2021-2022學(xué)年湖南師大附中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)

是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上）

22

1.（5分）橢圓—+—=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）

25169

A.（±5,0）B.（0,±5）C.（0,±12）D.（±12,0）

2.（5分）在數(shù)列｛斯｝中,S〃為前〃項(xiàng)和,若斯-什斯+1=2斯（〃22,n€N*）,〃2+〃4=4,as

=8,則Sio=（）

A.95B.105C.115D.125

3.（5分）雙曲線/-彳=1（b>0）的漸近線方程是丫=±2&》,則雙曲線的焦距為（）

b2

A.3B.6C.2A/7D..1^2

4.（5分）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件A="第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件8="第二枚

出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，則A與B的關(guān)系是（）

A.互斥B.互為對(duì)立C.相互獨(dú)立D.相等

5.（5分）如圖，在平行四邊形ABC。中，"是AB的中點(diǎn)，0M與AC交于點(diǎn)N,設(shè)標(biāo)=:,

AD=b）則麗=（）

c1f”

C.D.A

3a3b

6.（5分）如果圓（x-a）2+（y-a）2=8上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為五,則實(shí)數(shù)。

的取值范圍是（）

A.(-3,-1)U(1,3)B.(-3,3)

C.[-1,1]D.(-3,-1]U[1,3)

7.（5分）蘇州市“東方之門”是由兩棟超高層建筑組成的雙塔連體建筑，“門”的造型是

東方之門的立意基礎(chǔ)，“門”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線型，如圖1,兩棟建筑第八層由一條長(zhǎng)

60機(jī)的連橋連接，在該拋物線兩側(cè)距連橋150”處各有一窗戶，兩窗戶的水平距離為30辦

如圖2,則此拋物線頂端O到連橋AB距離為（）

2

8.（5分）已知橢圓￥三=1（2>1）〉0）與圓？+產(chǎn)=。2在第二象限的交點(diǎn)是P點(diǎn)，F(xiàn)i

abz

（-C,0）是橢圓的左焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。到直線PQ的距離是lC，則橢圓的離

2

心率是（）

A.&-1B.A/3-1C.通-1D.遍"

22

二、選擇題（共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩

個(gè)是符合題目要求的，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有錯(cuò)選得0分）

（多選）9.（5分）以下四個(gè)命題表述正確的是（）

A.直線加r+4y-12=05eR）恒過定點(diǎn)（0,3）

B.已知直線x+y-機(jī)=0與直線x+（3-2〃?）y=0互相垂直，則，*=2

C.圓C：/+丫2-您-8尸43=0的圓心到直線4*-3>3=0的距離為2

D.兩圓/+）2+4X-4y=0與/+）2+2x-12=0的公共弦所在的直線方程為x+2y+6=0

（多選）10.（5分）已知曲線C：加沫+〃）2=1.（）

A.若,則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

B.若機(jī)=”>0,則C是圓，其半徑為行

C.若如?<0,則C是雙曲線，其漸近線方程為

D.若根=0,〃>0,則C是兩條直線

（多選）II.（5分）設(shè)Q,22分別是雙曲線C：=1的左、右焦點(diǎn)，過尸2作x軸

b

的垂線與C交于A,8兩點(diǎn)，若△ABF1為正三角形，則（）

A.h=2B.C的焦距為2遙

C.C的離心率為禽D.ZvlBFi的面積為4次

（多選）12.（5分）已知正三棱錐P-48C中，M為％的中點(diǎn)，PBLCM,口＜“工，則

)

A.PBLCA

B.PBYPA

C.該三棱錐的體積是工

3

D.該三棱錐的外接球的表面積是31T

三、填空題（共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）

13.（5分）設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和為S”54=-2,恁=3,則S”的最小值為.

14.（5分）如圖所示平行六面體ABC。-AiBiCiOi中，AB=AD=?,A4i=l,ZDAB=

60°,/ZMAi=/B/L4i=45°,則AG=.

