綜合十-【新教材】人教A版（2019）

高一數學暑假作業（含解析）

一、單選題

1.下列函數既是奇函數又在上是增函數的是（）

A.y=cos（5+x）B.y=-jC.y=ln|^D.y=2X-2~x

2.已知函數/（x）=G-V5）sinx+（與+l）cosx，將f（x）圖象向右平移g個單位長度得

到函數g（x）的圖象，若對任意xeR,都有g（x）<|g?）成立，則”的值為（）

A.-1B.1C.-2D.2

3.已知不等式a/一萬％一1之0的解集是{%[-3<x<一2},則不等式/+旅+Q〉0

的解集是（）

A.{%|x<一：或%>1}B.{x\x<-1或%>，}

C.{x\x<-2或%>3}D.{x\x<-3或%>2]

4.已知函數/（%）=sin%?sin-%則/（%）的值不可能是（）

A.-gB.C.0D,2

5.在△48C中，若b=1,a（2sin8—A/5cosc）=V5ccos力，點G是△4BC的重心，且

4G=W，貝面積為（）

A.V3B.更C.遍或2遮D.逋或遮

24

6.下列四個結論，正確的個數是（）

①在△4BC中，若？1>B>C,則sinA>sinB>sinC；

②若3〃石，則存在唯一實數a使得￡=焉；

③若a111),bile，則allc；

r—*—,、

「-1

ABA

④在A4BC中，若+BC=Q,且金、=一，則△ABC為等

\AC\)\AB\\AC\2

邊三角形;

A.1B.2C.3D.4

7.已知復數z=^等心（i為虛數單位），則下列說法正確的是（）

A.z的虛部為4

B.復數z在復平面內對應的點位于第三象限

C.z的共軌復數2=4-2i

D.\z\=2V5

8.在正四面體A8CQ中，點E,F分別是AB,BC的/

中點，則下列結論錯誤的是（）

A.異面直線48與C。所成的角為90。

B.直線AB與平面BCD成的角為60。4^0

C.直線EF〃平面ACD

D,平面AFDL平面BCD

C

9.甲乙兩名同學6次考試的成績統計如圖,甲乙成績的平均數分別為機1，m2,標準差

分別為九1，九2，則（）

1歹（分）----甲

1207^3乙

90

60H-------T、

30--------------------

0123456x（次）

A.m1<m2,九1<n2B.m1<m2,n1＞九2

C.m1>m2,九1<n2D.>m2,n1＞幾2

二、多選題

10.如下圖，BC,。片是半徑為1的圓。的兩條不同的直

徑，FF=2FO.則（）

A.~BF=-~FC

L二8

C.-1<cos面，隔<

D.滿足正=AFD+〃而的實數/l與4的和為定值4

11.下列關于復數的命題中（i是虛數單位），說法正確的是（）

第2頁，共35頁

A.若關于x的方程(1+i)x2+ax+l-4i=O(aeR)有實根，則a=±-|

B.復數z滿足(1+i)z=i2021,則z在復平面對應的點位于第二象限

C.1+2i是關于x的方程*2+px+4=0的一個根，其中p,g為實數，則q=5

D.已知復數Z「Z2滿足Z「Z2=|Z1-，則Z1=Z2

12.如圖，在矩形A8CO中，AB=2AD=2,E為AB的中點，將A4DE沿OE翻折到

△&DE的位置，40平面月BCD,M為41c的中點，則在翻折過程中，下列結論正

確的是()

A.恒有BM〃平面&OE

B.8與M兩點間距離恒為定值

C.三棱錐4-DEM的體積的最大值為照

D.存在某個位置，使得平面4DE，平面4CD

13.下列說法正確的序號是()

A.偶函數/(%)的定義域為[2a-l,a],則a=[

B.一次函數/'(%)滿足/■(/(?)=4x+3,則函數/'(x)的解析式為f(x)=x+1

C.奇函數在[2,4]上單調遞增，且最大值為8,最小值為-1,貝1]2/(-4)+

/(-2)=-15

D.若集合4={x|-ax2+4x+2=0}中至多有一個元素，則a<-2

三、填空題

14.如圖,正方體4BCD-A$iGDi的棱長為1,線段aD1上有兩個動點E,F,且EF=*,

則下列結論中正確的結論序號是.①4c1BE；②EF〃平面

ABCD；③異面直線AE,BF所成的角為定值；④直線AB與平面8所所成的角為

定值；⑤以ABEF為頂點的四面體的體積不隨EF位置的變化而變化.

