廣東省陽(yáng)江市第四高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

（A）(－∞,e]

（B）(－∞,e)

（C）

（D）參考答案：D不等式即，結(jié)合可得恒成立，即恒成立，構(gòu)造函數(shù)，由題意可知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故恒成立，即恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；則的最小值為，據(jù)此可得實(shí)數(shù)的取值范圍為.本題選擇D選項(xiàng).

2.已知向量，若，則最小值（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略3.已知函數(shù)的圖象與直線交于點(diǎn)P，若圖象在點(diǎn)P處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則＋＋…＋的值為（）A．－1

B．1－log20132012C．-log20132012

D．1參考答案：B4.己知函數(shù)f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），f（）+f（）=0，且f（x）在區(qū)間（，）上遞減，則ω=（）A．3 B．2 C．6 D．5參考答案：B【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象．【分析】首先通過(guò)三角恒等變換把函數(shù)變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用整體思想利用區(qū)間與區(qū)間的子集關(guān)系求出ω的范圍，進(jìn)一步利用代入法進(jìn)行驗(yàn)證求出結(jié)果．【解答】解：f（x）=sinωx+cosωx=2sin（）所以：當(dāng)k=0時(shí)，由于：f（x）在區(qū)間（，）單調(diào)遞減，所以：解不等式組得到：當(dāng)ω=2時(shí)，f（）+f（）=0，故選：B．5.已知a1，a2，a3，a4是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，其公差d大于零，若線段l1，l2，l3，l4的長(zhǎng)分別為a1，a2，a3，a4，則（）A．對(duì)任意的d，均存在以l1，l2，l3為三邊的三角形B．對(duì)任意的d，均不存在以為l1，l2，l3三邊的三角形C．對(duì)任意的d，均存在以l2，l3，l4為三邊的三角形D．對(duì)任意的d，均不存在以l2，l3，l4為三邊的三角形參考答案：C【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；三角形中的幾何計(jì)算．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列；解三角形；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、三角形兩邊之和大于第三邊，即可判斷出結(jié)論．【解答】解：A：對(duì)任意的d，假設(shè)均存在以l1，l2，l3為三邊的三角形，∵a1，a2，a3，a4是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，其公差d大于零，∴a2+a3＞a1，a3+a1=2a2＞a2，而a1+a2﹣a3=a1﹣d不一定大于0，因此不一定存在以為l1，l2，l3三邊的三角形，故不正確；B：由A可知：當(dāng)a1﹣d＞0時(shí)，存在以為l1，l2，l3三邊的三角形，因此不正確；C：對(duì)任意的d，由于a3+a4，＞a2，a2+a4=2a1+4d=a1+2d+a3＞0，a2+a3﹣a4=a1＞0，因此均存在以l2，l3，l4為三邊的三角形，正確；D．由C可知不正確．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、三角形兩邊之和大于第三邊，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．6.的值為（

）A．

B． C．

D．參考答案：C7.在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a5-a1=15，a4-a2=6，則a3=（

）A.2 B.4 C. D.8參考答案：B【分析】根據(jù)題意得到，，解得答案.【詳解】，，解得或（舍去）.故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.8.從A到B有3趟班車(chē)，甲，乙兩人可以從中任選一趟班車(chē)，則甲，乙兩人在同一趟班車(chē)的概率為

（

）（A） （B）

（C）

（D）參考答案：A9.已知，則向量與的夾角為（

）（A） （B） （C） （D）參考答案：B略10.設(shè)Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，，則（

）A． B． C． D．1參考答案：B，則，即，那么．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在長(zhǎng)為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C，以線段AC，BC為鄰邊作矩形，則該矩形的面積大于32cm2的概率為

．參考答案：12.已知，且滿足，則的最大值為_(kāi)_________．參考答案：18略13.已知點(diǎn)A是拋物線y=x2的對(duì)稱(chēng)軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)F為該拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上且滿足|PF|=m|PA|，則m的最小值為．參考答案：﹣【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】過(guò)P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義，結(jié)合|PF|=m|PA|，則=m，設(shè)PA的傾斜角為α，則當(dāng)m取得最小值時(shí)，sinα最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切，即可求得結(jié)論．【解答】解：過(guò)P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義可得|PN|=|PF|，∵|PF|=m|PA|，∴|PN|=m|PA|，則=m，設(shè)PA的傾斜角為α，則sinα=m，當(dāng)m取得最小值時(shí)，sinα最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切，設(shè)直線PA的方程為y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴m的最小值為﹣．故答案為：﹣．14.已知集合A={1，2a}，B={a，b}，若A∩B={}，則A∪B=