22

15.（5分）已知雙曲線與橢圓“上=1有相同的焦點(diǎn)，它們離心率之和為其，則此雙曲

9255

線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

16.（5分）己知拋物線C：J=4x的焦點(diǎn)為產(chǎn)，過點(diǎn)F的直線與C交于A,B兩點(diǎn),且|阿

=4,則依用=.

四、解答題（本大題共6小題，共計(jì)70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫出文

字說(shuō)明、證明過程或演算步驟）

17.（10分）已知在數(shù)列｛斯｝中，“1=1,即=2斯一代1（"22,neN*）.

（1）記尻=log2（斯+1），判斷｛d｝是否為等差數(shù)列，并說(shuō)明理由；

（2）求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式.

18.（12分）已知△ABC的頂點(diǎn)A（5,1）,邊A3上的中線CM所在直線方程為2x-y-5

=0,邊AC上的高8〃所在直線方程為x-2y-5=0.

(1)求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)求△ABC的面積.

19.(12分)在△ABC中，Be(―,5Tr...),△ABC的外接圓半徑R=2.

626

(1)若sin8=2",求sinC及邊長(zhǎng)AB-,

7

(2)求而?前的取值范圍.

20.(12分)如圖，在四棱錐P-ABCC中，底面A8C￡>是正方形，側(cè)棱R1_L底面ABC￡>,

點(diǎn)E,尸分別是PC,PD上的動(dòng)點(diǎn)，且

(1)求證：EF_L平面刃Q；

(2)若PE』PC，且PC與底面4BCO所成角的正弦值為之，求平面AEC與平面AED

35

夾角的余弦值.

21.(12分)已知橢圓E：(a>b>0)的左焦點(diǎn)F\(-c,0)(c>0)到圓C：

(x-2)2+(y-4)2=1上任意一點(diǎn)距離的最大值為6,且過橢圓右焦點(diǎn)Fi(c,0)與

上頂點(diǎn)的直線與圓O：/+/=▲相切.

2

(1)求橢圓E的方程；

(2)若直線/：y=-x+m與橢圓E交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)以AB為直徑的圓與y軸相切時(shí),

求m的值.

222

22.(12分)已知橢圓Ci：2-+y2=i與雙曲線。2：=l(a>0,b>0)有共同

4a2b2

的焦點(diǎn)Fi，F(xiàn)2,且雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2&.

(1)求雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若曲線Ci與Q在第一象限的交點(diǎn)為尸，求證：NFIPF2=90°.

(3)過右焦點(diǎn)局的直線/與雙曲線C2的右支相交于的A,8兩點(diǎn)，與橢圓。交于C,

。兩點(diǎn).記△AOB,△CO。的面積分別為Si，S2，求電■的最小值.

s2

2021-2022學(xué)年湖南師大附中高二(上)期中數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題(共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)

是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上)

22

1.(5分)橢圓2_+2_=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()

25169

A.(±5,0)B.(0,+5)C.(0,+12)D.(±12,0)

【分析】由。，6,c的關(guān)系即可得出焦點(diǎn)坐標(biāo).

22

【解答】解：橢圓的方程2+B—=1中/=169,廿=25,

25169

=-后=144,又該橢圓焦點(diǎn)在y軸，

二焦點(diǎn)坐標(biāo)為:(0,±12).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，正確運(yùn)用4,b,C的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2.(5分)在數(shù)列｛即｝中,S”為前「項(xiàng)和,若a”-1+。"+1=2斯(〃22,nGN*),02+04=4,as

—8,則Sio-()

A.95B.105C.115D.125

【分析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)先求出公差及首項(xiàng)，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求.

【解答】解：因?yàn)閿?shù)列｛“”｝中，an-i+an+i=2an(n>2,〃€N*),

所以數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列，

因?yàn)椤?+44=203=4,

所以43=2,

因?yàn)椤?=8,

所以_^2=3,a\=-4,

5-3

貝ISio=lOai+45"=-40+135=95.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差中項(xiàng)的定義，等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.（5分）雙曲線/-4=1（15>0）的漸近線方程是尸土2&》,則雙曲線的焦距為（）

b2

A.3B.6C.2V7D..|^

【分析】利用雙曲線的漸近線方程，求出6,然后求解c,即可求解雙曲線的焦距.