Bl

15.(1)已知銳角三角形ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足8$28-

cos2C-sin24=-sinAsinB,sin(4—B)=cos(4+B).若a=&,則三角形ABC

的面積為.

(2)已知五萬均為單位向量，且它們的夾角為120。，則|21+個=.

(3)若點P是41BC內的一點，且滿足對+方+同=6,則蓼=.

(4)已知。X=(-1,3),OB=(3,-l),OC=(m,1)若前1近，則實數m=。

(5)如圖，在四邊形OBC。中，加=2BO^OA=2AD^D=90°,K|BO|=\AD\=

1.點尸在線段AB上，且AB=3AP,則cos/PCB=________。

16.從某小學隨機抽取100名學生，將他們的身高(單位：cm)數據繪制成頻率分布直方

圖(如圖).若要從身高在［120,130),［130,140),［140,150］內的學生中，用分層隨機

抽樣的方法選取18人參加一項活動，則應從身高在［140,150］內的學生中選取的人

數為.

第4頁，共35頁

“頻率

17.新型肺炎疫情期間，A地派遣甲、乙、丙、丁四支運輸隊將“愛心物資”運往B地，

已知甲運輸隊在三天內到達8地的概率為:，乙運輸隊在三天內到達B地的概率為

42

丙、丁兩運輸隊在三天內到達B地的概率均為：，若四支運輸隊在三天內到達B地

與否相互獨立，則至少2支運輸隊在三天內到達B地的概率為；

18.已知，?是虛數單位，若復數Z滿足zi20】9=l+i,則團=.

19.設f(x)是定義在R上的奇函數，且當x>0時，fM=x2,求函數f(x)的解析

式_(1)_若對于任意的X6[t,t+2],不等式fQ+t)>“⑺恒成立，則實數f的

取值范圍是一(2)_.

20.已知sin(x+》=%則sin(詈-x)+cos2c-=_(1)_；已知a為鈍角,若

sin(c+-一，，則cos(2a+與的值為_(2)_.

3512

21.設a,瓦c分別是△ABC的內角的對邊，(b+c)sin(4+C)=(a+c)(sin4一

sinC),則角力=；設。是邊BC的中點，且△ABC的面積為B，則荏?

(DA+而)=.

四、解答題

22.已知函數/Xx)=2sin2(3x+：)-HCOS(23X)-1(3>0),/'(x)的最小正期為兀.

(1)求f(x)的值域；

(2)方程f(x)-n+1=0在[0,秒]上有且只有一個解，求實數n的取值范圍；

x

(3)是否存在實數m滿足對任意與6[-1,1].都存在久26凡使+4rl+m(2i-

2-七)+2>〃>2)成立.若存在，求，〃的取值范圍；若不存在，說明理由.

23.在△4BC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知記=(a,c—2b),n=

(cosC,cosA),且記1n.

(1)求角A的大小；

(2)若b+c=5,△ABC的面積為g,求a.

24.如圖，在三棱錐P-ABC中，APBC為等邊三角形，點。為BC的中點，AC1PB,

平面PBC，平面ABC.

(1)求證：平面PAC1平面尸BC；

(2)已知E為P0的中點，F是A8上的點，AF=AAB.若EF〃平面PAC,求/I的值.

第6頁，共35頁

25.當前，全國上下正處在新冠肺炎疫情“外防輸入，內防反彈”的關鍵時期，為深入

貫徹落實習近平總書記關于疫情防控的重要指示要求，始終把師生生命安全和身體

健康放在第一位.結合全國第32個愛國衛生月要求，學校某班組織開展了“戰疫

有我，愛衛同行”防控疫情知識競賽活動，抽取四位同學，分成甲、乙兩組，每組

兩人，進行對戰答題.規則如下：每次每位同學給出6道題目，其中有一道是送分

題(即每位同學至少答對1題).若每次每組答對的題數之和為3的倍數，原答題組的

人再繼續答題；若答對的題數之和不是3的倍數，就由對方組接著答題.假設每位

同學每次答題之間相互獨立，第一次由甲組開始答題.求：

(I)若第"次由甲組答題的概率為發，求治；

(口)前4次答題中甲組恰好答題2次的概率為多少？

26.如圖，在直三棱柱ABC-aB1C1中，“BC為直角，BC=2,CC[=4,。為CC1的中

點.