．參考答案：{﹣1，，1}．【分析】由集合A與B的交集求出a，b的值，再求出集合A、B和它們的并集．【解答】解：由A∩B={}得，2a=?a=﹣1，b=，∴A={1，}，B={﹣1，}，∴A∪B={1，﹣1，}故答案為：{﹣1，，1}．15.已知函數(shù)f（x）是定義在R上且周期為4的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，，則的值為．參考答案：【考點(diǎn)】3Q：函數(shù)的周期性．【分析】由函數(shù)的奇偶性與周期性把f（）轉(zhuǎn)化為求f（）的值求解．【解答】解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上且周期為4的偶函數(shù)，∴，又當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，，∴f（）=f（）=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的周期性和奇偶性的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是基礎(chǔ)題．16.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，則該雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_______.參考答案：由條件得，，從而雙曲線方程為，故漸近線方程為。17.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，=1，=3，且，若對(duì)任意都成立，則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)_____．參考答案：【分析】先根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得，再利用疊加法得，利用分組求和法得，【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和為，=1，=3，且，所以：，故：，因?yàn)椋运裕?，，則：，故：，所以：=，所以：，因?yàn)閷?duì)任意都成立，所以設(shè)則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此即故的最小值為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系、累加法求通項(xiàng)公式以及數(shù)列單調(diào)性，考查基本分析求解能力，屬中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（12分）如圖所示，在多面體EF﹣ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，O為BC的中點(diǎn)，EF∥AO，EA=EC=EF=．（1）求證：AC⊥BE；（2）若BE=，EO=，求點(diǎn)B到平面AFO的距離．參考答案：【分析】（1）利用直線和平面垂直的判定定理證得AC⊥平面BEH，再利用直線和平面垂直的性質(zhì)定理，證得AC⊥BE．（2）先求得F﹣BCA的體積，再根據(jù)等體積法求得點(diǎn)B到平面AFO的距離．【解答】解：（1）取AC的中點(diǎn)H，連接EH，BH，∵EA=EC，∴EH⊥AC，因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以BA=BC，BH⊥AC，因?yàn)锽H∩EH=H，所以AC⊥平面BEH，∵BE?平面BEH，∴AC⊥BE．（2）∵在△EAC中，，所以，因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以，因?yàn)?，所以EH2+HB2=BE2，所以EH⊥HB，因?yàn)锳C∩HB=H，所以EH⊥平面ABC，又因?yàn)?，所以，∵EF∥AO，∴，∵，四邊形AOFE為平行四邊形，，∴，設(shè)點(diǎn)B到平面AFO的距離為d，由，得，解得．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線和平面平行的判定和性質(zhì)，直線和平面垂直的判定和性質(zhì)，用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，屬于中檔題．19.已知向量＝(cosx，sin(－x))，＝(cosx，sin(＋x))，（＞0），函數(shù)f(x)＝2·＋1的最小值正周期為2。（1）求的值；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，]上的取值范圍。參考答案：20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)＝x－ln(x＋a)的最小值為0，其中a＞0.(1)求a的值；(2)若對(duì)任意的x∈[0，＋∞)，有f(x)≤kx2成立，求實(shí)數(shù)k的最小值；參考答案：(1)f(x)的定義域?yàn)?－a，＋∞)．.………2分由f′(x)＝0，得x＝1－a＞－a.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－a,1－a)1－a(1－a，＋∞)f′(x)－0＋f(x)極小值因此，f(x)在x＝1－a處取得最小值，故由題意f(1－a)＝1－a＝0，所以a＝1.………5分(2)當(dāng)k≤0時(shí)，取x＝1，有f(1)＝1－ln2＞0，故k≤0不合題意．

………6分當(dāng)k＞0時(shí)，令g(x)＝f(x)－kx2，即g(x)＝x－ln(x＋1)－kx2.g′(x)＝－2kx＝.令g′(x)＝0，得x1＝0，x2＝＞－1.………8分①當(dāng)k≥時(shí)，≤0，g′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，因此g(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，從而對(duì)任意的x∈[0，＋∞)，總有g(shù)(x)≤g(0)＝0，即f(x)≤kx2在[0，＋∞)上恒成立，故k≥符合題意．………10分綜上，k的最小值為.

………12分21.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ACBD-A1C1B1D1中，M是線段AB上的動(dòng)點(diǎn).（1）證明：AB∥平面A1B1C；（2）若點(diǎn)M是AB中點(diǎn)，求二面角的余弦值；（3）判斷點(diǎn)M到平面A1B1C的距離是否為定值？若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：（1）證明：因?yàn)樵谡襟w中，，平面，平面，平面（2）取的中點(diǎn)，連接，，.因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，則為二面角的平面角，分別為和的中點(diǎn)，，又平面，平面，而平面，，故在中，.二面角的余弦值為法二（向量法）：在正方體中，，，兩兩互相垂直，則建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，所以，，，，設(shè)向量，分別為平面和平面的法向量，由取，則，，.同理取，則，，.，又二面角的平面角為銳角，二面角的余弦值為（3）方法一（幾何法）：因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離相等，設(shè)為.故，則.解得.點(diǎn)到平面的距離為定值................12分方法二(幾何法）：由（1）知平面.點(diǎn)到平面的距離等于上任意一點(diǎn)到平面的距離.令點(diǎn)平分，作的中點(diǎn)，連結(jié)，，過(guò)作，垂足為，顯然、、、共面.平面，，平面.平面，.又，平面，平面，，平面，即為所求.，，，.，.點(diǎn)到平面的距離為定值方法三（向量法）由（1）知平面.點(diǎn)到平面的距離等于上任意一點(diǎn)到平面的距離.令點(diǎn)平分，則由（2）的向量法知：點(diǎn)到平面的距離.點(diǎn)到平面的距離定值為試題立意：本小題考查線面垂直判定定理，線面平行判定與性質(zhì)定理，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)；意在考查空間想象能力、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及推理論證能力.22.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的短軸的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，且該三角形的面積為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓C的左右焦點(diǎn)，若橢圓C的一個(gè)內(nèi)接平行四邊形的一組對(duì)邊過(guò)點(diǎn)F1和F2，求這個(gè)平行四邊形的面積最大值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）由橢圓的短軸的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，且該三角形的面積為，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．（2）設(shè)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F2的直線l：x=ty+1與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，由，得：（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，由此利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、平行四邊形面積、函數(shù)單調(diào)性，能求出平行四邊形面積的最大值．【解答】20．（本小題滿分12分）解：（1）∵橢圓C：+=1