【解答】解：雙曲線乂2-4=1（15>0）的漸近線方程是了=±2&*,

b2

可得所以c=Ja2+b2=3,

所以雙曲線的焦距為6.

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查.

4.（5分）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件A="第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件8="第二枚

出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，則A與B的關(guān)系是（）

A.互斥B.互為對(duì)立C.相互獨(dú)立D.相等

【分析】根據(jù)互斥，對(duì)立，獨(dú)立事件的定義判斷即可.

【解答】解：由題可知，拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，第一枚和第二枚出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的分類情

況如下，

①（奇數(shù)，奇數(shù)），②（奇數(shù)，偶數(shù)），③（偶數(shù)，奇數(shù)），④（偶數(shù)，偶數(shù)），

事件A="第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)"={①，②},

事件8="第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”={②，④},

兩個(gè)事件不相等，排除

AD3W0,所以不是互斥事件，排除A,B,

C選項(xiàng)，事件A="第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)"，P（A）=1=1,

62

事件B="第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)"，P（B）=1=1,

62

事件A8="第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，P（AB）=^S1=1,

364

滿足P（AB）=P（A）*P（B）,

所以事件A和事件B是相互獨(dú)立事件，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查事件關(guān)系，判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立，利用定義法，滿足P（AB）

=P(4)-P(B)即獨(dú)立，本題屬于基礎(chǔ)題.

5.(5分)如圖，在平行四邊形A8CO中，M是4B的中點(diǎn)，與AC交于點(diǎn)N,設(shè)羽=Z，

AD=b-則麗=()

2-I7n2-I7r1-*27n1-2：

A0，-a-STbJ-rra+770?—a-rrb

33333333

【分析】由向量的定義，加法法則，平面向量基本定理即可解出.

【解答】解：由題意可知，7M

AC=AB+AD-設(shè)點(diǎn)=入菽，

/.AN=X(2AM+AD).

又點(diǎn)。,N,例三點(diǎn)共線，所以氤=|1訕+(1-|1)標(biāo)，

.f2X=|l

??葭=13,

?I

,?AN^7AC)

o

BN=AN-AB=17C-AB=4-AD4標(biāo)二學(xué)"總

OOo00

故選：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的基本知識(shí)，相關(guān)的運(yùn)算，學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.(5分)如果圓(x-a)2+(y-?)2=8上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為五,則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是()

A.(-3,-1)U(1,3)B.(-3,3)

C.[-1,1]D.(-3,-1]U[1,3)

【分析】圓(x-a)(y-&)2=8和圓/+)2=2相交，兩圓圓心距大于兩圓半徑之差、

小于兩圓半徑之和.

【解答】解：?jiǎn)栴}可轉(zhuǎn)化為圓（X-。）2+（＞-“）2=8和圓/+）2=2相交,

兩圓圓心距^V(a-0)2+(a-0)2=&間-

由R-r<|00i|VR+r得2A巧|a|<272+72.

解得：l<|a|<3,HPae(-3,-1)U(1,3)

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，將問題轉(zhuǎn)化為：圓（X”）2+（y-“）2=8和圓/+y2

=2相交.

7.（5分）蘇州市“東方之門”是由兩棟超高層建筑組成的雙塔連體建筑，“門”的造型是

東方之門的立意基礎(chǔ)，“門”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線型，如圖1,兩棟建筑第八層由一條長(zhǎng)

60s的連橋連接，在該拋物線兩側(cè)距連橋150m處各有一窗戶，兩窗戶的水平距離為30m,

如圖2,則此拋物線頂端。到連橋AB距離為（）

圖1

A.180mB.220/nD.240m

【分析】建立坐標(biāo)系，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）,設(shè)拋物線解析式為/=-2py,求

出。、8坐標(biāo)，代入拋物線方程求解即可.