/IX

(1)求證：平面必當0_L平面A8D；

(2)若異面直線&Bi與AC所成的角的正弦值是警，求三棱錐B-4M。的體積.

27.已知函數f(%)=lax?—1|—/+中，其中a<1.

(1)當a=1時，求函數/(%)的單調遞減區間；

(2)對滿足/'(X)有四個零點的任意實數a,當xe[0,1]時，不等式f(x)<ni恒成立,

求實數機的取值范圍.

第8頁，共35頁

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了誘導公式，正弦、余弦函數的圖象與性質，函數的定義域與值域，對數函數

及其性質，復合函數的單調性，函數的奇偶性和指數函數及其性質.

利用誘導公式和正弦的奇偶性對A進行判斷，再利用函數的定義域對8進行判斷，再利

用對數函數的單調性，結合復合函數的單調性對C進行判斷，最后利用指數函數的單調

性和復合函數的單調性，結合函數的奇偶性對。進行判斷，從而得結論.

【解答】

解：對于A,因為丫=cos(]+x)=-sinx是(—1,1)上的減函數，

所以A不符合題目條件；

對于8,因為函數y=-|在x=0沒有定義，

所以8不符合題目條件；

對于C,因為y=In蕓=In(全一1)是其定義域內的減函數，

所以C不符合題目條件；

對于。，因為函數y=2'—2T是奇函數，且在(一1,1)上是增函數，

所以。符合題目條件.

故選。.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查考查三角函數的圖象變換和圖象的性質，涉及兩角和差的正切值公式，涉及三

角函數的最值，周期，圖象性質，難度較大.

先根據已知得到當，:時g(x)最大或最小，進一步根據平移變換得到/Q)的極值點(

最值點)，然后關鍵一步，利用周期得到/(乃的零點，然后結合兩角差的正切公式和誘

導公式進行計算求解即可.

【解答】

解：由對任意xeR,都有g。)W|g(》|成立，可知是g(x)的最大值，

???當；時g(x)最大或最小，

又??,將f(x)圖象向右平移W個單位長度得到函數g(x)的圖象，

二當N=￡-；時/(%)最大或最小，

又?."(X)的周期為2兀，四分之一周期為，

...當,/=與=7T7T+7T時,的值,..,為,0,

?SV

I瓜

：.(-a—x/3)sinx()+(-^-a+1)COKXO=0>

a_V3)-+(ya+1)=0,

解得a=2,

故選D

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查一元二次不等式的解法以及一元二次方程根與系數關系，屬基礎題.

根據已知可得-3,-2為方程g2一版一1=。的兩個根，根據韋達定理求出a,b,然

后根據一元二次不等式求出結果，屬于基礎題.

【解答】

解：根據己知可得一3,-2為方程a/—bx-1=0的兩個根，且a<0,

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f—3—2=-(a=-

根據韋達定理可得《。]，解得《$

^3x(-2)=--[b=-

則不等式/++Q>0為/+jx-1>0.

66

解得%>；或工<-1.

故選員

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查兩角和與差的三角函數公式，以及二倍角公式，輔助角公式，正弦函數,

余弦函數的性質，積化和差公式.

方法一：利用兩角和與差的三角函數公式，以及二倍角公式，輔助角公式，正弦函數，

即可得；

方法二：利用余弦函數的性質，積化和差公式，即可得.

【解答】

解：方法一/(x)=sinxsin(x+§—；

=sinxf-sinx+—cosx)--

=-1sin2x+JPisinxcos%--

224

11—cos2xV31

-------------F-sin2%——

=——sin2x--cos2x

44

1/V31

=_^_sin2x--cos2x

=1sin(2x-g,

r11

???/(x)GI2r2.

方法二/(%)=sinxsin-]

--[cos(2x+-J-

8s(一勃-；

1/7T\1

--cos(2x+-J+--

???/(x)e

5.【答案】D

【解析】

【試題解析】

【分析】

本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式，以及向量數量積，屬于中檔

題.

