≠1時，有am2+bm+c＜a+b+c，所以a+b＞m（am+b）（m≠1）．故⑤正確．故選：C．【題目點撥】考核知識點:二次函數性質.理解二次函數的基本性質是關鍵.12、A【分析】本題可先由一次函數y=ax+1圖象得到字母系數的正負，再與二次函數y=x2+a的圖象相比較看是否一致．【題目詳解】解：A、由拋物線y軸的交點在y軸的負半軸上可知，a＜0，由直線可知，a＜0，正確；B、由拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上可知，a＞0，二次項系數為負數，與二次函數y=x2+a矛盾，錯誤；C、由拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸上可知，a＜0，由直線可知，a＞0，錯誤；D、由直線可知，直線經過（0，1），錯誤，故選A．【題目點撥】考核知識點：一次函數和二次函數性質.二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】由已知可得x、y的關系，然后代入所求式子計算即可.【題目詳解】解：∵，∴，∴.故答案為：.【題目點撥】本題考查了比例的性質和代數式求值，屬于基本題型，掌握求解的方法是關鍵.14、y=5（x+2）2+3【分析】根據二次函數平移的法則求解即可.【題目詳解】解：由二次函數平移的法則“左加右減”可知，二次函數y=5x2的圖象向左平移2個單位得到y=，由“上加下減”的原則可知，將二次函數y=的圖象向上平移3個單位可得到函數y=，故答案是：y=．【題目點撥】本題主要考查二次函數平移的法則，其中口訣是：“左加右減”、“上加下減”,注意數字加減的位置.15、2﹣2【分析】取BC中點G，連接HG，AG，根據直角三角形的性質可得HG＝CG＝BG＝BC＝2，根據勾股定理可求AG＝2，由三角形的三邊關系可得AH≥AG﹣HG，當點H在線段AG上時，可求AH的最小值．【題目詳解】解：如圖，取BC中點G，連接HG，AG，∵CH⊥DB，點G是BC中點∴HG＝CG＝BG＝BC＝2，在Rt△ACG中，AG＝＝2在△AHG中，AH≥AG﹣HG，即當點H在線段AG上時，AH最小值為2﹣2，故答案為：2﹣2【題目點撥】本題考查了動點問題，解決本題的關鍵是熟練掌握直角三角形中勾股定理關系式.16、（0，﹣1）【解題分析】將x＝0代入y＝（x﹣1）2﹣2，計算即可求得拋物線與y軸的交點坐標．【題目詳解】解：將x＝0代入y＝（x﹣1）2﹣2，得y＝﹣1，所以拋物線與y軸的交點坐標是（0，﹣1）．故答案為：（0，﹣1）．【題目點撥】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，根據y軸上點的橫坐標為0求出交點的縱坐標是解題的關鍵．17、【解題分析】已知BC=8，AD是中線，可得CD=4，在△CBA和△CAD中，由∠B=∠DAC，∠C=∠C，可判定△CBA∽△CAD，根據相似三角形的性質可得，即可得AC2=CD?BC=4×8=32，解得AC=4.18、1【分析】依題意得：△AOD∽△BOC，則其對應邊成比例，由此求得BC的長度．【題目詳解】解：如圖，連接AD，BC，∵，∠AOD＝∠BOC，∴△AOD∽△BOC，∴，又AD＝4cm，∴BC＝AD＝1cm．故答案是：1．【題目點撥】本題考查相似三角形的判定與性質的實際應用及分析問題、解決問題的能力．利用數學知識解決實際問題是中學數學的重要內容．解決此問題的關鍵在于正確理解題意的基礎上建立數學模型，把實際問題轉化為數學問題．三、解答題（共78分）19、（1）見解析（2）見解析【分析】(1)根據角平分線的定義和圓周角定理的推論，即可得到結論；(2)連接,過作交的延長線于,由為直徑,得,由，得，進而可得，即可得到結論.【題目詳解】（1）∵平分,∴,∴,∴；（2）直線與相切，理由如下：連接,過作交的延長線于,∵為直徑,∴,∴,∵,∴,∴,∵,∴,∴為的切線．【題目點撥】本題主要考查垂徑定理和圓的切線的判定定理，掌握圓的切線的判定定理，是解題的關鍵.20、1【分析】由勾股定理求出AB=1，由旋轉的性質得出BE=BC=6，即可得出答案．【題目詳解】∵在△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，∴AB＝＝10，由旋轉的性質得：BE＝BC＝6，∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝1．