【解答】解：如圖，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）,設(shè)拋物線解析式為，=-2py,

又知拋物線過。（15,//）,

A152=-2ph,8(30,-h-150)

.,.3()2=-2p(-h-150),解得：〃=50,p=2.25.

此拋物線頂端O到連橋AH距離為：200m.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及拋物線的實(shí)際應(yīng)用.此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次

函數(shù)解決實(shí)際問題.

22

8.(5分)已知橢圓3了』2=l(a>b>0)與圓？+)2=。2在第二象限的交點(diǎn)是P點(diǎn)，F(xiàn)i

a，y

(-C,0)是橢圓的左焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，O到直線PFi的距離是1C，則橢圓的離

心率是()

A.V2-1B.V3-1C.遙—]D.娓"

22

【分析】由題意畫出圖形，由已知求得尸尸2|,再由勾股定理求得IPQI，然后結(jié)合橢圓定

義求解橢圓的離心率.

【解答】解：如圖，過。作ONLPF1，

?:PF4PF2,：.ON//PFi,

又。為尸產(chǎn)2的中點(diǎn)，二。代為△QPF2的中位線.

又。到直線所的距離是卑C，???|F,P|=210N|=百C，

則IFJP|=V4C2-3C2=C

由題意定義可得，|F]P|+|F2P1=(正+l)c=2a，

貝|Je=￡-^—2._=__/(我_J-----=73-1-

aV3+1(V3+1)(V3-1)

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查橢圓定義的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方

法，是中檔題.

二、選擇題（共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩

個(gè)是符合題目要求的，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有錯(cuò)選得0分）

（多選）9.（5分）以下四個(gè)命題表述正確的是（）

A.直線〃a+4），-12=0（H€R）恒過定點(diǎn)（0,3）

B.已知直線x+y-m=0與直線x+（3-2%）y=0互相垂直，則機(jī)=2

C.圓C：/+/-2x-8y+13=0的圓心到直線4x-3y+3=0的距離為2

D.兩圓/+）2+4x-4y=0與/+/+2x-12=0的公共弦所在的直線方程為x+2），+6=0

【分析】直接利用直線的方程，兩圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用判斷A、8、

C、。的結(jié)果.

【解答】解：對(duì)于A：直線〃ir+4y-12=0（w?eR）恒過定點(diǎn)（0,3）故A正確；

對(duì)于B：已知直線x+y-m=0與直線x+（3-2/n）y=0互相垂直，3-2m=-1,解得m

=2,故8正確；

對(duì)于C：圓C：?+/-2x-8yM3=0的圓心（1,4）到直線4x-3y+3=0的距離d=

對(duì)于￡＞：兩圓?+y2+4x-4y=0與^+y2+2x-12=0的公共弦所在的直線方程為x-2y+6

=0,故。錯(cuò)誤；

故選：AB.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：直線的方程，兩圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，

主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

（多選）10.（5分）已知曲線C：mx1+ny2=\.（）

A.若根＞〃＞0,則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

B.若機(jī)=，>0,則C是圓，其半徑為行

c.若成〃<0,則c是雙曲線，其漸近線方程為丫=±5五

D.若根=0,〃>0,則C是兩條直線

【分析】根據(jù)所給條件，逐一分析對(duì)應(yīng)的方程形式，結(jié)合橢圓、圓、雙曲線方程的定義

進(jìn)行判斷即可.

22

【解答】解：4若%則工<工，則根據(jù)橢圓定義，知《一斗=1表示焦點(diǎn)在

mnA.A

mn

y軸上的橢圓，故4正確；

B.若m=n>0,則方程為f+/=工，表示半徑為々的圓,故B錯(cuò)誤;

nVn

C.若mVO,〃>0,則方程為亍壬一=1,表示焦點(diǎn)在），軸的雙曲線，故此時(shí)漸近線方

mn

程為y=±/Wx,

22

若機(jī)>0,w<0,則方程為手號(hào)=1,表示焦點(diǎn)在x軸的雙曲線，故此時(shí)漸近線方程為

mn

故C正確;

D.當(dāng)m=0,九>0時(shí)，則方程為y=±1表示兩條直線,故。正確;

故選：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐曲線方程的定義，屬于中檔題.