先根據正弦定理可求出或詈，再根據向量的運算和余弦定理即可求出c,根據三角

形的面積公式計算即可.

【解答】

解：因為a(2sin8-V3cosC)=V3ccos/1?

由正弦定理可知2sinAsinB—V3sin>lcosC=V3sinCcoSi4,

所以2sinAsinB\/3sinB,

因為在AABC中sinBH0,

所以sinA-MI,

2

因為在A/WC中(O.7T),

所以4=名或芋.

又4G=巫，延長4G交8C于點。，

3

所以40=名.

2

因為而=3(荏+而),

第12頁，共35頁

所以而2=l(AB+Acy

=^(AB2+AC2+2畫同cos4),

即=l(/)2+c2+2bccosA'),

又因為b=1,

所以—=^(l+c2+2xlxcxcos4),

當4=小寸，c=3.所以4aBe的面積為^bcsin/l=藝當

324

當4=斗時，c=4,所以A4BC的面積為^bcsin/l=VI

故選。.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查向量共線的定義及性質、向量的運算、向量的數量積、正弦定理，屬較難題.

①由三角形中大角對大邊及正弦定理可知正確.②當石=6時不成立.③當加=6時，滿

足條件但五與及不平行.④根據單位向量的定義及向量的加法可知點+篇在乙4的角平

分線4。上，再由（瑞+襦）?罰=0得4B=4C,再由向量的數量積求解.

【解答】

解：①在△4BC中，若4>B>C,則a>b>c,由正弦定理可得：sin4>sinB>sinC,

所以①正確.

②若行〃B且石力J，則存在唯一實數4使得五=4石，故當石=6時，②不正確.

③當B=6時，滿足行〃方，b//c，但五與?不平行，故③不正確.

④在AABC中，爵為與南同方向的單位向量，裾為與旅同方向的單位向量，

設A4BC中，N4的角平分線交BC于點D

所以哥+禽在〃的角平分線A。上，由（焉+焉）.配=°

所以AD1BC,所以4B=AC.

乂嵩,儡=瑞?朗.c°sA=5所以cos4=g,

又4G(0,71),

所以八:,所以△ABC為等邊三角形，故④正確.

?5

故選艮

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查的是復數的概念及運算，屬于基礎題.

先求出復數z,再逐項進行判斷即可.

【解答】

解：因為z=變部嚴=^=—4+2i,

z的虛部為2,所以A錯誤；

復數z在復平面內對應的點位于第二象限，所以B錯誤;

z=-4-2i,所以C錯誤；

|z|='(-4)2+22=2通,所以。正確.

故選。.

8.【答案】B

【解析】

第14頁，共35頁

【分析】

本題考查命題的真假判斷與應用，考查了線面平行、面面垂直的判定定理的運用以及空

間角的求法，是中檔題.

過A作ZGJ.CD,則G為CD中點，連接AG,AF,BG,DF,則BG1CC,DF1BC,

利用正四面體的性質逐一分析四個選項得答案.

【解答】

解：如圖，過A作AGJ.C。，則G為CZ)中點，連接AG,AF,BG,DF,則BG1CD,

DF1BC,

又??,BGnAG=G,AG,8Gu平面ABG,

CDABG,4Bu平面ABG,則CD1AB,故A正確；

由AB與平面BCD所成的角即Z4BG,又4G=BG^AB,所以448G=60°；故8錯誤；

正四面體A8C￡＞中，點E,尸分別是A8,8c的中點，.

vEF9平面ACD,ACu平面ACD,EF〃平面ACD,故C正確；

,??幾何體為正四面體，二A在底面BCD的射影為底面的中心，

則4。1平面BCD,

而力。u平面ABC,.?.平面ZFZ)_L平面BCD,故力正確.

???結論錯誤的是B.

故選：B.

9.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查兩組數據的平均數、標準差的大小的判斷，考查折線圖的性質等基礎知識，屬

于基礎題.

通過觀察折線圖比較兩組數據的平均數、標準差的大小.

【解答】

解：由甲、乙兩名同學6次考試的成績統計圖，知：

甲的平均成績高于乙的平均成績，

甲的成績的波動小于乙的成績的波動，

甲、乙兩組數據的平均數分別為nt1，m2,標準差分別為n2,

則mi>m2.nj<n2.

故選C.