【題目點撥】本題考查了旋轉的性質以及勾股定理；熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．21、（1）w＝﹣1m2﹣400m+12000（0≤m≤20）；（2）標價應為11元或170元．【分析】（1）表示出價格變動后的利潤和銷售件數，然后根據利潤＝售價×件數列式整理即可得解；（2）代入w＝7000得到一元二次方程，求解即可．【題目詳解】解：（1）w＝（160+m﹣10）（200﹣1m）＝﹣1m2﹣400m+12000（0≤m≤20）（2）當利潤7000元時，即w＝7000，即﹣1m2﹣400m+12000＝7000，整理得m2+40m﹣500＝0，解得m1＝﹣50，m2＝1．當m＝﹣50時，標價為160+（﹣50）＝11元，當m＝1時，標價為160+1＝170元．∴要想獲得利潤7000元，標價應為11元或170元．【題目點撥】本題考查一元二次方程的應用，解題關鍵是熟練掌握計算法則列出之前的方程.22、（1）；（2）a=1．【分析】(1)利用“實際銷售量=原銷售量-10×上漲的錢數”可得；(2)根據單件利潤減去捐贈數為最后單件利潤，再根據銷售利潤等于單件利潤乘以銷售量即可求解．【題目詳解】(1)由題意得，∴函數關系式為：(2)設每天扣除捐贈后可獲得利潤為w元，依題意得：∵-10＜0，且拋物線的對稱軸為直線，

∴當y的最大值是1440，∴，化簡得：，解得：(不合題意，舍去)，．答：的值為1．【題目點撥】本題主要考查了二次函數的應用，根據銷量與售價之間的關系得出函數關系式是解題關鍵．23、在線段AB上且距離點A為1、6、處．【分析】分∠DPC＝90°，∠PDC＝90，∠PDC＝90°三種情況討論，在邊AB上確定點P的位置，根據相似三角形的性質求得AP的長，使得以P、A、D為頂點的三角形是直角三角形．【題目詳解】（1）如圖，當∠DPC＝90°時，∴∠DPA+∠BPC＝90°，∵∠A＝90°，∴∠DPA+∠PDA＝90°，∴∠BPC＝∠PDA，∵AD∥BC，∴∠B=180°-∠A=90°，∴∠A＝∠B，∴△APD∽△BCP，∴，∵AB=7，BP=AB-AP，AD=2，BC=3，∴，∴AP2﹣7AP+6＝0，∴AP＝1或AP＝6，（2）如圖：當∠PDC＝90°時，過D點作DE⊥BC于點E，∵AD//BC，∠A=∠B=∠BED=90°，∴四邊形ABED是矩形，∴DE＝AB＝7，AD=BE=2，∵BC＝3，∴EC＝BC-BE=1，在Rt△DEC中，DC2＝EC2+DE2＝50，設AP＝x，則PB＝7﹣x，在Rt△PAD中PD2＝AD2+AP2＝4+x2，在Rt△PBC中PC2＝BC2+PB2＝32+（7﹣x）2，在Rt△PDC中PC2＝PD2+DC2，即32+（7﹣x）2＝50+4+x2，解方程得：．（3）當∠PDC＝90°時，∵∠BCD＜90°，∴點P在AB的延長線上，不合題意；∴點P的位置有三處，能使以P、A、D為頂點的三角形是直角三角形，分別在線段AB上且距離點A為1、6、處．【題目點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質及勾股定理，如果兩個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似；解題時要認真審題，選擇適宜的判定方法，熟練掌握相似三角形的判定定理并運用分類討論的思想是解題關鍵．24、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解題分析】試題分析：（1）先判斷出∠FAC=∠ACO，進而得出AF∥CO，即可得出結論；（2）先用等腰三角形的三線合一得出AF=AB．再用同角的補角相等得出∠FEC=∠B即可得出結論．試題解析：（1）連接OC，則∠CAO=∠ACO，又∠FAC=∠CAO∴∠FAC=∠ACO，∴AF∥CO，而CD⊥AF，∴CO⊥CD，即直線CD是⊙O的切線；（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°又∠FAC=∠CAO∴AF=AB（三線合一），∴∠F=∠B，∵四邊形EABC是⊙O的內接四邊形，∵∠FEC+∠AEC=180°，∠B+∠AEC=180°∴∠FEC=∠B∴∠F=∠FEC，即EC=FC所以△FEC是等腰三角形．25、（1），；（2），；（3），證明見解析；（4）【分析】（1）根據三角形的中位線得出；，進而得到計算即可得出答案；（2）連接EF，中位線的性質以及求出AP、BP、EP和FP的長度再根據勾股定理求出AE和BF的長度即可得出答案