2

（多選）11.（5分）設(shè)Fi，F(xiàn)2分別是雙曲線C：/-2_=1的左、右焦點(diǎn)，過尸2作x軸

b

的垂線與C交于A,8兩點(diǎn)，若為正三角形，則（）

A.h=2B.C的焦距為2遙

C.C的離心率為百D.△ABFi的面積為

【分析】由題意及△ABFi為正三角形可得a,c的關(guān)系，進(jìn)而求出離心率的值，再由雙曲

線的方程可得6的值，及三角形ABFi的面積。判斷出所給命題的真假。

【解答】解：設(shè)依尸2|=力因?yàn)椤鰽BF1為正三角形，

所以|AFI|=2Z,2C=|FIF2|=M/,

由雙曲線定義可得：2a=\AFi\-\AF2\=2t-t=t=2,

所以雙曲線的離心率6=2&=返工=我，所以C正確；

2at

由雙曲線的方程可得a=l,。2=1+6,

所以由離心率e=￡=聲可得:迎豆?=收，

a1

解得：人=2,所以A正確；

。=行可=代，所以焦距2c=2我,所以B不正確；

SAABF.=<?2c?2?b'2其中爐=兒

12a

所以SAABFI=2?2A/E?2?2=4J§,所以。正確；

21

故選：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì)及命題真假的判斷，屬于中檔題。

（多選）12.（5分）已知正三棱錐P-ABC中，M為必的中點(diǎn)，PBLCM,CM/與，則

（）

A.PBLCA

B.PBLPA

C.該三棱錐的體積是工

3

D.該三棱錐的外接球的表面積是3TT

【分析】取AC中點(diǎn)N,連接PN,BN,可得AC,平面「8M得判斷；進(jìn)一步

證明平面左C,得PBLEl判斷3；求解三角形得PC,求得三棱錐體積判斷C；然

后求出三棱錐外接球的半徑，代入球的表面積公式判斷D.

【解答】解：取AC中點(diǎn)N,連接尸N,BN

?三棱錐P-A8C為正三棱錐，：.PN±AC,BNVAC,

又PNCBN=M；.ACJ_平面P8N,WPBLAC,故選項(xiàng)A正確；

又PBLCM,且ACCCM=C,平面以C,得P8_L以，故選項(xiàng)B正確；

又三棱錐P-A8C為正三棱錐，，布LPC,且%=P8=PC,

在RtZ\PMC中，設(shè)PC=2x,則PM=x,而CM=正,

2

由勾股定理解得PC=1,故三棱錐的體積為工x^XlXIX1=工，故C錯(cuò)誤；

326

其外接球半徑為李，外接球表面積為4兀X（亨）2=3”，故D正確.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中點(diǎn)、線、面間的位置關(guān)系及距離計(jì)算，考查多面體體積及其外

接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

三、填空題（共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）

13.（5分）設(shè)等差數(shù)列｛劭｝的前〃項(xiàng)和為S”54--2,“6=3,則S”的最小值為-3.

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,根據(jù)54=-2,56=3即可計(jì)算出S”再結(jié)合二次函

數(shù)的性質(zhì)即可得到S,的最小值.

【解答】解：設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為4,由義=-2,得4“1+2咨=-2,即20+34

2

=-1①，

又46=3,得0+5d=3②，聯(lián)立①②解得a\=-2,d=1,所以Sn=-2”+口11）.義I

2

=L,--7J,

22

由于“6N+,根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)〃=2或3時(shí)S”有最小值，且最小值為S2=S3=-

3.

故答案為：-3.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列前〃項(xiàng)和、數(shù)列與函數(shù)的綜合問題，考查學(xué)生推理論證

和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.（5分）如圖所示平行六面體ABC。-481cl。中，AB=AO=&,AAi=l,/D48=

60°,ZDAA\=ZBAA｝=45°,則ACI=_VTL_.