10.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本題考查向量的加法減法數乘運算、向量的數量積、向量的夾角、向量的模、向量平行

的判斷與證明，屬于中檔題.

運用共線向量的比值可判斷A，運用向量的加減法運算及數量積運算將而?而分解為

（FO+OD）（FO+兩即而2+甫（而+小）+討.南可判斷B,運用向量的數量積

公式cos<麗.所>=得嵩結合|而|.\FE\=\F0+0D\-\FV+函的模的運算

Ji南+西2.J國+/2可判斷C,運用三點共線的向量表示可判斷D

【解答】

解：對于A,因為而=2而,

所以而=：前=：k，~FO=^BO=^OC,

而同=所+記=萍,

所以前=［而，故A錯誤;

對于B,由題意旗+布=6，F02=OD-0E=-1，

9

所以而.而=（而+0D）（F04-OF）

=FOZ+FO（OD+OE）+OD-0E=^-1=

故B正確;

對于C,|而|?\FE\=I而+而I?I而+赤I

=J頤+西,?小雨+兩2

第16頁，共35頁

I1

J-+1+2F0-OD-I-+1+2F0-0E

J詈一沁S2/D0C，

cos<而?而>=自■若

\FD\?\FE\

81

=-----X]

9/^-^COS2ZDOC，

因為()<ZDOC<7r,

所以04cos2zZ)OC<1,

所以l—--cos2^DOC<-，

978199

所以-1<cos<FD,FE>4—g,故C正確；

對于Z),因為D,O,E三點共線，

所以存在實數zn,n滿足方=mFD+nFE(m+n=1)，

又因為正=AFV+〃而且所=4F0.

所以4而+〃而=4(mFD+nFE),

所以4=4m,〃=4n,

因為m+n=1,

所以4+4=4，故。正確.

故選BCD.

11.【答案】AC

【解析】

【分析】

本題考查復數的基本概念，復數代數形式的四則運算，復數相等，以及復數的幾何意義

與復數模的求法，是基礎題.由復數代數形式的乘除運算，復數的基本概念，韋達定理

等知識逐一分析四個選項得答案.

【解答】

解：4由關于x的方程(1+i)x2+az+l-4i=0(a€R)有實根，

所以a="站盧生(x力0),

因為a,x為實數，

所以%2=4,即欠=±2,

則。=±|，則A正確；

B.?/(1+i)z=i2021

y=絲=」_=工+工3在復平面內對應的點在第一象限，故B錯誤；

1+11+122

C.l+2i是關于x的方程/+px+q=0的一個根，故另外一個根為1一2i,

故得q=(l+2i)(l-2i)=5,故C正確;

。設Zi=a+bi,z2=c+di,{a,b,c,d€R)

22

z1z2=(a+hi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i=a+b

4ii(ac—bd=a2+b2

寸lad+be=0

故a—c,b=—d.

即2]=豆,故。錯誤；

故選AC.

12.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本題主要考查了線面平行的判定定理，面面平行的判定定理和性質，以及線面垂直和面

面垂直的性質，涉及余弦定理，同時考查了空間中的距離，三棱錐的體積，屬于較難題.

根據空間中線面，面面間的位置關系，結合選項依次分析求解即可.

【解答】

解：對于A,取CQ的中點F,連接MF,BF,

易知FB//ED,

MF，平面&DE,AXDu平面&DE,

MF〃平面&DE,

同理可得FB〃平面&OE,

又M尸CFB=F,MF,FBu平面MBF,

???平面MBF〃平面4DE,

第18頁，共35頁

又BMu平面MBF,

二恒有BM〃平面&DE,故A正確；

對于8,在矩形ABCO中，4B=2AD=2,E為AB的中點，所以4E=AD=1，DE=6

取CD的中點F,連接MF,BF,則MF//&D,且MF=加。=}

BF//DE.BF=DE=V2,N&OE=/.ADE=Z.MFB=45°,

在三角形MBF中，由余弦定理得A/B=x/BF2+A/F2-2BF.A/FcosNMFB=—，

故8正確：

對于C,因為BM〃平面40E,所以例到平面4DE的距離等于8到平面4DE的距離，

BE=1為定值，SAADE=：為定值，

當平面&OEL平面ABC。時，B到平面&0E的距離最大，三棱錐&-OEM的體積取

最大值，

此時,Klj-DEM=V4j-DEB=3X2X^=12，故。正確；

對于。，取CD的中點F,連接EF,4F,

假設存在某個位置，使得平面&DE1平面4]CD,平面&OEn平面&CD=&D,ArE1

ArD,A1Eu平面41DE,

???ArEJ_平面&CD,

???&Cu平面&CD,AXE1ArC,

,：AXE=1,CE=V2.?1?A-^C=1,此時4與尸重合，不符合題意，故假設錯誤，故。

錯誤.

