第三章矩陣的初等變換與線性方程組本章先引進矩陣的初等變換，然后利用矩陣的初等變換討論矩陣的一個重要性質—矩陣的秩，再利用矩陣的秩討論線性方程組解的情況，最后介紹用矩陣的初等變換解方程組的方法。3.1矩陣的初等變換3.2矩陣的秩3.3線性方程組的解1定義1

對矩陣的行施行下列三種變換稱為矩陣的初等行變換(1)互換兩行的位置(記作ri

rj

);(2)以不為0的數k乘某一行的所有元素(記作k×ri

);(3)將某一行的元素乘以數k后加到另一行的對應元素上去(記作ri+krj)。相應地，對矩陣的列可以定義矩陣的初等列變換記號只需將r

換成c即可。矩陣的初等行變換和初等列變換統稱初等變換§1矩陣的初等變換2記做：定義2

若矩陣經過若干次初等行變換得到矩陣則稱矩陣與矩陣行等價例如：類似的可以定義列等價記做：若矩陣經過若干次初等變換得到矩陣則稱矩陣與矩陣等價記做：3矩陣的等價關系滿足下列三個性質：(3)傳遞性(2)對稱性(1)自反性說明：矩陣的初等行變換和初等列變換是兩種不同的變換方式，一般情況下總是分開用的。4定義3滿足下列特點的矩陣稱為行階梯形矩陣（1）矩陣中可畫出一條階梯線，階梯線下方元素全為零（2）每個階梯只有一行，且階梯線的豎線后面第一個元素非零其中，元素全部為零的行稱為零行，否則稱為非零行。定理：任何矩陣都可以通過單純的初等行變換化成行階梯形矩陣。例如：就是一個行階梯形矩陣5

例如：對下列矩陣施行初等行變換化為行階梯形目前，已經化為行階梯形矩陣了。下面繼續進行初等行變換。觀察上述行階梯形矩陣，滿足（1）非零行的第一個非零元素都是1（2）每個非零行的第一個非零元素所在列的其他元素都是零。滿足這兩個特點的行階梯形矩陣稱為行最簡形矩陣6可知，任何矩陣都可以通過單純的初等行變換化成行最簡形矩陣。7對下面的行最簡形矩陣,繼續進行初等列變換下面看另一種形狀更簡單的矩陣：結論:任意一個m

n矩陣都可以經過若干次初等行變換和若干次初等列變換化為標準形8矩陣的初等變換是矩陣的一種很重要的運算，應用非常廣泛。例如利用矩陣的初等變換可以求逆矩陣,利用矩陣的初等 行變換可以解方程組，解矩陣方程等等，后面陸續會接觸到。說明：矩陣的初等行變換和初等列變換只有在化為標準形時才可以同時用，其他都是單獨用的。

矩陣初等變換的性質：9證明：思考：原理：方法：1011

利用初等變換求逆矩陣（求逆矩陣的常用方法）１．利用矩陣的初等行變換求逆矩陣：12例2

設求A-1。解:對(A|E)作初等行變換則13練習:利用矩陣的初等行變換求下列矩陣的逆矩陣14２．利用矩陣的初等列變換求逆矩陣15利用矩陣的初等變換解矩陣方程AX=B（或XA=B）例1：解矩陣方程兩種方法可求出上式方法1：方法2:16方法1：方法2:17§2矩陣的秩1.基本概念定義1

在矩陣A=(aij)m

n中任選k行和k列，位于這些選定的行和列的交叉點上的k2個元素按原來的順序構成的k

階行列式，稱為矩陣A的一個k階子式。（1）顯然，k

≤min{m,n}。（2）k階子式是一個行列式（3）注:18例:寫出下列矩陣的所有三階、二階和一階子式，并計算出所有三階子式的值19規定：零矩陣的秩為0定義2如果非零矩陣A有一個r階子式dr≠0，而所有r+1階子式（如果存在）全為零,則稱dr是A的一個最高階非零子式，數r稱為矩陣A的秩，記作R(A)=r若所有r+1階子式全為零，那么高于r+1階的子式（若存在的話）應為多少？思考：簡單地說，矩陣的秩就是矩陣最高階非零子式的階數(秩為0的矩陣一定是零矩陣嗎？)。20易知下列結論：(1)中至少有一個r階子式不為零中所有大于r階的子式都為零(2)設(3)設稱A為降秩矩陣，也是不可逆矩陣稱A為滿秩矩陣，也是可逆矩陣（4）任意矩陣有21例：利用矩陣的秩的定義求下列矩陣的秩（1）（2）（3）思考：通過第三題的計算你有什么想法？要實現這一想法還需證明什么問題？22即若A～B，則R(A)=R(B)注意：本定理的逆命題不一定成立推論定理1矩陣的初等變換不改變矩陣的秩(等價矩陣的秩相等)23例1:求A的秩并寫出矩陣A的一個最高階非零子式。求矩陣秩的方法：把矩陣用初等