多自由度體系近似計算方法3-1

鄧柯萊(Dunkerly)法鄧柯萊（Dunkerly法）跡法確定系統基頻的估算公式方法特點：簡單實用定義系統的動力矩陣為n個自由度系統的特征值問題為標準特征值問題多自由度體系近似計算方法3-1鄧柯萊(Dunkerly)1若將特征值按降序排列系統的基頻為標準特征值問題的特征行列式為動力矩陣的對角線元素由代數方程理論，多項式根與系數關系的韋達定理若將特征值按降序排列系統的基頻為標準特征值問題的特征行列式為2動力矩陣A的跡若質量矩陣M為對角陣，動力矩陣的跡為對角線元素M對角線元素1設彈性系統只保留第i個質量mi

及相應的彈簧δii,則系統視為單自由度系統的固有頻率為動力矩陣A的跡若質量矩陣M為對角陣，動力矩陣的跡為對角線元素3

鄧柯萊法計算系統的基頻為精確解的下限

只有當時，跡法可給出比較準確的基頻估算值

算例表明，梁結構通常具有以上的特點鄧柯萊法計算系統的基頻為精確解的下限只有當時，跡法可4舉例三自由度梁彎曲的固有頻率與主振型m2mm系統的質量矩陣與柔度矩陣舉例三自由度梁彎曲的固有頻率與主振型m2mm系統的質量矩陣與5舉例均質等直梁，試估算梁中央附加集中質量M時的基頻MmEJ均質簡支梁的基頻記簡支梁的基頻為不計簡支梁質量時系統的固有頻率為均質梁中央附加集中質量M時的基頻M=mDunkerly法Rayleigh法精確解舉例均質等直梁，試估算梁中央附加集中質量M時的基頻MmEJ均63-2

矩陣迭代法工程中的振動問題的響應分析中，系統的低階固有頻率及主振型占有重要地位矩陣迭代法是求解系統低階固有頻率和主振型的一種簡單實用的方法

第一階固有頻率及主振型向量向量給定一個初始迭代向量x1，由展開定理x1

與Φ(1)不正交3-2矩陣迭代法工程中的振動問題的響應分7所占比重增加所占比重減少動力矩陣迭代一次后，擴大了第一階主振型在迭代向量中的優勢第一階主振型在迭代向量中的優勢繼續擴大所占比重增加所占比重減少動力矩陣迭代一次后，擴大了第一階主振8隨著迭代次數的增加，第一階主振型的優勢越來越大。當迭代次數充分大時，可近似地得到迭代后的新向量與原向量個對應元素間僅相差一常數倍λ1

迭代過程中應對迭代向量作歸一化處理

迭代過程收斂速度取決于比值趨于零的速度

迭代次數取決于系統本身的物理參數和試算向量的選取隨著迭代次數的增加，第一階主振型的優勢越來越9舉例矩陣迭代法計算系統的基頻及主振型mm2mkk2kx1x2x3系統質量矩陣和剛度矩陣系統動力矩陣選取初始迭代向量舉例矩陣迭代法計算系統的基頻及主振型mm2mkk2kx1x210rxr12837.2547.18965557.18465267.18424577.184210系統的第一階固有頻率和主振型rxr12837.2547.18965557.184652611rxr12737.22857247.18972357.18471867.18425377.184214系統的第一階固有頻率和主振型試算向量取系統靜載作用時的靜變形rxr12737.22857247.18972357.18412

較高階固有頻率及主振型采用動力矩陣迭代的過程，總是不斷擴大第一階主振型的比重。能否求出第二階以上的系統固有頻率和主振型？對于試算初始向量左乘動力矩陣迭代取不包含有的成分較高階固有頻率及主振型采用動力矩陣迭13由于計算過程中的舍入誤差，x2內仍有可能存在的殘余成分

b1盡管很小，但若直接用動力矩陣A繼續迭代仍然會不斷擴大的比重。

必須繼續剔出它！設由于計算過程中的舍入誤差，x2內仍有可能存在的14于是有只要在迭代計算中用矩陣A1取代A，迭代的結果會收斂到和且矩陣A1的特征值為λ2，特征向量為而相應于的特征值變為零證明當i=1時即于是有只要在迭代計算中用矩陣A1取代A，迭代的結果會收斂到15從以上的分析，若已知系統的特征值相應的特征向量。欲求出第l+1階特征值和特征向量，可構造迭代矩陣第l+1階固有頻率和主振型