故選ABC.

13.【答案】AC

【解析】

【分析】

本題考查函數的解析式、函數的奇偶性和單調性以及集合中的元素，屬于基礎題.

根據題意，逐項分析各選項中的問題，即可求解.

【解答】

解:A、偶函數/（乃的定義域為[2。-1,可，

-■-2a-1=—a,解得a=

故A正確;

B、設一次函數/1(》)=>%+b(kW0),

則f[/(%)]=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b,

???/[/(%)]=4%+3,

."2=4

?"+匕=3，

解得憶煞憶二;，

二函數f(x)的解析式為/'(x)=2x+1或/(x)=-2x-3,

故B不正確；

C、???奇函數f(x)在［2,4］上單調遞增，且最大值為8,最小值為-1,

=/(4)=8,

???/(-2)=-/(2)=1,/(-4)=一〃4)=-8,

2/(-4)+/(-2)=2x(-8)+1=-15,

故C正確；

。、：集合4={x|-ax2+4x+2=0}中至多有一個元素，

???方程-ax?+4x+2=0至多有一個解，

當a=0時，方程4x+2=0只有一個解一也符合題意，

當時，由方程一a/+4x+2=0至多有一個解，

可得/=16+8aW0,解得a<-2,

:.a=0或a<—2,

故。不正確.

故選AC.

14.【答案】①②④⑤

【解析】

【分析】

本題考查棱柱的結構特征，熟練掌握線面平行的判斷方法，異面直線所成角的定義以及

線面垂直的證明是解答本題的關鍵，考查空間思維能力，屬于較難題.

①4C_LBE,可由線面垂直證兩線垂直；②由面面平行的定義可證得結論正確；③可

由兩個極端位置說明兩異面直線所成的角不是定值；④把線面角轉化為線線角即

即可得知④正確；⑤可證明棱錐的高與底面積都是定值得出體積為定值.

【解答】

解：①???4C1平面又8Eu平面BBiD”,??.4C1BE,故①正確；

第20頁，共35頁

②?.?平面ABCD〃平面4$iGDi，EFu平面4&GD1，1EF〃平面ABCO,故②正確；

③由圖知，當F與當重合時，令上底面中心為0,則此時兩異面直線所成的角是N&AO,

當E與Di重合時，此時點尸與0重合，則兩異面直線所成的角是OBCi，此二角不相等，

故異面直線AE、B尸所成的角不為定值，故③錯誤；

④直線A8與平面BEF所成的角也就是直線AB與平面BBiDi。所成的角，???AC1平面

BB/iD,.,.直線AB與平面BBWiD所成的角就是N4BD為45。，因此，直線4B與平面

BEF所成的角為定值，故④正確；

⑤由幾何體的性質及圖形知，三角形BE尸的面積是定值,A點到面。5B1B距離是定值，

故可得三棱錐A-8EF的體積為定值，故⑤正確.

故答案為：①②④⑤.

15.【答案】⑴竽；

(2)73；

⑶/

(4)1±2V2;

⑸爭.

【解析】

(1)【分析】

本題主要考查了利用余弦定理表示出cosC,把已知等式利用正弦定理化簡，整理后代

入計算求出cosC的值，即可確定出C的度數，由sin(A-8)=cos(A+B),可得s出A=

cosA,由A為銳角，可得A,利用三角形內角和定理可求8的值,利用正弦定理可求b,

進而根據三角形面積公式即可計算得解.

【解答】

解：???2L4BC的三個內角為A,B,C,且滿足cos?。—cos2C—sin??!=—sinAs譏B,

可得：sin2c+sinAsinB=sin2A+sin2B,

???由正弦定理化簡得:c2+ab=a2+b2,

a24-12—c2ab1

?zC=-2^—=2^=2'

V0<C<7T,=p

vsin(>l—B)=cos(4+B).