【分析】利用商2=(AB+BC+CC^)

AB2+BC2+CC^2+2AB'BC+2AB?CC^+2BC計(jì)算即可.

【解答】解：,在平行六面體ABCQ-AiBiCiQ中，

AB=AD=M，A4I=1,ZDAB=60°,ZDAA\=ZBAAi=45°,

二記2=(屈+皮+西)2=彘2+前2+西2+2標(biāo)?正+2瓦,西+2正.西

=2+2+1+2?揚(yáng)&860°+2?&?l?cos45°+2?衣?1?cos45°

=11.

，ACI=E.

故答案為：V!1,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線段的長(zhǎng)度的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用，屬

于基礎(chǔ)題.

22,.

15.（5分）已知雙曲線與橢圓“上=1有相同的焦點(diǎn)，它們離心率之和為」也，則此雙曲

9255

線的標(biāo)準(zhǔn)方程是^--^-=1.

~412

【分析】首先由橢圓方程知其焦點(diǎn)在y軸上，并求出半焦距c與離心率e,然后設(shè)出雙曲

線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并由它們離心率之和求出雙曲線的離心率2,進(jìn)而求得小再根據(jù)雙曲線

a

的性質(zhì)b2=c2-a2求得序,則問題解決.

【解答】解：由橢圓方程知其焦點(diǎn)在y軸上，且。=亞同'=4,e=9,

5

22

則設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為J_三=l,

1

a2.b2

那么有￡_41邑，解得。=2,

a55

所以b2=c2-a2=\6-4=12,

22

因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為匚——=1.

412

22

故答案為，_—=

412

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì).

16.（5分）已知拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為凡過點(diǎn)尸的直線與C交于A,8兩點(diǎn)，且|以|

=4,則依8|=_學(xué)_.

【分析】設(shè)過尸（1,0）的直線方程為》=機(jī)）葉1,聯(lián)立直線與拋物線方程，可得寸-4,犯

-4=0,再結(jié)合韋達(dá)定理和拋物線的定義，即可求解.

【解答】解：設(shè)過尸（1,0）的直線方程為A（xi,yi）,B（12,”），

Z3

Y=rny+1

聯(lián)立直線與拋物線方程|，可得）2-4町-4=0,

,y2=4y

22

由韋達(dá)定理，可得yi”=-4,貝i]x,xc=2■?七'=1，

1244

?.?由拋物線的定理，可得|砌|=用+1=4,

???|FB|=乂2+14，IAB1=4-4-v-

乙Soo

故答案為：li.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了拋物線的定義，需要學(xué)生有較強(qiáng)的綜合能力，屬于中檔題.

四、解答題（本大題共6小題，共計(jì)70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫出文

字說(shuō)明、證明過程或演算步驟）

17.（10分）已知在數(shù)列｛飆｝中,“1=1,an=2an-\+l（n>2,nGN*）.

（1）記尻=log23+1），判斷｛為｝是否為等差數(shù)列，并說(shuō)明理由;

（2）求數(shù)列｛小｝的通項(xiàng)公式.

【分析】（1）判斷｛與｝是等差數(shù)列,計(jì)算為一仇一為常數(shù)即可證明；

（2）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出加，再利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化即可求得數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)

公式.

【解答】解：（1）｛仇｝是等差數(shù)列，理由如下：

h\=\og2(41+1)=log22=l,

當(dāng)"N2時(shí)，bn-bn-l=log2(fln+1)-log2(fln-1+1)

a+12a<+1+12a,+2

=log2-2---=log2———.....=log2—————=log22=1,

an-l+1an-l+1an-l

所以｛4｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.

(2)由(1)得益=1+(n-1)Xl=〃，

所以斯+1=2%=2",

所以。〃=2"-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列遞推式，等差數(shù)列的證明，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查運(yùn)算

求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.(12分)已知△ABC的頂點(diǎn)A(5,1),邊AB上的中線CM所在直線方程為2x-y-5

=0,邊AC上的高所在直線方程為x-2)，-5=0.

(1)求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)求△A8C的面積.