由于迭代過程中的誤差，因此，矩陣迭代法只適宜求解系統的低階

固有頻率和主振型從以上的分析，若已知系統的特征值相應的特征向量。欲求出第l16特征值相等的情形設初始試算向量經r次迭代后取線性組合選取不同的初始迭代向量取線性組合將進行正交化處理，即可得到重根的主振型特征值相等的情形設初始試算向量經r次迭代后取線性組合選取17半正定系統的情形K-1不存在，動力矩陣A不存在取一較小的正數α“動力矩陣”以其為迭代矩陣將得到半正定系統非零特征值所對應的主振型以上過程稱為帶移頻的矩陣迭代法半正定系統的情形K-1不存在，動力矩陣A不存在取一較小的正數18舉例矩陣迭代法計算系統的高階固有頻率及主振型mm2mkk2kx1x2x3求系統第二階固有頻率及主振型舉例矩陣迭代法計算系統的高階固有頻率及主振型mm2mkk2k19設初始迭代向量rxr12-0.35504630.513506150.572769160.57277017……系統的第二階固有頻率及主振型設初始迭代向量rxr12-0.35504630.513506203-3

瑞利(Rayleigh)法對于運動微分方程系統的主振動由機械能守恒3-3瑞利(Rayleigh)法對于運動微分方程系統的主21如果Φ是系統的第j階主振型Φ(j)如果假設系統的主振動為X是系統的假設振型稱為瑞利商瑞利商的性質

若X就是系統的第j階主振型

若X為任意n維向量如果Φ是系統的第j階主振型Φ(j)如果假設系統的主振動22

瑞利商對振型選擇不敏感假設振型X比較接近第r階主振型，由展開定理瑞利商對振型選擇不敏感假設振型X比較接近第r階23假設振型X與第r階主振型Ψ(r)相差一階微量瑞利商R(X)與第r階固有頻率的平方相差二階微量瑞利商在系統真實振型處取駐值（相應各階固有頻率的平方）原則上瑞利商可以計算系統的任意階固有頻率實際上系統的高階主振型很難做出合理假設工程中，瑞利法用來估算系統的基頻，而不宜計算系統的高階固有頻率；所得結果為精確解的上限假設振型X與第r階主振型Ψ(r)相差一階微量瑞利24對于運動微分方程系統的主振動由機械能守恒系統的動能系統的勢能可表示為外力f所作的功系統作自由振動時，作用于系統的只有慣性力系統位移對于運動微分方程系統的主振動由機械能守恒系統的動能系統的勢能25瑞利商對應于位移方程系統的第r階固有頻率由展開定理，假設振型瑞利商對應于位移方程系統的第r階固有頻率由展開定理，假設26可以證明記動力矩陣隱含著一次矩陣迭代可以推論由柯西-許瓦茲不等式可以證明可以證明記動力矩陣隱含著一次矩陣迭代可以推論由柯西-許瓦茲不27舉例采用瑞利法計算系統的基頻mm2mkk2kx1x2x3設舉例采用瑞利法計算系統的基頻mm2mkk2kx1x2x3設28誤差瑞利商設誤差瑞利商誤差瑞利商設誤差瑞利商293-4

里茲(Ritz)法對于復雜工程問題，動力分析需要計算系統的前幾階固有頻率及相應的主振型Ritz法對Rayleigh法進行了修正，以實現計算低階固有頻率與振型的目的Ritz法是一種減縮系統自由度的近似計算方法Ritz法對系統的近似振型X給出更合理的假設為選取的k個線性無關的假設振型3-4里茲(Ritz)法對于復雜工程問題30待定常數向量代入瑞利商瑞利商成為a的函數利用瑞利商在真實主振型處取駐值的性質，由極值條件待定常數向量代入瑞利商瑞利商成為a的函數利用瑞利商在真實主振31多自由度體系近似計算方法課件32特征值問題的階數k<<nRitz法實際是一種減縮系統自由度數求解固有振動的近似計算方法Ritz法的基本思想利用k個線性無關的假設振型為基底在n維振型空間中構成一個k維子空間確定瑞利商在該子空間的k個極值將所得k個極值作為原系統前k階固有頻率平方的近似值特征值問題的階數k<<nRitz法實33n自由度系統的固有頻率系統的前k階主振型證明所得近似主振型關于M和K具有正交性n自由度系統的固有頻率系統的前k階主振型證明所得近似主振34Ritz法的一些性質

若假設振型恰好是主振型Ritz法求出的就是系統的前k階固有頻率的精確值Ritz法的一些性質若假設振型恰好是主振型35

若假設振型線性無關，且均可表示為系統前k階主振型的線性組合構成k維子空間Rk的基底構成k維子空間Tk的基底子空間Tk與Rk等同Ritz法仍可求出系統的前k階固有頻率和主振型的精確解若假設振型線性無關，且均可表示為系統前k階主振型的線36Ritz法只要選取的假設振型能夠使子空間Tk接近于子空間Rk，就能求得系統前k階固有頻率和主振型較好的近似解

Ritz法計算的固有頻率與精確解有如下關系Ritz法一般只能用來估算系統的前幾階固有頻率及主振型難點是k維子空間的任一組基不知道

Ritz法計算的固有頻率中只有前一半的精度較高。實際計算中若要求系統的前k階固有頻率，假設的振型數目應取為2k計算精度取決于假設的近似振型對真實振型的逼近程度Ritz法只要選取的假設振型37舉例采用R