即siii/lco"?-co?.4siiiB=cusAcosB-sin4dnB,

SIIL4(<O?Z?+sinZ?)=(<<nB4-cosI3],

SIIL4=cxwA，

二由A為銳角，可得4=z，B=7i—A—C=va=A/2,

由正弦定理可得：b="型=貨+追,

smA2

.??三角形48c的面積S=Ll^inC=-xV2x四土遮乂縣=33.

22224

故答案為如金

4

(2)【分析】

本題考查數量積以及向量的模，屬于中檔題，根據題意可得五不=-也再由|2方+3|=

14天+4方不+求得答案?

【解答】

解：因為成石均為單位向量，且它們的夾角為120。，所以由數量積的定義可得

W-b=1xIxajsl2O'=-J>所以|2五+31=J4a2+4a-b+b2=,4-2+1=

V3.

故答案為次.

(3)【分析】

本題主要考查了向量的加減法，屬于中檔題.由題意可得，P為4ABe的重心，由重心的

性質，可得結果.

【解答】

解：點P是44BC內的一點，且滿足萬+而+近=6，

P為44BC的重心，由重心的性質,

設P到直線AB的距離為兒則C到直線4B的距離為3/7,

c-ABxh1

<>AP.4B91

則二:壽荔一

故答案為也

(4)【分析】

本題主要考查了向量的加減法，向量垂直的條件，屬于基礎題.求出正，前的坐標，由

ACLBC，代入公式即可.

【解答】

第22頁，共35頁

解：OA=(-1,3),OB=(3,-l),OC=(m,1).

則前=歷-次=(m+1,-2).

BC=0C-OB=(zn-3,2)，

由於1~BC<可得On+l)(m-3)+2x(-2)=0,

解得m=1+2>/2.

故答案為1±2魚.

(5)【分析】

本題主要考查平面向量的加法，減法及幾何意義、平面向量的數量、正弦定理以及余弦

定理，根據題意可得兩=2,而=2.|00|=3,NO90，所以|前|=\AB\=V5,

\BC\=VTU,可得為等腰直角三角形，故NA3C一51,因為力B=3AP,所以BP=

正,由余弦定理求出PC=也，由正弦定理求出如MPC7?如，所以

333

,Dec2濾

c-otsZ/xii----

【解答】

解：因為|團|=|而|=1,所以|CD|'=2,\0A\=2>\0D\=14-2=3-

因為=90。，~CD//OB，所以NO=90',

所以|4C|=\AB\—Vl2+22=V5)|BC|=J32+(2—=V10>

因為兩,+而J］照2,|西=國，

所以ZL4BC為等腰直角三角形，乙ABC'45,

因為AB=3AP,所以BP=辿,

3

222

由余弦定理得乙BC+BP-PCa

2BC-I3P

所以PC=%，由正弦定理得BPPC

shiZ.BCPsinZ.ABC

所以siu/PLZ?=——，所以=---

故答案為公.

16.【答案】3

【解析】

【分析】

本題考查了頻率分布直方圖和分層抽樣，屬于基礎題.

先根據各矩形面積之和為1確定〃的值,得到在［120,130),［130,140),［140,150］這三

組內學生的人數，再根據分層抽樣確定選取人數即可.

【解答】

解：由(0.005+0.010+0.020+a+0,035)x10=1,得a=0030.

由于在［120,130),［130,140),［140,150］這三組內學生人數的頻率分別為0.3,0.2,0.1,

所以在這三組內學生的人數分別為30,20,10,

因此應從身高在［140,150］內的學生中選取的人數為工x18=3.

故答案為3.

17.【答案】§

【解析】

【分析】

本題考查概率的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式、對立事件概率計算公式等基礎

知識，考查運算求解能力，是中檔題.

先求出4個人都沒有完成任務的概率和4個人中有3個人沒有完成任務的概率，由此利

用對立事件概率計算公式能求出至少2人完成任務的概率.

【解答】

解：4個人都沒有完成任務的概率為

423324

4個人中有3個沒有完成任務的概率為：

1111.3111.31212

-x-x-x-+-x-x-x-+-x-xC^x-x-=-,

42334233422339

故至少2人完成任務的概率為1-/一：=

24972

故答案為11.