【分析】(1)由邊AC上的高的斜率可得直線AC的斜率，進(jìn)而求出直線AC的方程，與

直線CM的交點(diǎn)為頂點(diǎn)C,聯(lián)立兩個(gè)直線的方程，求出交點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)設(shè)8的坐標(biāo)，可得AB的中點(diǎn)。的坐標(biāo)，將。的坐標(biāo)代入直線CM上，將8的坐

標(biāo)代入直線8”上，求出8的坐標(biāo)，再求B到直線AC的距離d,再求|AC|的值，進(jìn)而求

出AABC的面積.

【解答】解：(1)由AC邊上的高的方程為x-2y-5=0,其斜率為』，

2

所以可得直線AC的斜率為-2,

所以直線AC的方程為：y-1=-2(x-5),

即直線AC的方程為：y=-2x+\\,

聯(lián)立直線AC的方程與AB的中線CM的方程可得C的坐標(biāo)，

即(2x-y-5=0,解得：尸4,y=3,

|y=-2x+ll

即C的坐標(biāo)(4,3)；

(2)設(shè)B的坐標(biāo)(〃?，〃)，

則邊AB的中點(diǎn)。坐標(biāo)(皂也，上也)，

22

由題意可得。在直線AC上，8在直線BH上，

'm+5_n+l

即｛”22,解得-1,"=-3,

m-2n-5=0

即8(-1,-3),而直線AC的方程為：2x+y-11=0,

所以8到直線AC的距離，即AC邊上的高h(yuǎn)=d=|2(-1)-3~11|=16_

722+12遍

HCI=(5-4)2+(3-1)2=遙，

所以SAABC=2?HC|"=工xjlx遍=8.

22遍

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線經(jīng)過定點(diǎn)問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

19.(12分)在△ABC中，A=?L,Be(―,且L),/XABC的外接圓半徑R=2.

626

(1)若sinB=Z/Z_,求sinC及邊長(zhǎng)AB-,

7

(2)求百?前的取值范圍.

【分析】(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，兩角和的正弦公式可得sinC的值，再由正弦定

理求出AB的值;

(2)由正弦定理可求得BC=2,A8=4sin(旦L-B),再結(jié)合平面向量的數(shù)量積定義、

6

二倍角公式推出福?前=4sin(28+匹)+2,然后根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得解.

6

【解答】解：(1)(―,..5.2L),sin§=2夕,：.cosB=-

2677

VA+B+C=n,

/.sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=AX(-V^--)_義

272714

由正弦定理，知/L_=2R,則A8=2X2義返L=aZ01.

sinC147

(2)由正弦定理得，-=呼=2R=4,

sinCsinA

/.BC=4sinA=2,A8=4sinC=4sin(IT--ZL-B)=4sin(-^ZL-B),

66

?**BA*BC—IBAIIBC|cosB=8sin(5兀,一3)cosB=8cosB(AcosB+^-?-sinB)

622

=4cos2B+2V3sin2B=2+2cos2B+2V3sin2B=4sin(2B+-)+2,

VB6C—,^2L),

26

Asin(2B+2L)e[-1,-A),

62

則就?皮的取值范圍為L(zhǎng)2,0).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量與解三角形的綜合，熟練掌握平面向量數(shù)量積的定義，正弦

定理，二倍角公式，以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)

算能力，屬于中檔題.

20.(12分)如圖，在四棱錐P-ABCC中，底面A8C￡>是正方形，側(cè)棱底面ABC￡>,

點(diǎn)、E,尸分別是PC,PD上的動(dòng)點(diǎn)，且PE?尸￡)=P尸EC.

(1)求證：EF_L平面PAD-,

(2)若PE』PC，且PC與底面A8CD所成角的正弦值為旦，求平面AEC與平面AED

35

夾角的余弦值.

【分析】(1)由正方形ABCO中C￡>_LAO,側(cè)棱以_L底面A8C￡>得以_LC￡>,可證明C￡>

_L平面以。；再由PEFD=PFEC得出E尸〃C￡>,即可證明EFJ_平面必。；

(2)由NPCA是直線PC與底面ABCZ)所成的角，求出鞏、AC的關(guān)系，建立空間直角

坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，求出平面C4E的一個(gè)法向量是麗，平面AEO的法向量W，

再求cos<n，BD>即可.

