知識(shí)梳理一、復(fù)合函數(shù)的概念一般地,對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,如果給定x的一個(gè)值,就得到了u的值,進(jìn)而確定了y的值,那么y可以表示成x的函數(shù),稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=φ(x)的復(fù)合函數(shù),記作y=f(φ(x)),其中u為中間變量.微思考函數(shù)y=log2(x+1)是復(fù)合函數(shù)嗎?是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的?提示

是,函數(shù)y=log2(x+1)是由y=log2u及u=x+1這兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的.二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)y=f(φ(x))對(duì)x的導(dǎo)數(shù)為y'x=[f(φ(x))]'=f'(u)φ'(x),其中u=φ(x).名師點(diǎn)析求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)需處理好以下環(huán)節(jié):(1)中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)結(jié)構(gòu);(2)關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復(fù)合層次;(3)一般是從最外層開(kāi)始,由外及里,一層層地求導(dǎo);(4)善于把一部分表達(dá)式作為一個(gè)整體;(5)最后要把中間變量換成關(guān)于自變量的函數(shù).微判斷(1)函數(shù)y=e-x的導(dǎo)數(shù)為y'=e-x.(

)(2)函數(shù)f(x)=sinx4的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=cos4x.(

)××微練習(xí)(1)函數(shù)y=sin4x的導(dǎo)數(shù)為

;

(2)函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù)為

.

課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):分析

先分析每個(gè)復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成,再按照復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo).解

(1)設(shè)y=u2,u=4-3x,則yu'=2u,ux'=-3,于是yx'=yu'·ux'=-6(4-3x)=18x-24,即y'=18x-24.

反思感悟1.解答此類(lèi)問(wèn)題常犯兩個(gè)錯(cuò)誤:(1)不能正確區(qū)分所給函數(shù)是否為復(fù)合函數(shù);(2)若是復(fù)合函數(shù),不能正確判斷它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成.2.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的步驟:變式訓(xùn)練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=103x-2;(2)y=ln(ex+x2);解

(1)令u=3x-2,則y=10u,所以yx'=yu'·ux'=10uln

10·(3x-2)'探究二復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).反思感悟此類(lèi)問(wèn)題出錯(cuò)的主要原因一般有兩個(gè):一是基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式記憶有誤;二是求導(dǎo)法則掌握不到位,尤其是對(duì)于積與商的求導(dǎo)法則中的符號(hào)問(wèn)題出現(xiàn)混淆.對(duì)于復(fù)雜函數(shù)求導(dǎo),一般遵循先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)的原則,但要注意化簡(jiǎn)過(guò)程中變換的等價(jià)性.變式訓(xùn)練2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=(2x-1)3;(2)y=sin2x+cos2x;(3)y=ln2x.解

(1)設(shè)y=u3,u=2x-1,則yu'=3u2,ux'=2,于是yx'=yu'·ux'=6(2x-1)2,即y'=6(2x-1)2.(2)y'=(sin

2x)'+(cos

2x)'=2cos

2x-2sin

2x.探究三導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用例3(1)曲線(xiàn)y=ln(2x-1)上的點(diǎn)到直線(xiàn)2x-y+3=0的最短距離是(

)(2)設(shè)曲線(xiàn)y=eax在點(diǎn)(0,1)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x+2y+1=0垂直,則a=

.

答案

(1)A

(2)2解析

(1)設(shè)曲線(xiàn)y=ln(2x-1)在點(diǎn)(x0,y0)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)2x-y+3=0平行.(2)令y=f(x),則曲線(xiàn)y=eax在點(diǎn)(0,1)處的切線(xiàn)的斜率為f'(0),又因?yàn)榍芯€(xiàn)與直線(xiàn)x+2y+1=0垂直,所以f'(0)=2.因?yàn)閒(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2.反思感悟?qū)?shù)綜合應(yīng)用的解題策略本題正確地求出復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是前提,審題時(shí)應(yīng)注意所給點(diǎn)是否是切點(diǎn),挖掘題目隱含條件,求出參數(shù).解決已知經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)的切線(xiàn)問(wèn)題,尋求切點(diǎn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.延伸探究1本例(1)的條件變?yōu)椤扒€(xiàn)y=ln(2x-1)上的點(diǎn)到直線(xiàn)2x-y+m=0的最小距離為2”,求m的值.延伸探究2求本例(2)中曲線(xiàn)的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的面積.解

由題意可知,切線(xiàn)方程為y-1=2x,即2x-y+1=0.令x=0得y=1;素養(yǎng)形成思想方法——等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在導(dǎo)數(shù)幾何意義中的應(yīng)用典例已知點(diǎn)P是曲線(xiàn)y=f(x)=x2-lnx上任意一點(diǎn),求點(diǎn)P到直線(xiàn)y=x-2的距離的最小值.審題視角所求點(diǎn)P應(yīng)為與直線(xiàn)y=x-2平行的曲線(xiàn)y=x2-ln

x的切線(xiàn)的切點(diǎn),此時(shí)最小距離應(yīng)為該切線(xiàn)與已知直線(xiàn)之間的距離,即切點(diǎn)到已知直線(xiàn)的距離,從而轉(zhuǎn)化為求曲線(xiàn)y=x2-ln

x的斜率等于1的切線(xiàn)的切點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題,故可借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解.解

由已知,可得當(dāng)點(diǎn)P是曲線(xiàn)y=f(x)的平行于直線(xiàn)y=x-2的切線(xiàn)的切點(diǎn)時(shí),點(diǎn)P到直線(xiàn)y=x-2的距離最小.方法點(diǎn)睛這類(lèi)“求某曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)到某已知直線(xiàn)的最小距離”問(wèn)題,可結(jié)合圖形,利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求曲線(xiàn)的平行于已知直線(xiàn)的切線(xiàn)的切點(diǎn)問(wèn)題,從而借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解.其基本步驟與方法如下:(1)根據(jù)切線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行,它們的斜率相等,得到切線(xiàn)的斜率.(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,由切線(xiàn)的斜率得到切點(diǎn)的橫坐標(biāo).(3)由切點(diǎn)在曲線(xiàn)上,求得切點(diǎn)的縱坐標(biāo),得到切點(diǎn)的坐標(biāo).(4)利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求得最小距離.變式訓(xùn)練點(diǎn)P是曲線(xiàn)y=-x2上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線(xiàn)

y=x+2的最小距離為(

)答案

B當(dāng)堂檢測(cè)1.函數(shù)y=(x2-1)n的復(fù)合過(guò)程正確的是(

)A.y=un,u=x2-1B.y=(u-1)n,u=x2C.y=tn,t=(x2-1)nD.y=(t-1)n,t=x2-1答案

A2.已知f(x)=sin2x+e2x,則f'(x)=