18.【答案】V2

【解析】

【分析】本題考查復數的四則運算，考查復數的基本概念：共朝復數和復數的模，考查

i的基運算的周期性，屬于基礎題.

先計算z,得到2,再用求模公式求模.

第24頁，共35頁

【解答】解：???[2019=q4)504xi3=i3=-i

zi2019=zx(—i)=1+i,

?r1+i(14-Oi1,

???Z=—=——=-1+

-I(-l)l

???z=-1

|z|=J(_l)2+(-1)2=V2.

故答案為

x,x>0,

19.【答案】/(%)=

—x,x<0.

[2,+oo)

【解析】

【分析】

本題考查了函數恒成立問題及函數的奇偶性，難度適中，關鍵是掌握函數的單調性與奇

偶性，屬于中檔題.

由當％>0時，/(x)=%2,函數是奇函數，可得f(0)=0,當％V0時，/(x)=-X2,從

而f(x)在R上是單調遞增函數，且滿足3/(x)=/(|x),再根據不等式/(x+t)2

；/(%)=/?切在V"+2］恒成立，可得x+tz|x在+恒成立，即可得出答案.

【解答】

解：當％〉0時，/(%)=x2,

,??函數是R上的奇函數，所以f(0)=0,

???當％<0時，—X>0,/(-%)=%2=—/(%),所以f(x)=-x2'

.f(x}=儼2。>0)

,1")l-x2(x<0),

???/(x)在R上是單調遞增函數，且滿足=/(|x),

???不等式/a+o>"(%)=/(|x)在憶t+2］恒成立，

■■x+t>|x在［t,t+2］恒成立，

即：xW2t在［t,t+2］恒成立，

：■t+2<2t,

解得：t22,

故答案沏/⑶=1:工當；

20.【答案】白

16

17V2

50

【解析】

【分析】

本題考查的知識點是三角函數的誘導公式，二倍角公式及同角三角函數基本關系與兩家

和與差的三角函數公式，將未知角用已知角表示是解答本題的關鍵，屬于一般題.

①利用誘導公式，我們易將疝?-M+cos2/-1)化為Sin"+：)+sin2(工+[,

由已知sin"+：)=:,代入計算可得結果.

②利用同角三角函數基本關系求出<，班(。+；)-:，再利用二倍角公式、誘導公式與

兩角和與差的三角函數公式求出即可.

【解答】

解：①+I)=I，

64

，siu佟一工什―仁一工)

63

=sink-(x+割+0082g-(x+/

?/萬、?9/萬、

=sin(x++sin.(1+—)

66

11

=—|--------

416

__5_

-16,

②a為鈍角，且sin(a+,

7T47r

-，7r<0+3<3；

t7T\3

€XJ?(a+—)=-,

35

:.siu[2(a+[)]=2sin(a+9006g+。=2x(一：)x(-1)=稱，

3335525

??[2(a+1)]=1-2sin2(a+^)=l-2x(-^)2=一：

??(2a+^)=cos[(2a+爭一3

1/4)

第26頁，共35頁

27r、7T./27r..7r

<xj?(2a+—)co?—Fsm(2a+—)sin

3434

7V224V2

-25XT+25XT

—17y/2.

50

故答案為22

1650

2萬

21.【答案】—;2

3

【解析】

【分析】

本題主要考查了向量加減法的運算、數量積的運算，綜合運用了正弦定理，余弦定理,

三角形面積公式，考查了轉化思想和計算能力，屬于中檔題.

利用三角形內角和定理可得優+c)sinB=(a+c)(sin/i-sinC).由正弦定理可得。2+

c2-a2=-be,由余弦定理可得cosTl=---,結合范圍AC(0,兀)可得A的值，結合

2

A48C的面積求得be,將希?(DA+而)利用向量加減法運算轉化為四?AC，即可求

得結果.

【解答】

解：?.,(b+c)sin(4+C)=(a+c)(siM-sinC),

由正弦定理可得：(b+c)b=(a+c)(a—c),整理可得：b2+c2-a2=-be,

二由余弦定理可得：cosA=——，

2

2萬

由46(0,兀)，可得：4=7，

又/BC的面積為G，

即16csi=后，be-4,

23

又AB?(DA+DB)=(DB-DA)-(DA+DB)=DB-DA

_CB2(AB+AC