【解答】(1)證明：四棱錐尸-4BCZ)中，底面ABC。是正方形，所以COL4O；

又因?yàn)閭?cè)棱B4JL底面A8C￡>,CCu平面A8C￡>,所以以J_CZ),

又因?yàn)閍CIAO=A,且以u(píng)平面南。，AOu平面以。，

所以C￡)_L平面PAD；

又因?yàn)镻EF￡>=PFEC,所以患型，

ECFD

所以EF〃C￡),所以EF_L平面％￡>；

(2)解：正方形ABCZ)中，AB_LA￡>,側(cè)棱出_L底面A8CD,

所以NPC4是直線PC與底面ABC。所成的角;

所以sin/PC4=FA=2

PC5

建立空間直角坐標(biāo)系O-AyZ,如圖所示:

設(shè)A8=l,AC=&,%=,

依題意知，A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,^2_),

由PE=」PC知，E(A,A,XL),

3332

因?yàn)?￡>_LAC,PAYBD,且B4n4C=A,

所以B。，平面%C,平面CAE的法向量是麗=(-1,1,0)；

由AE=(上，-)返?)，菽=(0,1,0),

332

設(shè)平面AEQ的法向量為［=Cx,y,z),

L->{11V2

則巧過=0,可x%yw-z=o

n-AD=0y=o

令x=3,得z=-我，

平面AEC的法向量為(3,0,-&),

由二面角C-AE-O為銳角，所以二面角C-AE-D的余弦值為3岳.

22

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面垂直的證明以及線面角的正弦值、二面角的余弦值計(jì)算問題，

考查了利用空間向量求二面角的余弦問題，是中檔題.

22

21.(12分)已知橢圓氏三?+，=1(4>6>0)的左焦點(diǎn)尸1(-c,0)(c>0)到圓C：

a2b,2

(x-2)2+(y-4)2=1上任意一點(diǎn)距離的最大值為6,且過橢圓右焦點(diǎn)Fi(c,0)與

上頂點(diǎn)的直線與圓O：/+丁=工相切.

2

(1)求橢圓E的方程；

(2)若直線/：y=-x+〃?與橢圓E交于A,8兩點(diǎn)，當(dāng)以AB為直徑的圓與y軸相切時(shí)，

求相的值.

22+1=6>

【分析】(1)由題意，7(-C-2)+4可得C=1，過橢圓右焦點(diǎn)&(c,0)與

上頂點(diǎn)的直線與圓O：7+/=工相切，可求6,從而可得橢圓E的方程；

2

(2)/：y=-x+〃]與橢圓E聯(lián)立，因?yàn)橐訟B為直徑的圓與y軸相切，所以圓心到y(tǒng)軸

的距離即圓心橫坐標(biāo)等于半徑，由弦長(zhǎng)公式可求得HB|,從而可得半徑，利用韋達(dá)定理及

中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得，徵的值.

22+1=6>

【解答】解：(1)由題意，7(-C-2)+4

：c>0,

過橢圓右焦點(diǎn)尸2(c,0)與上頂點(diǎn)的直線方程為申《=1，即加+y-6=0,

過橢圓右焦點(diǎn)/2(C，0)與上頂點(diǎn)的直線與圓。：/+9=工相切，

2

-I-b|_72

V1+b22

；.6=1,

：.a=\[2<

2C

...橢圓E的方程為江+y2=i；

2y

(2)直線/：y=-x+加與橢圓E聯(lián)立可得37--2=0,△>0,得加2V3.

2

設(shè)A(xi，yi),B(X2，V2)，貝Ijxi+X2=-^，X1X2=,

33

...A3的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為區(qū)，

3

???以AB為直徑的圓的半徑為rX2|=|空，

2

(X1+X2)2—8x1X2,即(■^)2=8?.2皿-2,,